但电容电流电感电压及电阻电压课件.ppt

1、第七章第七章 动态电路的时域分析法动态电路的时域分析法第一节第一节 动态电路及其研究方法动态电路及其研究方法第二节第二节 换路定律及初始值的计算换路定律及初始值的计算第三节第三节 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应第四节第四节 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应第五节第五节 一阶电路的全响应一阶电路的全响应第六节第六节 一阶电路的三要素分析一阶电路的三要素分析在图在图7-1a所示电路中，开关所示电路中，开关s闭合前闭合前电容两端的端电压电容两端的端电压uc=0，电路处于一，电路处于一种稳定状态。在种稳定状态。在t=0瞬间将瞬间将s闭合时，闭合时，结果发现微安表的指针先摆动到某个结果

2、发现微安表的指针先摆动到某个刻度，随后便逐渐回到零值。这时电刻度，随后便逐渐回到零值。这时电路过渡到另一种新的稳定状态，其电路过渡到另一种新的稳定状态，其电压压uc和电流和电流i的变化规律如图的变化规律如图7-1b所所示。一般地，示。一般地，把电路从一种稳定状态把电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。做电路的过渡过程。第一节第一节 动态电路及其研究方法动态电路及其研究方法一、电路的过渡过程一、电路的过渡过程a)b)图图7-1二、研究动态电路的一般方法二、研究动态电路的一般方法含有动态元件的电路称为动态电路。研究动态电路的方含有动态元

3、件的电路称为动态电路。研究动态电路的方法有很多，这里只能介绍经典的时域分析法，其主要步法有很多，这里只能介绍经典的时域分析法，其主要步骤是：骤是：1 1）根据电路的两类约束，对换路后的电路建立所求响）根据电路的两类约束，对换路后的电路建立所求响应为变量的微分方程。电路方程的建立要满足两个条件：应为变量的微分方程。电路方程的建立要满足两个条件：其一为电路其一为电路KCLKCL、KVLKVL定律，即电路的结构约束；其二定律，即电路的结构约束；其二为元件自身的电压、电流关系的约束。为元件自身的电压、电流关系的约束。2 2）确定出所求响应在换路后的初始值。）确定出所求响应在换路后的初始值。3 3）根据

4、初始值确定出积分常数，从而得到电路所求响）根据初始值确定出积分常数，从而得到电路所求响应的时间函数。应的时间函数。现以图现以图7-1所示的所示的RC电路为例，建立电路为例，建立uc的微分的微分方程式。方程式。根据根据KVLKVL有有 (t0)(7-1)(t0)(7-1)SCRUuu在关联参考方向下，电阻、电容元件的电压、电流关系为在关联参考方向下，电阻、电容元件的电压、电流关系为dtduRCRiudtduCiCRC代入式（代入式（7-1），整理后得出），整理后得出此电路方程是以电容电压为变量的一阶线性常系数微分方程。此电路方程是以电容电压为变量的一阶线性常系数微分方程。SCCUudtduRC（

5、7-2）第二节第二节 换路定律及初始值的计算换路定律及初始值的计算 一、换路定律一、换路定律含有储能元件的电路在换路后，一般都要经历一段过渡过程。含有储能元件的电路在换路后，一般都要经历一段过渡过程。对于电感元件，在换路时电感中的电流不能跃变；对于电容对于电感元件，在换路时电感中的电流不能跃变；对于电容元件，在换路时电容上的电压不能跃变。因此无论产生过渡元件，在换路时电容上的电压不能跃变。因此无论产生过渡过程的原因是什么，只要过程的原因是什么，只要换路瞬间电容中的电压或电感上的换路瞬间电容中的电压或电感上的电流为有限值，则在换路后的一瞬间，电感中的电流和电容电流为有限值，则在换路后的一瞬间，电

6、感中的电流和电容上的电压都应当保持换路前一瞬间的数值而不能跃变，换路上的电压都应当保持换路前一瞬间的数值而不能跃变，换路后就以此为起始值而连续变化直到新的稳态值。这个规律称后就以此为起始值而连续变化直到新的稳态值。这个规律称为换路定律。为换路定律。这是过渡过程中确定电路初始值的主要依据。这是过渡过程中确定电路初始值的主要依据。设设 -表示换路的瞬间表示换路的瞬间 0t-表示换路前的瞬间表示换路前的瞬间 0t-表示换路后的瞬间表示换路后的瞬间 0t电路换路在电路换路在 到到 的瞬间完成，则换路定律可表示如下：的瞬间完成，则换路定律可表示如下：0t 0t00LLii由换路定律可以确定电路中电感上的

7、电流、电容上的电压的初由换路定律可以确定电路中电感上的电流、电容上的电压的初始值；电路中其它电压、电流的初始值，将根据始值；电路中其它电压、电流的初始值，将根据 时的等时的等效电路求得。效电路求得。0t00CCuu(7-3)二、确定初始值的方法和步骤二、确定初始值的方法和步骤 根据换路定律，只有电容电压和电感电流在换路瞬间不能突根据换路定律，只有电容电压和电感电流在换路瞬间不能突变。其它各量均不受换路定律的约束。为叙述方便，把遵循变。其它各量均不受换路定律的约束。为叙述方便，把遵循换路定律的换路定律的 和和 称为独立初始值，而把其余的初称为独立初始值，而把其余的初始值如始值如 、等称为相关初始

8、值。等称为相关初始值。0Cu0Li0ci0Lu0Ru0Ri1、独立初始值，可通过作换路前、独立初始值，可通过作换路前 等效电路求得。具体等效电路求得。具体 步骤为：步骤为：0t1）作出）作出 时的等效电路，求时的等效电路，求 出和出和 0t0Cu0Li2）根据换路定律确定出）根据换路定律确定出 和和 的值的值 0Cu0Li2、相关初始值，可通过作出换路后的等效电路来计算。具、相关初始值，可通过作出换路后的等效电路来计算。具体步骤为：体步骤为：1）用电压为）用电压为 的电压源和电流的电压源和电流 的电流源取的电流源取代原电路中代原电路中 和和 的位置，可得的位置，可得 等效电路等效电路 0Cu0

9、LiCL 0t2）由）由 等效电路求出电路中相关初始值等效电路求出电路中相关初始值 0t例例7-2 图图7-3（a）所示电路中，已知）所示电路中，已知Us=18V，R1=1，R2=2，R3=3，L=0.5H，C=4.7F，开关，开关S在在t=0时时合上，设合上，设S合上前电路已进入稳态。试求合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i2(0+)、uL(0+)、uC(0+)。解解 第一步，作第一步，作t=0-等效电路如等效电路如图图7-3（b）所示，这时电感）所示，这时电感相当于短路，电容相当于开路。相当于短路，电容相当于开路。第二步，根据第二步，根据t=0-等效电路，计算换路前的电

10、感电流和等效电路，计算换路前的电感电流和电容电压：电容电压：ViRuARRUiLCSL126200621180221根据换路定律，可得根据换路定律，可得VuuAiiCCLL1200600第三步，作出第三步，作出t=0+等效电路如等效电路如图图7-3（c）所示，这时电感）所示，这时电感L相当于一个相当于一个12V的电流源，电容的电流源，电容C相当于一个相当于一个12V的电压源。的电压源。第四步，根据第四步，根据t=0+等效电路，计算其它的相关初始值等效电路，计算其它的相关初始值 ViRUuAiiiARuUiLSLLCS66218008260002312180022133例例7-3 电路如电路如图

11、图7-4所示，开关所示，开关S闭合前电路已稳定，已闭合前电路已稳定，已知知 时开关时开关S闭合，闭合，试求试求 及及 。040,20,30,10321tRRRVUS。0Lu0Ci解解（1）首先求）首先求 和和 0Lu0Ci解解 （1）首先求S闭合前电路已处于直流稳态，故电容相当于开路，电感相闭合前电路已处于直流稳态，故电容相当于开路，电感相当于短路，据此可画出当于短路，据此可画出t=0-时的等效电路，如时的等效电路，如图图7-5a所示。所示。VVURRRuAARRUiSCSL41020302002.0203010021221（2）根据换路定律，有）根据换路定律，有VuuAiiCCLL4002.

12、000（3）将电感用）将电感用0.2A电流源替代，电容用电流源替代，电容用4V电压源替代，可电压源替代，可得得t=0+时刻的等效电路，如时刻的等效电路，如图图7-5b所示。故所示。故 0Lu001CCSuRiU04302.010V0Li00032iiiL32000RuRuiCCLAA1.01.02.02.01）换路定律仅指出）换路定律仅指出 和和 在换路瞬间不能跃变，但电容在换路瞬间不能跃变，但电容电流、电感电压及电阻电压、电流都有可能发生跃变。电流、电感电压及电阻电压、电流都有可能发生跃变。CuLi通过上面的例题，可以看出：通过上面的例题，可以看出：2）电路初始值应根据时的等效电路进行计算，

13、但在求）电路初始值应根据时的等效电路进行计算，但在求 和和 时，需先求出时，需先求出 和和 的值。而它们的值的值。而它们的值要根据换路前的电路计算。要根据换路前的电路计算。0Cu0Li0Cu0Li3）时的等效电路只在换路后一瞬间有效。时的等效电路只在换路后一瞬间有效。0tLu1R2R3RSUC0tS1i2iLiLCu1R1RSU 0Cu2R0Li3RA62R3RSU 0Cu 0Li02i 01i(a)(b)(c)图图7-3LCCuLuLi2R)0(tS1RSU3Rb)0t图图7-5a)0tb)0t图图7-5图图7-4第三节第三节 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应所谓一阶电路是指电路中仅

14、有一个储能元件所谓一阶电路是指电路中仅有一个储能元件（电容或电感），储能元件的初始值（电容或电感），储能元件的初始值uC(0+)和和iL(0+)表征了电路在换路瞬间的初始储能。所谓表征了电路在换路瞬间的初始储能。所谓零输入响应，就是动态电路在没有外加激励的零输入响应，就是动态电路在没有外加激励的条件下，仅由电路初始储能产生的响应。条件下，仅由电路初始储能产生的响应。一、一、RC电路的零输入响应电路的零输入响应 1 1、RCRC电路的放电过程电路的放电过程 在图在图7-6所示的所示的RC电路中，开关电路中，开关S闭合闭合前，电容前，电容C已已 经充电，电容上电压经充电，电容上电压uC(0-)=U

15、0，其方向如图所示。当，其方向如图所示。当t=0时时刻开关刻开关S闭合，根据换路定律，有闭合，根据换路定律，有iRCu)0(tSPu图图7-6uC(0+)=uC(0-)=U0，电路在，电路在uC(0+)作用下产生电流作用下产生电流i(0+)=U0/R，电容电容C将通过将通过R放电。随着时间的增加，电容电压将逐渐下放电。随着时间的增加，电容电压将逐渐下降，放电电流也将逐渐减小；直到电容的初始储能逐渐被电降，放电电流也将逐渐减小；直到电容的初始储能逐渐被电阻耗尽，这时阻耗尽，这时uC衰减到零，衰减到零，uR和和i也衰减到零，放电过程结也衰减到零，放电过程结束，电路达到新的稳态。束，电路达到新的稳态

16、。对于对于图图7-6换路后的电路，根据基尔霍夫电压定律，可得换路后的电路，根据基尔霍夫电压定律，可得0RCuu（t0）将将 与与 （式中负号是因为与参考方向不一（式中负号是因为与参考方向不一致致），），代入上式代入上式，整理得整理得 RiuRdtduCiC0CCudtduRC（t0）（7-4）这是一个常系数一阶线性齐次微分方程，由数学知识可知，这是一个常系数一阶线性齐次微分方程，由数学知识可知，其通解形式为其通解形式为 PtCAeu其中，其中，为特性方程的根，为特性方程的根，A为待定的积分常数。式（为待定的积分常数。式（7-4）的特征方程可将的特征方程可将 代入而得代入而得PtCAeuP 01

17、RCP 其特征根为其特征根为RCP1于是，式（于是，式（7-4）的通解为）的通解为 tRCCAetu1（t0）积分常数积分常数A可由电路的初始值来确定。将可由电路的初始值来确定。将 代代入上式，得入上式，得 00UuC000UAAeuRCC令令=RC，则电容放电过程中电容电压，则电容放电过程中电容电压 随时间变化规随时间变化规律的表达式为律的表达式为 Cu tRCtCeUeUtu00(t0)（7-5）电路中的放电电流电路中的放电电流 和电阻电压和电阻电压 分别为分别为 ti tuR tRCtCeRUeRUdtduCti00（t0）（7-6）tRCtReUeUiRtu00（t0）（7-7）从式（

18、从式（7-5）、（）、（7-6）和式（）和式（7-7）中可以看出，电容电）中可以看出，电容电压压 换路后从初始值换路后从初始值 开始按指数规律随时间增长而开始按指数规律随时间增长而逐渐趋近于零。见逐渐趋近于零。见图图7-7a所示，而与所示，而与 不同的是不同的是 和和 在在t=0时发生跃变，即由零跃变到最大值时发生跃变，即由零跃变到最大值 和和 之后按指数规律随时间逐渐衰减到零，见之后按指数规律随时间逐渐衰减到零，见图图7-7b所示。所示。tuC0U tuC ti tuRRU00Ua)b)图图7-7iCu0R)0(tSSU121R2R图图7-82、时间常数、时间常数 因为因为=RC具有时间的量

19、纲，即具有时间的量纲，即 安秒安安库伏库安伏RC=欧法=秒是一个很重要的物理量，它表征了电路过渡过程的快慢。是一个很重要的物理量，它表征了电路过渡过程的快慢。在在RC电路中，时间常数电路中，时间常数仅决定于电路参数。当仅决定于电路参数。当U0一定一定时，时，R越大，放电电流越小，而越大，放电电流越小，而C越大储存的电场能量就越大储存的电场能量就越多，这些都使得放电过程缓慢，放电时间加长。越多，这些都使得放电过程缓慢，放电时间加长。例例7-4 在在图图7-8所示电路中，已知所示电路中，已知R1=5K，R2=1.5K，C=1F，Us=8V。开关。开关S长期闭合在位置长期闭合在位置1上，如在上，如在

20、t=0时时把它合到位置把它合到位置2，试求电容上电压，试求电容上电压 及放电电流及放电电流 。tuC ti解解（1）确定所求响应的初始值）确定所求响应的初始值在在 时，时，0tVuC60由换路定律得由换路定律得VuuCC600（2）换路后的时间常数）换路后的时间常数sCRR36321102101102根据式（根据式（7-5）可得）可得 AeAedtduCtiVeeUeUtuttCttCRRtC2222110510531050041048例例7-5 如如图图7-9a)所示的电路，开关所示的电路，开关S闭合前电路已处于闭合前电路已处于稳态。在稳态。在t=0时将开关时将开关S闭合，试求闭合，试求t0

21、时的电容电压时的电容电压 和和电流电流 、及及 。tuC tiC ti1 ti2VVuUC33321600解：（解：（1）确定电容电压的初值，作）确定电容电压的初值，作 等效电路，如等效电路，如图图7-9b)所示，则有所示，则有 0t（2）电路的时间常数）电路的时间常数换路后的等效电路如换路后的等效电路如图图7-9c）所示。放电的等效电阻为）所示。放电的等效电阻为 1RR 2.132322R所以所以ssRC661061052.1根据式根据式（7-5）可得可得 VeeeUutttC56107.1106033（t0）AedtduCtitCC5107.15.2（t0）AeuRutitCC5107.1

22、223（t0）AeiitiC5107.1215.1（t0）通过以上两例可见，求解通过以上两例可见，求解RC电路的零输入响应时，只要计电路的零输入响应时，只要计算出电容电压的初始值与电路的时间常数，就可以根据式算出电容电压的初始值与电路的时间常数，就可以根据式（7-5）直接写出结果。但应注意，电路时间常数中的）直接写出结果。但应注意，电路时间常数中的R是是从电容元件两端看进去的等效电阻从电容元件两端看进去的等效电阻 CCuCi0R)0(tS1R1i2iV632R12F50R1RV632R0Cu12CuCi1R1i2i32R2F5a)b)c)图图7-9LRLuLi0R)0(tSSURu图图7-10

23、二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应RL电路的零输入响应与电路的零输入响应与RC电路的零输入响应相似。电电路的零输入响应相似。电路如路如图图7-10所示，开关所示，开关S闭合前电路已稳定，则电感闭合前电路已稳定，则电感L相相当于短路，此时电感电流为当于短路，此时电感电流为 000IRUiSL时将开关时将开关S闭合，根据换路定律有闭合，根据换路定律有 0t000IiiLL此时，电感元件储有能量，随着时间推移，磁场能量被此时，电感元件储有能量，随着时间推移，磁场能量被电阻电阻R消耗，电流也逐渐衰减到零。电路到达新的稳态。消耗，电流也逐渐衰减到零。电路到达新的稳态。下面通过数学分析，找出电感

24、电流和电压随时间的变化规律。下面通过数学分析，找出电感电流和电压随时间的变化规律。对对图图7-10换路后的电路，根据基尔霍夫电压定律，可得换路后的电路，根据基尔霍夫电压定律，可得0RLuu（t0）将将 与与 代入上式，可得代入上式，可得RiuLRdtdiLuLL0LLRidtdiL（t0）(7-8)这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，其通解形式为这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，其通解形式为 PtLAeti相应的特征方程相应的特征方程0 RLP其特征根为其特征根为LRP则微分方程的通解则微分方程的通解 tLRLAeti（t0）代入初始条件代入初始条件 ，可得，可得 故电路的零输入响应为故

25、电路的零输入响应为 00IiL0IA tLReIti0（t0）电路的时间常数电路的时间常数 ，具有时间量纲，其大小反映了过，具有时间量纲，其大小反映了过渡过程的快慢。渡过程的快慢。RLRL于是于是 电路放电电流和电感电压分别为电路放电电流和电感电压分别为RL ttLReIeIti00（t0）（7-9）（7-11）tRtLRLLeRIeRIdtdiLtu00)(ttLRLReIReRIRitu000（t0）（7-10）从式（从式（7-9）、（）、（7-10）和式（）和式（7-11）中可以看出，电感）中可以看出，电感电流电流 在换路后从初始值在换路后从初始值 开始按指数规律变化，而电开始按指数规律

26、变化，而电阻电压阻电压 、电感电压、电感电压 在换路后由在换路后由RIRI0和和-RI-RI0按指数按指数规律随时间逐渐衰减到零，如规律随时间逐渐衰减到零，如图图7-11所示所示 tiL0I tuR tuLa)b)图图7-11L1RLuLi0R)0(tSSU2R12图图7-12例例7-6 电路如电路如图图7-12所示，已知所示，已知R0=1，R1=R2=2，L=2H，Us=2V，开关，开关S长时间合在长时间合在1的位置。当在的位置。当在t=0时把它合到位置时把它合到位置2，试求电感元件中的电流试求电感元件中的电流 及其两端电压及其两端电压 ti tuL解解（1）确定所求响应的初始值）确定所求响

27、应的初始值在在 时，时，0tARRUiSL32010由换路定律得由换路定律得 AiiLL3200（2）列写换路后的微分方程）列写换路后的微分方程在图示的参考方向下，根据在图示的参考方向下，根据KVL可得可得0)(21LLuiRR dtdiLtuLL因为因为021LLiRRdtdiL所以所以（3）解方程求出其响应的时间函数）解方程求出其响应的时间函数根据式（根据式（7-9）可得）可得 tPtLAeAeti（t0）换路后的换路后的 电路的时间常数电路的时间常数RLsRRLRL214221电感中电流的初始值为电感中电流的初始值为 AAitiL32)0(所以所以 AeAetittL232（t0）Ved

28、tdiLtutLL238（t0）从上例分析可见，电感线圈的直流电源断开时，线圈两端从上例分析可见，电感线圈的直流电源断开时，线圈两端会产生高电压，从而出现火花甚至电弧，常会损坏开关设会产生高电压，从而出现火花甚至电弧，常会损坏开关设备。因此工程上常采用在线圈两端并联续流二极管或接入备。因此工程上常采用在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路，如阻容吸收电路，如图图7-13a）、）、b）。）。LR)0(tSSUDVa)b)图图7-13RuCCu)0(tSSUR图图7-14a)b)图图7-15第四节第四节 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应就是在电路储能元件初始储能为零的零状态响

29、应就是在电路储能元件初始储能为零的条件下，仅由外加激励所引起的响应。条件下，仅由外加激励所引起的响应。一、一、RC电路的零状态响应电路的零状态响应研究研究RC电路的零状态响应，实际上就是研究它的充电过程，电路的零状态响应，实际上就是研究它的充电过程，如如图图7-14所示电路所示电路。根据根据KVL，图图7-14中中S闭合后的电路有闭合后的电路有将将 ,代入上式可得代入上式可得 RiuRdtduCiCScRUuu（t0）SCCUudtduRC（t0）（7-12）（7-12）式是一个常系数一阶线性非齐次微分方程，由数学）式是一个常系数一阶线性非齐次微分方程，由数学可知，它的解由其特解可知，它的解由

30、其特解 和相应齐次微分方程的通解和相应齐次微分方程的通解 两部分组成，即：两部分组成，即：CuCu cccuuu非齐次微分方程的特解，正常取换路后电容电压的稳态值，非齐次微分方程的特解，正常取换路后电容电压的稳态值，所以特解又称为电路的稳态解或稳态分量。其特解为：所以特解又称为电路的稳态解或稳态分量。其特解为：SCUu而一阶线性齐次微分方程的通解，由本章第而一阶线性齐次微分方程的通解，由本章第3节可知，其节可知，其通解为：通解为：RCtCAeu这是一个随时间增长而衰减的指数函数，它是电路在过渡这是一个随时间增长而衰减的指数函数，它是电路在过渡过程期间才存在的一个分量，所以常把过程期间才存在的一

31、个分量，所以常把 称为电路的在称为电路的在暂态解或暂态分量暂态解或暂态分量 Cu于是式（于是式（7-12）的解为）的解为 RCtSCCAeUuutu将初始条件将初始条件 代入上式，可得代入上式，可得00CuSUA因此，电容电压因此，电容电压 的零状态响应的全解为：的零状态响应的全解为：Cu tSRCtSRCtSSCeUeUeUUtu11（t0）（7-13）充电电流充电电流 和电阻电压和电阻电压 为：为：ti tuR tSCeRUdtduCti（t0）（7-14）tSReURitu（t0）（7-15）式中式中 是是 充电电路的时间常数，它表征了充电的快充电电路的时间常数，它表征了充电的快慢程度。

32、慢程度。、和和 随时间变化的曲线如随时间变化的曲线如图图7-15a）、）、b）所示所示 RCRC tuC tuR ti例例7-7 在如在如图图7-19所示的电路中，已知所示的电路中，已知 ，。求。求S 闭合后，电容电压、电流及电阻电闭合后，电容电压、电流及电阻电压压uR。FC5100RVUS22000Cu解：时间常数为：解：时间常数为：ssRC56105105.0100 将将 及电源电压及电源电压 代入式（代入式（7-13）得）得 SUVeeUuttSC410212201根据式（根据式（7-14）和式（）和式（7-15）可得出：）可得出：VeeUtuAeeRUdtduCtittSRttSC44

33、1021022202.2iRuCCu)0(tSSUR图图7-19iCU00RCCua)b)图图7-20LLu)0(tSRuSURi图图7-21例例7-8 图图7-20a所示电路，已知：所示电路，已知：，求开关，求开关S闭合后的闭合后的 。VUS15 kR31 kR62FC500Cu tuC解：解：求等效电源的电压和电阻求等效电源的电压和电阻 VURRRUSOC101563621210RR kR22于是，电路可等效为于是，电路可等效为图图7-20b计算电路的时间常数：计算电路的时间常数：sCR36301010105102将所得参数代入式将所得参数代入式(7-13)得：得：VeutC100110（

34、t0）二、二、RLRL电路的零状态响应电路的零状态响应 在在图图7-21所示的所示的RLRL串联电路中，开关串联电路中，开关S闭合前，电感初始储闭合前，电感初始储能为零，即能为零，即 ，电路处于零状态。当，电路处于零状态。当t=0时，开关时，开关S闭闭合，根据换路定律有：合，根据换路定律有：,电感相当于开路，电源电感相当于开路，电源电压电压 加于电感两端，即加于电感两端，即 00Li000LLiiSLUu0SU 电路换路后，根据电路换路后，根据KVL，列出电路的微分方程为，列出电路的微分方程为SLLURidtdiL（t0）（7-16）这也是一个常系数一阶线性非齐次微分方程，它的解同样这也是一个

35、常系数一阶线性非齐次微分方程，它的解同样由其特解由其特解 和相应的齐次方程的通解和相应的齐次方程的通解 组成，即组成，即 LiLiLLLiii显然，特解仍是稳态值：显然，特解仍是稳态值：RUiSL 而通解仍为暂态分量：而通解仍为暂态分量：tLRLAei因此，式（因此，式（7-16）的解为）的解为:tLRSLLLAeRUiii（t0）将初始值将初始值 代入上式，可确定出积分常数代入上式，可确定出积分常数为为000LLiiRUAS令令 ，则电路的零状态相应，则电路的零状态相应 为：为：RL tiL tStLRSSLeRUeRURUti1（t0）（7-17）电感电压电感电压 和电阻电压和电阻电压 分

36、别为分别为 tuL tuR tSLeUdtdiLtu tSLReURitu1（t0）（7-18）（t0）（7-19）、和和 随时间变化的波形曲线如随时间变化的波形曲线如图图7-22所示所示 tiL tuL tuR从式（从式（7-13）和式（）和式（7-18）可知，）可知，RCRC和和RLRL电路零状态响应电路零状态响应都包含两项，一项是方程的特解，是电路换路后进入稳态的都包含两项，一项是方程的特解，是电路换路后进入稳态的解，称为稳态分量。因稳态分量受电路输入激励的制约，故解，称为稳态分量。因稳态分量受电路输入激励的制约，故又称为强制分量。另一项是相应的齐次方程的通解，它按指又称为强制分量。另一

37、项是相应的齐次方程的通解，它按指数规律衰减，衰减的快慢由时间常数来确定；当数规律衰减，衰减的快慢由时间常数来确定；当t时，它时，它趋于零，故称其为暂态分量。因暂态分量的变化规律不受输趋于零，故称其为暂态分量。因暂态分量的变化规律不受输入激励的制约，因此，相对于强制分量，又称其为自由分量。入激励的制约，因此，相对于强制分量，又称其为自由分量。当暂态分量衰减为零时，电路过渡过程就结束而进入稳态。当暂态分量衰减为零时，电路过渡过程就结束而进入稳态。SURUS00uittLuRu图图7-22a)b)图图7-23SI2R)0(tSA3421RLu图图7-24例例7-9 在在图图7-23所示电路中，所示电

38、路中，已知已知 ，当开关当开关S闭合后，求：闭合后，求：电路的稳态电流及电流到达稳态值电路的稳态电流及电流到达稳态值的的63.2%所需的时间；所需的时间；当当 、及及 时，线时，线圈两端的电压各是多少？圈两端的电压各是多少？VUS20 20RHL2 0tst2.0t解解 当电路达到稳态时，当电路达到稳态时，L L 相当于短路，稳态电流相当于短路，稳态电流 AARUIS12020电流上升到稳态值的电流上升到稳态值的63.2%所需要的时间等于电路的时所需要的时间等于电路的时间常数，故间常数，故ssRL1.0102由式（由式（7-18）得电感两端电压）得电感两端电压:VeeUuttSL1020当当

39、t=0时时VUuSL200当当t=0.2s时时VeeUuSL7.22022.010当当t=时时0Lu例例7-10 图图7-24所示电路，换路前电路已达稳态，在所示电路，换路前电路已达稳态，在t=0时时开关开关S打开，求打开，求0时的时的 和和 。tiL tuL解解 因为因为 ，故换路后电路的响应为零状态。因此电感，故换路后电路的响应为零状态。因此电感电流表达式可套用式（电流表达式可套用式（7-19）。又因为电路稳定后，电）。又因为电路稳定后，电感相当于短路，所以感相当于短路，所以 00Li AIRRRiSL13422211时间常数时间常数sRL5.0423根据式（根据式（7-19）得）得 Ae

40、titL21（t0）VedtdiLtutLL26则则（t0）第五节第五节 一阶电路的全响应一阶电路的全响应一、全响应一、全响应当一阶电路中既有初始储能又有外加激励时，电当一阶电路中既有初始储能又有外加激励时，电路所产生的响应称为全响应。路所产生的响应称为全响应。对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加，应的叠加，图图7-28a）所示电路中，电容的初始电压）所示电路中，电容的初始电压为为 ，开关，开关S在在t=0时闭合而接通直流电压。不时闭合而接通直流电压。不难看出，换路后该电路可看成零输入条件下的放电过难看出，换路后该电路可看成零输入条件下的

41、放电过程和零初始条件下的充电过程的叠加，如程和零初始条件下的充电过程的叠加，如图图7-28所示。所示。00UuC a)b）c）图图7-28a)b)c)图图7-29换路后，电容电压换路后，电容电压u uc的零输入响应的零输入响应u uc1和零状态响应和零状态响应u uc2分别为分别为:tSCtCeUueUu1201而电路的全响应为而电路的全响应为 tStCCCeUeUuutu1021(t0)（7-20）即即 全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应例例7-11 如如图图7-29a所示电路，所示电路，,开关开关S闭合前电路已处于稳态，闭合前电路已处于稳态，S在在t=0时闭合。时闭合

42、。求求S闭合后闭合后u uc c的变化规律。的变化规律。10321RRRFC100VUS10解解 在在图图7-29b中，由于开关中，由于开关S闭合前电路已处稳态，故闭合前电路已处稳态，故VVURRRRuUSC3101010101010032130时间常数时间常数sCRR-4105s632101005)/(所以，零输入响应为所以，零输入响应为VeeUuttC310201310在在图图7-29C中，电路的零状态响应为中，电路的零状态响应为VeeURRRuttSC310232321101010101将以上两部分叠加得的全响应为将以上两部分叠加得的全响应为VeeuuuttCCC331021022115

43、310Vet3102355二、全响应的分解二、全响应的分解以上分析是把全响应看作是零输入响应和零状态响应之和。以上分析是把全响应看作是零输入响应和零状态响应之和。显然，零输入响应和零状态响应均为全响应的一种特殊情况。显然，零输入响应和零状态响应均为全响应的一种特殊情况。图图7-28a）所示电路，根据）所示电路，根据KVL，有，有SCCUudtduRC(t0)其方程的解由特解其方程的解由特解 和相应齐次方程的通解和相应齐次方程的通解 组成，即组成，即 SCUutCAeutSCCCAeUuuu代入初始条件代入初始条件 ，可得，可得00UuCSUUA0则全响应则全响应tSSCCCeUUUuuu0(t

44、0)（7-21）(7-21)式中稳态分量式中稳态分量 和暂态分量和暂态分量 是根据微分方程解的物理意义对全响应的又一分解方式。是根据微分方程解的物理意义对全响应的又一分解方式。实际上，将式（实际上，将式（7-20）稍加变换，即可看出两种分解，）稍加变换，即可看出两种分解，结果相同。即结果相同。即SCUutSCeUUu0Cu零输入响应teU0零状态响应tSeU1+稳态分量SU暂态分量tSeUU0+=由此可见，全响应即可分解为零输入响应与零状态响应之由此可见，全响应即可分解为零输入响应与零状态响应之和，也可分解为稳态分量与暂态分量之和，但应注意的是，和，也可分解为稳态分量与暂态分量之和，但应注意的

45、是，这只是分析问题的着眼点不同，其本质还是同一响应。这只是分析问题的着眼点不同，其本质还是同一响应。例例7-12 如如图图7-30所示电路，已知所示电路，已知 ，开关，开关S在在t=0时闭合，试求：时闭合，试求：开关开关S闭合后的变化闭合后的变化规律；规律；开关开关S闭合后要经过多长时间电流才能上升到闭合后要经过多长时间电流才能上升到15A？VUS22081R122RHL6.0解解 在开关在开关S闭合前电路已处于稳态，电感相当于短路，故闭合前电路已处于稳态，电感相当于短路，故 AARRUiS11128220021S闭合后，闭合后，R R1 1被短路，电路变为被短路，电路变为RLRL串联电路，时

46、间常数为串联电路，时间常数为 ssRL05.0126.02电路到达新稳态时，电感仍相当于短路，故直流稳态响应电路到达新稳态时，电感仍相当于短路，故直流稳态响应AARUiS3.18122202暂态响应暂态响应tAei 全响应全响应tAeiii 3.18图图7-30积分常数积分常数A可由的初始值确定如下：可由的初始值确定如下：时，根据换路时，根据换路定律定律 0t3.73.18113.181111000AAeAiiAeAeitt203.73.183.73.18电流达到所需的时间为电流达到所需的时间为te203.73.1815st039.0第六节第六节 一阶电路的三要素分析一阶电路的三要素分析对较复

47、杂的一阶电路，若通过列微分方程逐步求解是比较麻烦对较复杂的一阶电路，若通过列微分方程逐步求解是比较麻烦的，因此需要掌握一种实用、快捷的方法。的，因此需要掌握一种实用、快捷的方法。由上节对全响应的分解可知，电路的响应是由稳态分量由上节对全响应的分解可知，电路的响应是由稳态分量和暂态分量叠加的结果，见式（和暂态分量叠加的结果，见式（7-21），如写成一般式则为），如写成一般式则为tAeftftftf)()()()(式中，式中，代表电流或电压响应，代表电流或电压响应，是稳态分量，是稳态分量，是是暂态分量。如初始值为暂态分量。如初始值为 ，则得，则得 。于。于是：是：tf ftAe)0(f ffA)0

48、(teffftf0（7-22）由上式可知，对一阶电路的分析，只要求得初始值由上式可知，对一阶电路的分析，只要求得初始值 、稳态值稳态值 和时间常数和时间常数 这三个这三个“要素要素”，就能直接写，就能直接写出电路的响应。出电路的响应。0f f初始值、稳态值和时间常数三个要素的计算：初始值、稳态值和时间常数三个要素的计算：初始值初始值 ：第一步作：第一步作 等效电路，确定独立初始等效电路，确定独立初始值；第二步作值；第二步作 等效电路，计算相关初始值。等效电路，计算相关初始值。0f 0t 0t稳态值稳态值 ：可通过作换路后：可通过作换路后 时的稳态等效电路时的稳态等效电路来求取。注意作来求取。注

49、意作 等效电路时，电容相当与开路；等效电路时，电容相当与开路；电感相当与短路。电感相当与短路。ftt时间常数时间常数 ：RC电路电路 ,RLRL电路电路 。其中。其中R R是换路后从动态元件两端看进去的等效电阻。是换路后从动态元件两端看进去的等效电阻。RCRL需要指出的是，三要素法仅适用于一阶线性电路，对与二阶需要指出的是，三要素法仅适用于一阶线性电路，对与二阶或高阶电路则不适用。或高阶电路则不适用。例例7-13 如如图图7-34a所示电路所示电路,已知已知 ,时开关闭合时开关闭合,试用三要素法分别求试用三要素法分别求 、和和 时的时的 表达式，并画出相应的波形。表达式，并画出相应的波形。VU

50、S9 KR61,32 KR0,1tFC00CuV3V6Cu解解 先确定三要素先确定三要素 初始值初始值根据换路定律，根据换路定律，S闭合后电容电压不能跃变，分别求出闭合后电容电压不能跃变，分别求出换路后的初始值为换路后的初始值为VuVuuVuuVuCCCCCC606030300000时，当时，当时，当V 稳态值稳态值 VVURRRuSC39363211)0(tS2RCuSU1RC图图7-3430VuCst6a)b)2110i0LiV301i1itRuAi5159(a)(b)(c)(d)图图7-35 时间常数时间常数 将将图图7-34a的电压源用短路代替后，从两端看进去的等效的电压源用短路代替后