例题数据线性代数第六章1课件.ppt

1、 在第四章中在第四章中,我们用线性运算来讨论我们用线性运算来讨论 n 维数组维数组这些概念和性质这些概念和性质.性空间中的元素仍然适用性空间中的元素仍然适用.以后我们将直接引用以后我们将直接引用有关的性质只涉及线性运算有关的性质只涉及线性运算,因此因此,对于一般的线对于一般的线组合、线性相关与线性无关等等组合、线性相关与线性无关等等.这些概念以及这些概念以及向量之间的关系向量之间的关系,介绍了一些重要概念介绍了一些重要概念,如线性如线性 在第四章中我们已经提出了基与维数的概念在第四章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性的主要特性,特再叙述如下特再叙述如下.这当然也适用于一般的线性空间这当

2、然也适用于一般的线性空间.这是线性空间这是线性空间 记作记作 Vn.维数为维数为 n 的线性空间称为的线性空间称为,若知若知 1,2,n为为 Vn 的一个基的一个基,则则 Vn,R,|12211nnnnxxxxxV这就较清楚地显示出线性空间这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造的构造.并且这组数是唯一的并且这组数是唯一的.=x1 1+x2 2+xn n,何何 Vn,都有一组有序数都有一组有序数 x1,x2,xn,使使若若 1,2,n为为 Vn 的一个基的一个基,则对任则对任可表示为可表示为 反之反之,任给一组有序数任给一组有序数 x1,x2,xn,总有总有组有序数来表示元素组有序数来表示元素

3、 .于是我们有于是我们有之间存在着一种一一对应的关系之间存在着一种一一对应的关系,因此可以用这因此可以用这(x1,x2,xn)T 这样这样,Vn 的元素的元素 与有序数组与有序数组 唯一的元素唯一的元素 =x1 1+x2 2+xn n Vn.=(x1,x2,xn)T.,并记作并记作 在线性空间在线性空间 P x 4 中中,p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4 就是它的一个基就是它的一个基.任一不超过任一不超过 4 次的多项式次的多项式 p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 都可表示为都可表示为 p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此因此 p 在这

4、个基下的坐标为在这个基下的坐标为 (a0,a1,a2,a3,a4 )T.若另取一若另取一 个基个基.21)(54433221110qaqaqaqaqaap因此因此 p 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为.),21,(T432110aaaaaa,2,1,145342321xqxqxqxqq则则 建立了坐标以后建立了坐标以后,就把抽象的向量就把抽象的向量 与具体与具体于是于是 =y1 1+y2 2+yn n,=x1 1+x2 2+xn n,设设 ,Vn,有有系起来系起来:可把可把 Vn 中抽象的线性运算与数组的线性运算联中抽象的线性运算与数组的线性运算联的数组向量的数组向量(x1,x2,xn)T

5、 联系起来了联系起来了.并且还并且还 +=(x1+y1)1+(xn+yn)n,=(x1)1+(xn)n,即即 +的坐标是的坐标是(x1,xn)T=(x1,xn)T.的坐标是的坐标是 =(x1,xn)T+(y1,yn)T,(x1+y1,xn+yn)T 总之总之,设在设在 n 维线性空间维线性空间 Vn 中取定一个基中取定一个基 因此因此,我们可以说我们可以说 Vn 与与 Rn 有相同的结构有相同的结构,我们称我们称也就是说也就是说,这个对应关系保持线性组合的对应这个对应关系保持线性组合的对应.2.(x1,xn)T,1.+(x1,xn)T+(y1,yn)T;设设 (x1,xn)T,(y1,yn)T

6、,则则个一一对应的关系个一一对应的关系,且这个关系具有下述性质且这个关系具有下述性质:向量空间向量空间 Rn 中的向量中的向量(x1,xn)T 之间就有一之间就有一 1,2,n,则则 Vn 中的向量中的向量 与与 n 维数组维数组Vn与与 Rn 同构同构.结构完全被它的维数所决定结构完全被它的维数所决定.数相等的线性空间都同构数相等的线性空间都同构.从而可知线性空间的从而可知线性空间的 显然显然,任何任何 n 维线性空间都与维线性空间都与 Rn 同构同构,即维即维U.系保持线性组合的对应系保持线性组合的对应,那么就说线性空间那么就说线性空间 V 与与 它们的元素之间有一一对应关系它们的元素之间

7、有一一对应关系,且这个对应关且这个对应关 一般地一般地,设设 V 与与 U 是两个线性空间是两个线性空间,如果在如果在 同构的概念除元素一一对应外同构的概念除元素一一对应外,主要是保持主要是保持义义.备备,例如例如 Rn 中的内积概念在中的内积概念在 Vn 中就不一定有意中就不一定有意Rn 中超出线性运算的性质中超出线性运算的性质,在在 Vn 中就不一定具中就不一定具凡是只涉及线性运算的性质就都适用于凡是只涉及线性运算的性质就都适用于 Vn.但但运算就可转化为运算就可转化为 Rn 中的线性运算中的线性运算,并且并且 Rn 中的中的线性运算的对应关系线性运算的对应关系.因此因此,Vn 中的抽象的线性中的抽象的线性