同济线性代数第一讲课件.ppt
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- 关 键 词:
- 同济 线性代数 第一 讲课
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1、在在 阶行列式中,把元素阶行列式中,把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后,留下来的列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式,nijaij1 nija ,记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija如,如,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 23M23A 23M 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式定义:定义:.ijM记作:记作:行列式的每一个元素都对应一个余子式和代数余子式行列式的每一个元素都对应一个余子式和代数余子式111214313234414244
2、aaaaaaaaa2 3231M引理:引理:一个一个 阶行列式,如果其中第阶行列式,如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零,那末这行列式等于外都为零,那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积,即代数余子式的乘积,即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 如,如,二、行列式按行(列)展开法则二、行列式按行(列)展开法则证:证:10 当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ija21222121100nnnnnaaaaaaaD 即
3、有:即有:1111Da M 1111111MA ,11M 1111 Da A20 再证一般情形再证一般情形,此时此时又又1111100jnnnjnnijaaaaDaaa,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得得11i1,11,1,100 iijinnnjnijnaaaDaaaa,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得1,1,1111,11010ijijiinnjnjjnijnaaaDaaaa1i jijija M ijija A1122iiiiininDa Aa Aa A1,2,in证:证:nnnni
4、niinaaaaaaaaaD212111211000000 1122jjjjnjnjDa Aa Aa A1,2,jn或或定理:定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和与其对应的代数余子式乘积之和,即:,即:nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni,2,1 11220,ijijinjna Aa Aa Aij11111111,niinjjnnnnjnjnjjaaaaaaaaa AaA证:证:
5、行展开,有行展开,有按第按第把行列式把行列式jaDij)det(推论:推论:行列式任一行(列)的元素与另一行(列)行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即:,即:11111111,niiniinnnninjnijaaaaaaaaa Aa A可得可得换成换成把把),1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkj
6、ki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当,当当其中其中注:注:例例1 1 计算计算40000abaaabDbaaaba222(4)b ba例例2 计算计算 n 阶行列式阶行列式123211000001000000000001000001nnnnxxxDxxaaaaaa232112321nnnnnnaaxaxa xa xa x 证:证:用用数学归纳法数学归纳法21211xxD 12xx ,)(12 jijixx)式成立)式成立时(时(当当12 n例例3证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).
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