公理系统构造的第一个集合就是空集Basic课件.ppt
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1、96 有限集合的基数l集合的基数就是集合中元素的个数这一节介绍有限集合的基数和一些结论无限集合的基数将在以后介绍961 有限集合的基数l定义定义961 如果存在nN,使集合A与集合x|xNx的元素个数相同,就说集合A的基数是n,记作#(A)n或|A|n或card(A)=n空集的基数是0l定义定义962 如果存在nN,使n是集合A的基数就说A是有限集合如果不存在这样的n,就说A是无限集合962 幂集和笛卡儿积的基数l 定理定理961 对有限集合A,l 定理定理962 对有限集合A和B,|AB|A|B|963 基本运算的基数l 定理定理963 对有限集合A1和A2,有l 定理定理964 对有限集合
2、A1和A2,有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|证明 (1)若A1与A2不相交,则A1A2,而且|A1A2|=0,这时显然成立|A1A2|A1|+|A2|,(2)若A1与A2相交,则A1A2,但有|A1|=|A1-A2|+|A1A2|,|A2|=|-A1A2|+|A1A2|,此外|A1A2|=|A1-A2|+|-A1A2|+|A1A2|,所以|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|下面举例说明定理的应用l 例1 在10名青年中有5名是工人,有7名是学生,其中有3名既是工人又是学生,问有几名既不是工人又不是学生?解 设工人的集合是A,学生的集合是B则 有|A|5,|B|=7,|
3、AB|3,又有|-A-B|+|AUB|=10,于是得|-A-B|=10-|AB|=10-(|A|+|B|-|AB|)=1所以有一名既不是工人又不是学生l对3个有限集合A1,A2和A3,可以推广这个定理,得到|A1A2A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1A2|-|A2A3|-|A1A3|+|A1A2A3|l 例2 30位同学中,15加体育组,8人参加音乐组,6人参加美术组,其中3人同时参加三个组问至少有多少人没有参加任何小组?解 设A1、A2、A3分别表示体育组、音乐组、美术组成员的集合则有|A1|=15,|A2|=8,|A3|=6,|A1A2A3|=3.因此|A1A2A3|=15+8+
4、6-|A1A2|-|A2A3|-|A1A3|+3=32-|A1A2|-|A2A3|-|A1A3|而|A1A2|A1A2A3|=3|A1A3|A1A2A3|=3|A2A3|A1A2A3|=3所以|A1A2A3|32-3-3-3=23至多23人参加小组,所以至少7人不能参加任何小组.若nN且n1,A1,A2,An是有限集合,则97 集合论公理系统l在913例5中,用谓词定义集合时产生了悖论。的方法是使集合论公理化,也就是建立集合论公理系统,它包括一阶谓词公理系统和几个集合论公理集合论公理系统可以推出一阶谓词的所有定理,也可以推出集合论的概念和定理,它防止了集合论中的悖论l 在一阶谓词公理系统中,公
5、理和定理都是永真公式在集合论公理中,少数公理是描述集合性质的,多数公理是构造合法集合的,也就是判定集合存在性的有的公理构造基本集合,另一些公理由已知集合构造新的集合利用这些公理,可以构造所有的集合(公理系统中的合法集合),这就是证明定理”,集合论的研究对象只是集合除集合外的其他对象(如有序对、数字、字母)都要用集合定义于是对这些对象的研究也就转化为对集合的研究在定义934中,已经用集合定义了有序对以后将用集合定义自然数其他数字和字母也可以用集合定义因为集合的元素都是集合,例如集合,因此,空集是最基本、最重要的集合97 1 集合论公理l 下面介绍ZF(Zermelo-Fraenkel)公理系统,
6、它包括10条集合论公理。下面依次介绍这10条公理,然后重点说明其中几条对每条公理都给出一阶谓词公式,论域包含所有集合(1)外延公理 两个集合相等的充要条件是它们恰好具有同样的元素(x)(y)(xy(z)(zxzy)(2)空集合存在公理 存在不含任何元素的集合(空集)(x)(y)(yx)x是空集这个公理定义了集合论中第一个集合,空集,由外延公理可知,空集是唯一的(3)无序对集合存在公理 对任意的集合x和y,存在一个集合z,它的元素恰好为x和y.(x)(y)(z)(u)(uz(ux)V(uy)在xy时,这个公理构造出恰好有一个元素的集合,如和在xy时,这个公理构造出两个元素的集合,如,和,(4)并
7、集合公理 对任意的集合x,存在一个集合y,它的元素恰好为x的元素的元素,(x)(y)(z)(zy(u)(zuux)这个公理可以由集合,构造集合,它解决了广义并的存在性(集合的广义并是集合)由无序对集合存在公理和并集合公理,可以解决两个集合并集的存在性(并集是集合)(5)子集公理模式(分离公理模式)对于任意的谓词公式P(z),对任意的集合x,存在一个集合y,它的元素z恰好既是x的元素又使P(z)为真,(x)(y)(z)(zy(zxP(z)对一个具体的谓词(谓词常项)P(z),子集公理模式就是一条公理,对不同的P(z),它是不同的公理所以,子集公理模式不是一条公理,而是无限多条有同样模式的公理因此
8、称为公理模式在972节将介绍用子集公理模式解决交集、差集、广义交和笛卡儿积的存在性(集合经这些运算得到的都是集合),(6)幂集合公理 对任意的集合x,存在一个集合y,它的元素恰好是x的子集,(x)(y)(z)(zy(u)(uzux)公理指出幂集的存在性(集合的幂集是集合)(7)正则公理 对任意的非空集合x,存在x的个元素,它和x不相交(x)(x(y)(yx(xy)正则公理将在973中说明它排除了奇异集合,防止发生悖论(8)无穷公理 存在一个由所有自然数组成的集合(x)(x(y)(yx(yy)x)式中的x是自然数集合N.在974中将说明自然数的定义和无穷公理这个公理构造了第一个无限集合(9)替换
9、公理模式 对于任意的谓词公式P(x,y),如果对任意的x存在唯一的y使得P(x,y)为真,那么对所有的集合t就存在一个集合s,使s中的元素y恰好是t中元素x所对应的那些y.这也是公理模式,它包括无限多条公理,对一个具体的P(x,y),就有一条替换公理,(10)选择公理 对任意的关系R,存在一个函数F,F是R的子集,而且F和R的定义域相等也可以简写成(关系R)(函数F)(F Rdom(R)=dom(F)这是有关函数的公理,将在第11章介绍,l 在10条公理中,外延公理和正则公理是描述集合性质的公理,其他公理都是判定集合存在的公理,也就是构造集合的公理,空集合存在公理和无穷公理不以其他集合的存在为
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