2023年上海高中自主招生数学全真模拟试卷(三 ）.docx

1、高中自主招生数学全真模拟试卷(三)一 填空题1. 方程组的所有实数解为_2. 对于任意实数x，y,不等式恒成立，则实数k的最大值是_3. 已知为锐角，则关于x的方程的根的情况是有_个正根，有_个负根.4. 已知n是两个不同质数的各积，则方程的正整数解(x,y)的对数是_.5. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形AOBC，反比例函数经过矩形AOBC对角线的交点G，半径为4-2的圆内切于ABC，则k的最小值为_6. 已知a、b是整数，且满足a-b是质数，ab是完全平方数，若a2018,则a的最小值为_7. 已知，其中表示不超过x的整数，若，则的值共有_个8. 如图，已知C是AB为直径的半径上一点，I

2、是ABC的内心，AI、BI的延长线分别与半圆交于点D、E，AB=6，则DE的长为_.二 解答题9. 已知关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围.10. 如图，在四边形ABCD中，已知ABC是等边三角形，ADC=30，AD=3，BD=5，求CD的长.11. 已知关于x的一元二次方程的两个根都是整数，求实数k的值.12. 已知O1与O2的半径分别为3和5，O1O2=10，求两圆的两条内公切线与一条外公切线所围砀三角形面积.参考答案1. 两式相减得即得x=y得得(x,y)=(0,0)()()或即可得无解；综上所述原方程的解(x,y)=(0,0)()()2. 由绝对值的几何意义可知，|x-1|+|x

3、-3|+|x-5|的最小值为4(此时x=3)，而2-|y-9|的最大值为2(此时y=9)，根据条件，故，k的最大值为23. 显然，于是原方程化为，设其图像如图所示，抛物线的顶点为A(),当时，y2=-2,即点B在双曲线上，在A的正上方,因此抛物线与双曲线有三个不同的交点，其中有两个点的横坐标为正，一个点的横坐标为负，这三个横坐标均是原方程的解.4. 可知，令，为自然数，原方程化为，化简得，令(为质数,且)，则有故的值为，相对就的值为由于的值有9组，故原方程中(x,y)的值共有9对.5. 设G(a,b),圆的半径记为r，则AC=2a,BC=2b,故，当且仅当a=b=2时，上式等号成立.6. 设(

4、m是质数)，n为正整数，由得因为都是正整数，(m为质数),故得，于是又考虑到m为质数，得，当7. ，则可取8、9可取12，13，14，可取27，28，29可取33，34，35，36可取40，41，42，43，又，综上所述，共有19个即0，1，8，9，12，13，14，27，28，29，33，34，35，36，40，41，42，43，648. 连接AE，易知C=AEB=90，所以AIE=IAB+ABI=(CAB+ABC)=45,于是EAD=45，在ADE中，由正弦定理得，9. 由题意知，则，设，当有唯一解,于是10. 如图，以CD为边向四边形ABCD外作等边CDE，连接AE，由AC=BC，CD=

5、CE，知BCD=BCA+ACD=DCE+ACD=ACE，所以BCDACE，从而BD=AE，ADC=30，故ADE=90，故CD=411. 原方程可化为，故，得，化简得，都是整数，所以=(-2,-2)、(1,-5)、(2，-4)从而，经检验，均满足题意.12.如图，设两内公切线AB与EF相交于点O，延长AB、EF与外公切线CD分别交于点N、M，连接O1A、O2B，由RtAO1ORtBO2O,得，得OA=，OB=，故AB=6；连接O1C、O2D，作CG|O1O2交O2G于点G，则CD=4，由AB+BN=NC=CD-ND，BN=ND，ND=2-3，故MN=6，作OHMN交CG于点P，交CD于点H，则得OH=，从而得5