二次函数y=a2+k的图象和性质课件.pptx

1、2023-2-3二次函数二次函数y=a2+k的图象的图象和性质和性质知识点一知识点一 二次函数二次函数y=ax2+k的图象和性质的图象和性质二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象沿y轴向上(或下)平移|k|个单位长度得到.二次函数y=ax2+k的图象与性质总结如下:a的符号a0a0图象开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标(0,k)(0,k)增减性当x0时,y随x的增大而增大当x0时,y随x的增大而减小最值当x=0时,y有最小值,y最小值=k当x=0时,y有最大值,y最大值=k例例1(2017湖南邵阳模拟)关于二次函数y=-2x2+1的图象,下列说法中,正确的是(

2、)A.对称轴为直线x=1B.顶点坐标为(-2,1)C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降答案答案D点拨点拨形如y=ax2+k的二次函数图象的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,k),可以由二次函数y=ax2的图象向上(或下)平移|k|个单位长度得到.解析解析对于二次函数y=-2x2+1的图象,分析如下:函数分析结论y=-2x2+1对称轴为直线x=0A错误顶点坐标为(0,1)B错误可以由二次函数y=-2x2的图象向上平移1个单位得到C错误在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降D正确知识点二知识点二 二次函数二次函数y=a(x-

3、h)2的图象和性质的图象和性质二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,可以看成由y=ax2的图象向左(或右)平移|h|个单位长度得到.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质总结如下:a的符号a0a0图象开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,0)(h,0)增减性当xh时,y随x的增大而增大当xh时,y随x的增大而减小最值当x=h时,y有最小值,y最小值=0当x=h时,y有最大值,y最大值=0例例2(2017广东潮州潮安期中)二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:它们的图象都是开口向上;它们的图象的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0);当x0时,它们的函数值y

4、都是随着x的增大而增大;它们的开口的大小是一样的.其中正确的说法有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析解析分析二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2的性质如下:y=3x2+1y=3(x-1)2结论开口方向开口向上开口向上正确对称轴y轴x=1错误顶点坐标(0,1)(1,0)增减性当x0时,y随着x的增大而增大当x1时,y随着x的增大而增大错误开口大小因为a=3,所以它们的开口的大小是一样的正确答案答案B温馨提示温馨提示在抛物线y=a(x-h)2中,讨论其增减性时,应按xh和x0和x0a0图象开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当xh时,y随x的增大而增大当

5、xh时,y随x的增大而减小最值当x=h时,y有最小值,y最小值=k当x=h时,y有最大值,y最大值=k例例3(2016广东深圳名校联考)关于二次函数y=-(x-3)2-2的图象与性质,下列结论错误的是()A.抛物线开口向下B.当x=3时,函数有最大值-2C.当x3时,y随x的增大而减小D.抛物线可由y=x2的图象经过平移得到1212解析解析选项A中,a=-3时,y随x的增大而减小,故C正确,不合题意;选项D中,抛物线y=-(x-3)2-2可由y=-x2的图象经过平移得到,不可由y=x2的图象经过平移得到,故D错误,符合题意.1212121212答案答案D学法指导学法指导解答与二次函数y=a(x

6、-h)2+k的图象和性质有关的问题,关键是弄清表达式中各常数与图象和性质的关系:a决定抛物线的开口方向,x=h是对称轴,(h,k)是抛物线的顶点坐标.题型一题型一 利用二次函数的增减性比较大小利用二次函数的增减性比较大小例例1(2017江苏泰州兴化三校期中联考)已知二次函数y=(x-2)2+3,当自变量x分别取3、5、7时,y对应的值分别为y1、y2、y3,则y1、y2、y3的大小关系正确的是()A.y3y1y2B.y3y2y1C.y2y1y3D.y1y22时),y随x的增大而增大,又因为2357,所以y1y2y3.故选D.解法二:当x=3时,y1=(x-2)2+3=(3-2)2+3=4,当x

7、=5时,y2=(x-2)2+3=(5-2)2+3=12,当x=7时,y3=(x-2)2+3=(7-2)2+3=28,所以y1y2y3.故选D.解法三:其大致图象如图22-1-3-2所示,由图象可知y1y20,此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上,故A错误;B.由一次函数y=ax+b的图象可得a0,此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下,故B错误;C.由一次函数y=ax+b的图象可得a0,此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下,顶点的纵坐标大于零,故C正确;D.由一次函数y=ax+b的图象可得a0,b0,此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上,顶点的纵坐标大于零,故D错

8、误.故选C.答案答案C方法技巧方法技巧解答双图象问题一般有以下三种方法:(1)分类讨论法:根据函数系数的正负分类讨论;(2)逐项排除法:假定选项中的某一个函数图象正确,然后判断另一函数图象是否合理;或根据两函数图象确定系数的取值范围,取值相同的正确,取值不同的错误;(3)特殊值法:取使函数有意义的简单数值代入两种函数解析式中,画出其大致图象,再与给出的选项相对照.题型三题型三 利用抛物线的平移求阴影面积利用抛物线的平移求阴影面积例例3(2016重庆九龙坡六校联考)如图22-1-3-3,坐标系中正方形网格的单位长度为1,抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2,则阴影部分的面积S=.

9、图22-1-3-312解析解析根据题意可知:把直线y=1上面的抛物线部分和阴影部分向下平移2个单位长度,阴影部分正好组合为一个边长是2的正方形,则阴影部分的面积S=22=4.答案答案4点拨点拨抛物线的平移只改变了位置,不改变抛物线的形状和大小.知识点一知识点一 二次函数二次函数y=ax2+k的图象和性质的图象和性质1.对于函数y=x2+1,下列结论正确的是()A.图象的开口向下B.y随x的增大而增大C.图象关于y轴对称D.最大值是0答案答案Ca=10,图象的开口向上,故A错误;函数y=x2+1的图象的对称轴为y轴,在y轴右侧,y随x的增大而增大;在y轴左侧,y随x的增大而减小,故B错误,C正确

10、;当x=0时,y有最小值1,故D错误.故选C.2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向(上或下),顶点坐标为.答案答案上;(0,1)解析解析根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).知识点二知识点二 二次函数二次函数y=a(x-h)2的图象和性质的图象和性质3.(2015辽宁沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象可能是()答案答案D二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象的顶点坐标为(h,0),由于该点的纵坐标为0,所以该点在x轴上,符合这一条件的图象只有D.故选D.4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x

11、-1)2+2的图象,下列说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是(-1,2)D.与x轴没有交点答案答案Dy=(x-1)2+2,抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,2),故A、B、C均不正确,开口向上,顶点(1,2)在第一象限,抛物线与x轴没有交点,故D正确.5.(2018广东汕尾陆丰期中)将抛物线y=-x2向右平移一个单位,所得抛物线相应的函数解析式为.答案答案y=-(x-1)2解析解析抛物线y=-x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向右平移一个单位得到对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=-(x-1)2.知识点三知识点三

12、 二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质的图象和性质6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是()A.y=(x+2)2+1B.y=(x+2)2-1C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-1答案答案C根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.7.(2015浙江台州中考)设二次函数y=(x-3)2-4图象的对称轴为直线l,若点M在直线l上,则点M的坐标可能是()A.(1,0)B.(3,0)C.(-3,0)D.(0,-4)答案答案B因为二次函数y=(x

13、-3)2-4图象的对称轴是直线x=3,所以点M的横坐标是3.故选B.8.(2016甘肃兰州模拟)若抛物线y=(x-2)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为.答案答案m-1解析解析抛物线y=(x-2)2+(m+1)的顶点坐标为(2,m+1),且顶点在第一象限,m+10,m的取值范围为m-1.1.(2018黑龙江鸡西虎林期中)对于二次函数y=3(x+1)2,下列结论正确的是()A.当x取任何实数时,y的值总是正的B.其图象的顶点坐标为(0,1)C.当x1时,y随x的增大而增大D.其图象关于x轴对称答案答案C二次函数的解析式为y=3(x+1)2,无论x为何值,y0;二次函数图象的顶点坐标

14、为(-1,0);当x-1时,y随x的增大而增大;二次函数的图象关于直线x=-1对称.故选C.2.已知a,h,k为常数,且二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象通过(0,5),(10,8)两点.若a0,0h10-h,解得h5.故选D.3.二次函数y=a(x-1)2+k(a0)中x、y的几组对应值如下表:表中m、n、p的大小关系为(用“”连接).x-215ymnp答案答案nm0,抛物线开口向上,对称轴为x=1,x1时,y随x的增大而增大,-21,1n,pn,x=-2与x=4时的函数值相等,pm,nmp.4.(2018黑龙江哈尔滨南岗月考)已知点A(-1,y1)、B(-2,y2)、C(3,y3

15、)分别是抛物线y=5(x-2)2+k上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系为(用“”连接).答案答案y3y1y2解析解析抛物线y=5(x-2)2+k,该抛物线开口向上,对称轴是直线x=2,当x2时,y随x的增大而减小.C(3,y3)关于对称轴x=2的对称点的坐标为(1,y3),又-2-11,y3y11B.m0C.m-1D.-1m0,故选B.0,10,mm 2.(2017四川南充模拟)如图22-1-3-1,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,ABx轴交抛物线于另一点B,点C为该抛物线的顶点,若ABC为等边三角形,则a值为()图22-1-3-1A.B.C.D.1123233答案答案C

16、过C作CDAB于D,抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为x=3,ABC为等边三角形,且ABx轴,AD=3,CD=3,C(3,k).当x=0时,y=9a+k,A(0,9a+k),9a+k-k=3,a=.故选C.33333.如图22-1-3-2,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是()图22-1-3-2A.k=nB.h=m C.knD.h0,km+1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是.答案答案00时,抛物线的对称轴为直线x=2m,当xm+1时,y随x的增大而增大,2mm+1,解得m1,即0m1;m0时,不合题意,故填03C.m3D.m3答案答案

17、C二次函数的解析式y=(x-m)2-1的二次项系数是1,该二次函数的图象开口向上.又该二次函数的图象的顶点坐标是(m,-1),当xm时,y随x的增大而减小,而已知中当x3时,y随x的增大而减小,m3.故选C.2.(2016吉林长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,过抛物线y=a(x+1)2-2(x0,a为常数)的顶点A作ABx轴于点B,过抛物线y=-a(x-1)2+2(x0,a为常数)的顶点C作CDx轴于点D,连接AD、BC,则四边形ABCD的面积为.答案答案4解析解析抛物线y=a(x+1)2-2(x0,a为常数)的顶点坐标为(-1,-2),抛物线y=-a(x-1)2+2(x0,a为常数)的顶点

18、坐标为(1,2),又ABx轴于点B,CDx轴于点D,四边形ABCD是平行四边形,且BD=2,AB=CD=2,S四边形ABCD=BDCD=22=4.3.(2017广西贵港平南月考)抛物线y=-x2+x+2与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上的一个动点,当点P的坐标是时,|PA-PB|取得最小值.4983答案答案41,06解析解析抛物线y=-x2+x+2与y轴交于点A,A(0,2),y=-x2+x+2=-(x-3)2+6,顶点B(3,6).设P(x,0),当PA=PB时,线段PA与PB的差最小,PA-PB=0.A(0,2),B(3,6),PA2=x2+22=x2+4,PB2=(x-3)2+62,

19、x2+4=(x-3)2+62,解得x=,当P点坐标为时,|PA-PB|取得最小值.498349834941641,06一、选择题一、选择题1.(2018甘肃平凉庄浪期中,3,)将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5,下列叙述正确的是()A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位答案答案A将抛物线y=x2向上平移5个单位得到抛物线y=x2+5,故选A.2.(2017海南三亚叉河中学期中,5,)二次函数y=-(x+3)2+2图象的开口方向,对称轴和顶点坐标分别为()A.向下,x=3,(3,2)B.向下,x=-3,(3,2)C.向上,x=-3,(3,2)D.

20、向下,x=-3,(-3,2)答案答案 D因为二次函数y=-(x+3)2+2中,a=-10,故抛物线开口向下;顶点坐标为(-3,2),对称轴为x=-3.故选D.二、填空题二、填空题3.(2017陕西西安雁塔月考,17,)若二次函数y=a(x+h)2+k的图象的对称轴是x=-2,那么h=;若顶点坐标是(-2,-4),则k=.答案答案2;-4解析解析二次函数y=a(x+h)2+k的图象的对称轴是x=-2,h=2.顶点坐标是(-2,-4),k=-4.1.(2016湖北武汉武昌期末,9,)已知二次函数y=-(x+h)2,当x0时,y随x的增大而减小,且h满足h2-2h-3=0,则当x=0时,y的值为()

21、A.-1B.1C.-9D.9答案答案Ch2-2h-3=0,h=3或-1,当x0时,y随x的增大而减小,h=3符合题意,y=-(x+3)2.当x=0时,y=-9.故选C.2.(2016河南安阳期末,6,)从y=2x2-3的图象上可以看出,当-1x2时,y的取值范围是()A.-1y5B.-5y5C.-3y5D.-2y1答案答案 C如图,根据y=2x2-3的图象分析可得,当x=0时,y取得最小值,且最小值为-3,当x=2时,y取得最大值,且最大值为222-3=5,故选C.3.(2017江苏无锡江阴实验中学月考,16,)若A(x1,y1)、B(x2,y2)是二次函数y=-(x+1)2-2图象上不同的两

22、点,且x1x2-1,记m=(x1-x2)(y1-y2),则m0.(填“”或“”)答案答案x2-1,又对称轴为x=-1,y10,y1-y20,m=(x1-x2)(y1-y2)0,顶点坐标为(3,-4),二次函数y=2(x-3)2-4的最小值为-4.4.(2017湖南衡阳中考,17,)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a2,则y1与y2的大小关系是y1y2(填“”或“=”).答案答案解析解析因为二次项系数为-1,小于0,所以在对称轴x=1的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴x=1的右侧,y随x的增大而减小,因为a21,所以y1y2.故填“”.三、解答题三、解答

23、题5.(2013福建泉州中考,22,)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(9分)(1)求a的值;(2)若点A(m,y1)、B(n,y2)(mn3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.解析解析(1)抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),a(1-3)2+2=-2,a=-1.(2)解法一:由(1)得a=-10,抛物线的开口向下,在对称轴x=3的左侧,y随x的增大而增大.mn3,y1y2.解法二:由(1)得y=-(x-3)2+2,当x=m时,y1=-(m-3)2+2,当x=n时,y2=-(n-3)2+2,y1-y2=(n-3)2-(m-3)2=(n-m)(m+n-6).

24、mn0,m+n6,即m+n-60,(n-m)(m+n-6)0,y10,开口向上,故B选项错误;一次函数y=-mx+n2中,n20,一次函数一定不过y轴负半轴,故A选项错误;由C、D选项看出二次函数图象的顶点在y轴的负半轴上,因此m0,一次函数图象一定过第一、三象限,故D选项正确.3.(2014广西河池中考,9,)已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法中正确的是()A.若y1=y2,则x1=x2B.若x1=-x2,则y1=-y2C.若0 x1y2D.若x1x2y2答案答案 D如图所示,若y1=y2,则x1=x2或x1=-x2,所以选项A是错误的;若x1=-x2,则

25、y1=y2,所以选项B是错误的;若0 x1x2,则y1y2,所以选项C是错误的;若x1x2y2,所以选项D是正确的.1.(2016山西农业大学附中模拟)已知二次函数y=a(x+k)2+k(a0),无论k为何实数,其图象的顶点都在()A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上答案答案 B抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的顶点坐标是(-k,k),由于-k和k互为相反数,故无论k取何实数,(-k,k)都在直线y=-x上,故选B.图22-1-3-32.如图22-1-3-3,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=(x-1)2+2上运动,过点A作ABx轴于点B,以AB为斜边作RtABC,则A

26、B边上的中线CD的最小值为.答案答案1解析解析CD为RtABC的斜边AB上的中线,CD=AB.y=(x-1)2+2的顶点坐标为(1,2),点A到x轴的最小距离为2,即垂线段AB的最小值为2,中线CD的最小值为1.121.如图,点E是抛物线y=a(x-2)2+k的顶点,抛物线与y轴交于点C,过点C作CDx轴,与抛物线交于点B,与对称轴交于点D.点A是对称轴上一点,连接AC、AB.若ABC是等边三角形,则图中阴影部分的面积是.答案答案23解析解析直线AD是抛物线y=a(x-2)2+k的对称轴,ABC是等边三角形,题图中阴影部分图形的面积之和为SACD=SABC.CD=2,BC=2CD=4,SABC=42=4,题图中阴影部分的面积是2.1234332.如图,抛物线y1=a(x+2)2+m过原点,与抛物线y2=(x-3)2+n交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.下列结论:两条抛物线的对称轴距离为5;x=0时,y2=5;当x3时,y1-y20;y轴是线段BC的中垂线.其中正确结论是(填写正确结论的序号).12