同济大学线性代数课件第四章.ppt

1、2023-2-311 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义1：n 个数个数12,naaa所组成的有序数组所组成的有序数组称为一个称为一个 n 维向量维向量，这，这 n 个数称为该向量个数称为该向量的的 n 个个分量分量，第，第 i 个数个数 称为称为第第 i 个分量个分量。ia这里定义的这里定义的 n 维向量就是指维向量就是指行行(或列或列)矩阵矩阵。2023-2-3212(,)na aa 称为称为行向量。行向量。12T12(,)nnaaaaaa 称为称为列向量。列向量。2023-2-33例例.3 维向量的全体所组成的集合维向量的全体所组成的集合,|),(T3RzyxzyxR 通常称为

2、通常称为 3 维维Euclid几何空间。几何空间。|),(Tdczbyaxzyx 称为称为 R3 中的一个平面。中的一个平面。集合集合2023-2-34|),(Tbxaxaxaxxxnnn 221121称为称为 n 维维Euclid空间空间 Rn 中的中的 n-1维维超平面超平面。集合集合,|),(TRxxxxxxRnnn 2121称为称为 n 维维Euclid空间。空间。例例.n 维向量的全体所组成的集合维向量的全体所组成的集合2023-2-35例例.非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的解的解集合集合|bAxxS 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的解的解集合集合0|AxxS2023

3、-2-36mn 阵阵 A 的的 列列向量组向量组:),(21naaaA TT2T1mA 行行向量组向量组:同一维数的列向量同一维数的列向量(或行向量或行向量)所组成的集合所组成的集合称为称为向量组向量组。2023-2-372 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义1：设向量组设向量组12:,mA 及一组实数及一组实数1122mmkkk称为向量组称为向量组 A的一个的一个线性组合线性组合，12,mk kk称为线性组合的称为线性组合的系数系数。12,mk kk表达式表达式2023-2-38定义定义2：设向量组设向量组12:,mA 和向量和向量 b若存在一组实数若存在一组实数12,m 使得使得

4、1122mmb 则称向量则称向量 b 是向量组是向量组 A的的一个线性组合，一个线性组合，或称向量或称向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示。线性表示。2023-2-39例如：例如：12321101,2,1,31123aaab 则则 b 能由能由123,aaa线性表示线性表示.解方程组解方程组112233x ax ax ab 123123123202323xxxxxxxxx 既既解方程组解方程组2023-2-310123111210 xxcx 所以，所以，122baa 得得2023-2-311 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121

5、2111 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 nxxxx21 mbbbb21记记2023-2-312 12,nA 若若其其中中 mjjjjaaa21 则方程组的向量表示为则方程组的向量表示为1122nnxxxb2023-2-313定理定理1:向量向量 b可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 12,m ()(,)R AR A b 12(,)mA Axb 有解，其中有解，其中2023-2-314则称则称向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示。若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能相互线性表示，能相互线性表示，若若 B 组中的每一个向量都能由向量

6、组组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，线性表示，定义定义3:设向量组设向量组 及及12:,mA 12:,lB 则称则称向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价。等价。2023-2-31511221,2,jjjl jlkkkjl ),(),(mmllmmlkkkk 111111112:,mA 12:,lB B 能由能由 A 线性表示线性表示 mlmlmkkkk11111),(2023-2-316定理定理2:()(,)R AR A B 向量组向量组 能由能由12:,mA 12:,lB 线性表示线性表示12(,)mA AXB 有解，其中有解，其中12(,)lB 2023-2-317定理定

7、理3:向量组向量组 能由能由12:,mA 12:,lB 线性表示，则线性表示，则 R(B)R(A)。1212(,),(,)mlAB 其中其中证：根据定理证：根据定理 2 有有 R(A)=R(A,B)而而 R(B)R(A,B)，因此，因此 R(B)R(A)。2023-2-31812121122:,0.mmmmAAA 设设向向量量组组若若存存在在不不全全为为零零实实数数使使得得则则称称向向量量组组线线性性相相关关.否否则则称称向向量量组组 线线性性无无关关定义定义4：2023-2-319n 维向量组维向量组 线性相关线性相关m ,21定理定理4:0Ax 有有非非零零解解,mA ,21 其其中中推论

8、：推论：n 维向量组维向量组 线性无关线性无关m ,210Ax 只只有有零零解解,12,mA 其其中中()R Am()R Am 2023-2-320例例2:),(,),(,),(:742520111321 已已知知试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的的321,21,线性相关性线性相关性.2023-2-321解：设解：设1122330 xxx即即123102012401570 xxx 系数行列式系数行列式1021240157 齐次线性方程组有非零解，所以向量齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关线性相关123,向量向量12,对应分量不成比例，所以线性无关。对应分量不成比例，所以线性

9、无关。2023-2-322例例3:n维向量维向量 10001000121,neee讨论它们的线性相关性讨论它们的线性相关性.12,nEe ee 结论结论:线性无关线性无关解解:上述向量组又称上述向量组又称基本向量组基本向量组或或单位坐标向量组单位坐标向量组.问题问题:n=3时时,321,eee分别是什么？分别是什么？2023-2-323一些结论：一些结论：(1)一个零向量线性相关一个零向量线性相关,一个非零向量线性无关；一个非零向量线性无关；(2)两个向量线性相关当且仅当两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例它们的对应分量成比例;(3)一个向量组线性无关，则增加其中每个向一个向量组线性

10、无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。量的分量所得新向量组仍线性无关。向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一 个向量可由其余向量线性表示。个向量可由其余向量线性表示。2023-2-324则向量组则向量组121:,mmB 也线性相关。也线性相关。则向量组则向量组12:,mA 也线性无关。也线性无关。12:,mA 若向量组若向量组线性相关，线性相关，定理定理5-1：定理定理5-2：m个个n维向量维向量(m n)构成的向量组一定线性相关构成的向量组一定线性相关.特别地特别地,n+1个个n维向量线性相关维向量线性相关.若向量组若向量组121:,m

11、mB 线性无关，线性无关，推论：推论：定理定理5-3：向量组向量组12:,mA 线性无关线性无关,向量组向量组12:,mBb 线性相关线性相关,则则 b 能由向量组能由向量组A线性表示，且表示式唯一线性表示，且表示式唯一.2023-2-325例例4：已知向量：已知向量123,线性无关，向量线性无关，向量123,123,可以由向量可以由向量线性表示，并且线性表示，并且123123(,)(,)K 证明：证明：线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 R(K)=3123,证：证：123,线性无关。线性无关。设设 Kx=0，其中，其中123(,)xx xx 则则112233123(,)xxxx 123

12、(,)Kx 故故 x=0，即，即 Kx=0 只有零解，于是只有零解，于是 R(K)=3=02023-2-3261122331230(,)xxxxxxx 设设，()3R K123123(,)(,)Kxx 则则112233xxx=0123,又又线线性性无无关关，故故 Kx=0，而，而 R(K)=3，于是，于是 x=0，123,即即线线性性无无关关2023-2-327例例5：已知向量：已知向量123,线性无关，线性无关，112223313,证明：向量证明：向量线性无关。线性无关。123123101(,)(,)110011 因因1011103011R 证：证：123,故故线性无关。线性无关。2023-

13、2-3283 向量组的秩向量组的秩定义定义1:简称简称最大无关组最大无关组,r 称为向量组称为向量组 A的秩，记作的秩，记作RA（ii）A的任意向量都可由的任意向量都可由A0线性表示线性表示.012:,rA 线性无关线性无关,（i）那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 A的一个的一个最大线性无关组，最大线性无关组，0A设设 A为一个向量组，为一个向量组，A的部分组的部分组 满足：满足：012:,rA 向量组向量组 12:,mA 12(,)mR 的秩也记作的秩也记作2023-2-329注注:（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0。（2

14、）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组）向量组 A能由能由A0线性表示。线性表示。（3）向量组的）向量组的最大无关组最大无关组一般一般不是唯一的不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。2023-2-330例如：在向量组例如：在向量组 中，中，1231010,1,1000 12,首先首先线性无关，又线性无关，又123,线性相关，线性相关，所以所以12,是一个极大无关组。是一个极大无关组。还可以验证还可以验证23,也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。2023-2-331

15、例如：例如：向量组向量组 的秩为的秩为2。1231010,1,1000 注意：注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。个线性表示，则这两个向量组等价。向量组向量组 的秩为的秩为2。1230000,1,1101 2023-2-332例：设矩阵例：设矩阵1131021400050000A 矩阵矩阵A 的行向量组是的行向量组是1234(1,1,3,1),(0,2,1,4)(0,0,0,5)(0,0,0,0)TTTT ，可以验证，可以验证，124,

16、是一个最大无关组，是一个最大无关组，所以矩阵所以矩阵A的行向量组秩为的行向量组秩为3。2023-2-333矩阵矩阵A的列向量组是的列向量组是123411310214,00050000 可以验证可以验证124,是一个最大无关组是一个最大无关组所以矩阵所以矩阵A的列秩是的列秩是3。2023-2-334定理定理6：矩阵的秩矩阵的秩=矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩 =矩阵的列向量组的秩矩阵的列向量组的秩证：矩阵证：矩阵 A 经过初等变换变为行最简形经过初等变换变为行最简形 B又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，所以，所以，A的秩的秩 A的列向量

17、组的秩的列向量组的秩同理，同理，AT 的秩的秩 AT 的列向量组的秩的列向量组的秩A 的行向量组的秩的行向量组的秩但是，但是，A 的秩的秩 AT 的秩的秩2023-2-335例例1：向量组：向量组12345(7,2,1,11),(1,1,5,8)(3,1,1,4),(5,3,7,0),(4,2,1,11)求向量组的秩和一个最大无关组。求向量组的秩和一个最大无关组。2023-2-336解：解：7135421132151711184011 1517121132713541184011 12345(,)A 2023-2-3371517109111003644430637770 15171091110

18、0000300000 ()3R A125,是一个最大无关组。是一个最大无关组。2023-2-338例例2：求矩阵：求矩阵000011012025025118003341036072A 的列向量组的一个最大无关组，并把其余的的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用向量用这个最大无关组线性表示。这个最大无关组线性表示。2023-2-33901202500113200334100001313000011 解解:123456(,)A 2023-2-340010201001101000011000000000000 2023-2-341235,是一个最大无关组是一个最大无关组.10 42326235

19、2023-2-342最大无关组的等价最大无关组的等价定义定义:012:,rA 线性无关；线性无关；（i）那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 A的一个的一个0A设设 A为一个向量组，为一个向量组，A的部分组的部分组 满足：满足：012:,rA （ii）A的任意向量都能由的任意向量都能由 线性表示。线性表示。0A最大无关组。最大无关组。2023-2-343证：只需证明证：只需证明 A中的任意中的任意 r+1个向量都线性相关。个向量都线性相关。12112(,)(,)rrRRr 121,r 设设 为为 A中的中的 r+1个向量，个向量，由由(ii)知，这知，这 r+1个向量能由个向量能由 A0

20、 线性表示，故线性表示，故因此，这因此，这 r+1个向量线性相关。个向量线性相关。2023-2-344121212(,)(,)mmlRR 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是定理定理2：12,m 12,l 向量组向量组能由向量组能由向量组1212(,)(,)lmRR 线性表示，则线性表示，则定理定理3：12,m 12,l 若向量组若向量组能由向量组能由向量组2023-2-3454 线性方程组解的结构线性方程组解的结构(1)齐次线性方程组齐次线性方程组00()m nAx 111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 或或2

21、023-2-3461.解的性质解的性质则则 仍然是仍然是 的解。的解。12x0()性质性质1：若：若 是是 的解，的解，12,0()1212()0AAA则则 仍是仍是 的解。的解。1x 0()性质性质2：若：若 是是 的解，的解，1 0()2023-2-3472.基础解系基础解系设设12,n r 是是0Ax 的解，满足的解，满足121 ,n r （）线性无关；线性无关；2 0Ax （）的任一解都可以由的任一解都可以由12,n r 线性表示。线性表示。则称则称12,n r 是是0Ax 的一个的一个基础解系。基础解系。2023-2-348定理定理7：设设A是是mn 矩阵，如果矩阵，如果(),R A

22、rn则齐次线性方程组则齐次线性方程组0Ax 的基础解系存在，的基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有nr 个解向量。个解向量。证明分三步证明分三步:1.以某种方法找以某种方法找 个解。个解。nr 2.证明这证明这nr 个解线性无关。个解线性无关。3.证明任一解都可由这证明任一解都可由这nr 个解线性表示。个解线性表示。2023-2-349证明证明:111,1,100100000000n rrr n rbbbbAB 化为行化为行最简形最简形2023-2-350与与B对应的方程组对应的方程组11111,22112,11,00()0rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxx

23、b xbxBxb xbx 2023-2-351（1）令）令1,rnxx 依次为依次为1,n rcc 得方程组的通解得方程组的通解111121,12,1122100010001n rrrrr n rrn rrnxbbbxbbbxcccxx 2023-2-35211121,12,100010001n rrrr n rbbbbbb （2）向量组）向量组线性无关。线性无关。综合综合(1)(2)得得,向量组向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系是齐次线性方程组的基础解系.(C)2023-2-3530Ax 的通解是的通解是1122n rn rxkkk11121,12,12,.100010001nrrrr

24、nrnrbbbbbb 记记则则12,n r 是令是令12rrnxxx 为为100010,001 所得所得。2023-2-354例例4:求下列齐次方程组的通解。求下列齐次方程组的通解。12341234123240(1)24803620 xxxxxxxxxxx 解：解：124124813620A 2023-2-3551531012411200010300100000000 初等行变换初等行变换行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为1243412053010 xxxxx 24,xx是自由变量。是自由变量。(2)2023-2-356法法1：先求通解，再求基础解系先求通解，再求基础解系 令

25、令2142,xcxc则则112213242125 3 10 xccxcxcxc 即即12123412510031001xxccxx 2023-2-357法法2：先求基础解系，再求通解。先求基础解系，再求通解。在在(2)中令中令2410;01xx 得得121,00 21503101 则通解为则通解为1122xkk2023-2-358123123123123230371002570340 xxxxxxxxxxxx 解：解：1233710257134A 例例5:求下列齐次方程组的通解。求下列齐次方程组的通解。2023-2-359123011000000 初等行变换初等行变换101011000000

26、132300 xxxx 令令31x 得得111 通解通解xk2023-2-360(2)非齐次性线性方程组非齐次性线性方程组 ()m nAxb 对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组00 ()m nAx 2023-2-361例例8:线性方程组线性方程组00 xyxz 11xyxz 0 xyz1xyz 在三维直角坐标系中分别表示在三维直角坐标系中分别表示经过原点的直线。经过原点的直线。在三维直角坐标系中分别表示在三维直角坐标系中分别表示不经过原点的平面。不经过原点的平面。和和和和2023-2-362性质性质1：12,是是 的解，则的解，则12 是是0Ax Axb 对应的齐次线性方程组对应的齐次线

27、性方程组的解。的解。性质性质2：是是 的解，的解，是对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组0Ax 的解，则的解，则 是是 的解。的解。Axb Axb 2023-2-363分析分析:若若有解，则其通解为有解，则其通解为*x其中其中*是是 的一个特解，的一个特解，是是 对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 的通解。的通解。0Ax 1.证明证明*x是解；是解；2.任一解都可以写成任一解都可以写成*x的形式。的形式。()m nAxb()()2023-2-364例例6:求解非齐次方程组求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解

28、：1511112133(,)3811119377A b 2023-2-36515111072440000000000 103 713 713 7012 74 74 70000000000 2023-2-36613423431 31 3777244777xxxxxx 令令,043 xx得得 0074713 2023-2-367令令 10,0143xx得基础解系得基础解系 107471301727321 ,所以原方程组的通解是所以原方程组的通解是2211 ccx 2023-2-368123123123123231371032572341xxxxxxxxxxxx 例例7:求下列方程组的通解。求下列方

29、程组的通解。解：解：123137105(,)25741341A b 2023-2-3691231011200000000 1013011200000000 132332xxxx 令令03x得得 023得基础解系得基础解系132300 xxxx 13x令令111 所以通解是所以通解是kx2023-2-370 132333212321321321vxuxxxxxxxx)(例例:设设问问u,v=?方程组方程组(1)有唯一解有唯一解;(2)无解无解;(3)有无穷多解有无穷多解.解解:2200110211310110211323312211 uuuu当当u2时有唯一解时有唯一解;2023-2-371当当

30、u=2,v3时时,无解无解;300011101211152333121211vvbA),(当当u=2,v=3时时,有无穷多解有无穷多解;000011102101000011101211),(bA 123231xxxx通解 012111321cxxx2023-2-3725 向量空间向量空间定义：定义：设设 V 为为 n 维向量的维向量的非空非空集合，集合，若若 V 对于加法及数乘两种运算封闭，对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合则称集合 V 为为向量空间向量空间说明说明:,.VkRkV 有有,;VV 有有集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭指对于加法及数乘两种运算封闭指V注意注意.0 必是向量空

31、间必是向量空间V 的元素，即的元素，即0.V 2023-2-373例：例：3 维向量的全体维向量的全体 是一个向量空间。是一个向量空间。3Rn 维向量的全体维向量的全体 也是一个向量空间。也是一个向量空间。nR例例：齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的解的解集合集合0|AxxS是一个向量空间。是一个向量空间。不是一个向量空间。不是一个向量空间。|bAxxS 但但非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax=b 的解的解集合集合0 Ax2023-2-374例：判别下列集合是否为向量空间例：判别下列集合是否为向量空间.122(1)(0,),nnVxxxxxR 222(2)(1,),nnVxxxxxR

32、2023-2-375 2222,2,2.TnaaV 则则 221,TnaaV(2)(2)若若2V不是向量空间。不是向量空间。解：解：TT221(1)(0,),(0,)nnaabbVT221(0,)nnababV有有T21,(0,).nRaaV 有有所以，所以，是向量空间。是向量空间。1V2023-2-376 ,VabR 是否为向量空间是否为向量空间.121212()(),xxabV有有111,()().kRkxkakbV 有有V 称为由向量称为由向量a,b生成的向量空间生成的向量空间。例：设例：设 a，b为两个已知的为两个已知的n维向量，判断集合维向量，判断集合111222,xab xabV解

33、：解：V 是一个向量空间。是一个向量空间。2023-2-377 1 12 212,mmmVaaaR 由向量组由向量组 所所生成的向量空间生成的向量空间为为12,ma aa一般地一般地2023-2-378定义：定义：设设 V 为向量空间为向量空间,W 是是V 的非空子集，的非空子集，若若 W 对于加法及数乘两种运算封闭，对于加法及数乘两种运算封闭，则称则称 W是是 V 的的子空间子空间。零子空间零子空间 V=0 2023-2-379例例.(0,)|,yzRy zy zR及及(0,0,)|zRzzR都是都是3R的子空间。的子空间。|0m nSx Ax 是是nR的子空间，称为齐次的子空间，称为齐次线

34、性方程组线性方程组 Ax=0 的解空间，或的解空间，或 A的零空间。的零空间。2023-2-380定义定义7：设设V是向量空间，如果向量是向量空间，如果向量12,rV 满足满足12,r 线性无关。线性无关。（1）（2）V 中任一向量都可由中任一向量都可由12,r 线性表示，线性表示，那么，就称向量组那么，就称向量组12,r 是向量空间是向量空间V 的的一个基一个基，r 称为向量空间称为向量空间V 的的维数维数，记作，记作dimVr并称并称V 是是 r 维向量空间维向量空间。2023-2-381注注：(1)只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间 0-称为零子空间称为零子空间-没有没有 基，

35、规定其维数为基，规定其维数为0。(2)如果把向量空间如果把向量空间V看作向量组看作向量组V，则，则V的基就是向的基就是向 量组量组V的极大无关组，的极大无关组，V的维数就是向量组的维数就是向量组V的秩。的秩。(3)向量空间的基一般不唯一。向量空间的基一般不唯一。例例.1000,1,0;001 1110,1,1;001 1112,1,0;301 都是向量空间都是向量空间R3的基。的基。2023-2-382精品课件精品课件！2023-2-383精品课件精品课件！2023-2-384设设123,a a a是是3 的一个基，的一个基，x 是是3 中的向量，中的向量，112233xx ax ax a则称有序数组则称有序数组123,xxx为向量为向量 x 在基在基123,a a a下的坐标。下的坐标。设设123,b b b是是3 的另一个基，的另一个基，并且并且123123(,)(,)b b ba a aP 则称此式为基变换公式，矩阵则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基称为从基123,a a a到基到基123,b b b的过渡矩阵。的过渡矩阵。