全微分的定义课件.ppt
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1、 第八章*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节一元函数 y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分1感谢你的观看2019年5月19日一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成,)(oyBxAz其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关,yBxA称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分全微分,记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)
2、()(yx则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.2感谢你的观看2019年5月19日(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定义:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即3感谢你的观看2019年5月19日定理定理1 1(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点
3、偏导数yzxz,yyzxxzzd),(),(yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证:由全增量公式,)(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA机动 目录 上页 下页 返回 结束 4感谢你的观看2019年5月19日反例反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff 但)0,0()0,0(yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意注意:定理1 的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0,022 yx机动 目录
4、 上页 下页 返回 结束 5感谢你的观看2019年5月19日 ),(yyxxf定理定理2(充分条件)yzxz,证证:),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),(yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),(yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx6感谢你的观看2019年5月19日zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz),(yxyx在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束
5、 0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(o7感谢你的观看2019年5月19日xxu推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 uuuzyxd,d,d8感谢你的观看2019年5月19日例例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.yxez 解解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexzyexezd2dd22)1,2(例例2.计算函数的全微分.z
6、yeyxu2sin解解:udxd1yyd)cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 9感谢你的观看2019年5月19日可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)10感谢你的观看2019年5月19日半径由 20cm 增大解解:已知,
7、2hrVV,100,20hr)1(2005.01002022V即受压后圆柱体体积减少了.cm2003例例3.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则 rrh2hr 21,05.0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体11感谢你的观看2019年5月19日例例4.4.计算的近似值.02.204.1解解:设yxyxf),(,则),(yxfx取,2,1yx则)02.2,04.1(04.102.2fyfxffyx)2,1()2,1()2,1(08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,
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