2019年高考真题文科数学（北京卷）含答案.pdf

1、绝绝密密本本科科目目考考试试启启用用前前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合 A=x|10）的离心率是5，则 a= （A） 6 （B）4（C）2（D） 1 2 （6）设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 （A）充分而不

2、必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 21 2 1 5 2 lg E mm E ， 其中星等为 k m的星的亮度为 k E（k=1,2） 已知太阳的星等是26.7， 天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D） 10.1 10 （8）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB是锐角，大小为 .图中阴影区域的面积的最大值为 （A）4+4cos（B）4+4sin（C）2+2cos（D）2+

3、2sin 第二部分（非选择题 共 110 分） 二二、填填空空题题共共 6 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 30 分分。 （9）已知向量a=（4，3），b=（6，m），且ab，则 m=_ （10） 若 x， y 满足 2, 1, 4310, x y xy 则y x 的最小值为_， 最大值为_ （11）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 _ （12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小 正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_ （13）已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm

4、；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _ （14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃， 价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果 进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付 成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为_ 三三、解解答答题题共共 6 小小题题，共共 80 分分

5、。解解答答应应写写出出文文字字说说明明，演演算算步步骤骤或或证证明明过过程程。 （15）（本小题 13 分） 在ABC 中，a=3，2bc ，cosB= 1 2 （）求 b，c 的值； （）求 sin（B+C）的值 （16）（本小题 13 分） 设an是等差数列，a1=10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （）求an的通项公式； （）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 （17）（本小题 12 分） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方 式之一 为了解某校学生上个月 A， B 两种移动支付方式的使用情况， 从全校所有的 1000

6、名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本 中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于 2 000 元大于 2 000 元 仅使用 A27 人3 人 仅使用 B24 人1 人 （）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数； （）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元 的概率； （） 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化 现从样本仅使用 B 的学生中随 机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2 000 元结合（）的结果，能否认为样本

7、仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由 （18）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点 （）求证：BD平面 PAC； （）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE； （）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 的右焦点为(1,0)，且经过点 (0,1)A （）求椭圆 C 的方程； （）设 O 为原点，直线:(1)l ykxt t 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与

8、x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线 l 经过定点 （20）（本小题 14 分） 已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx （）求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （） 设( ) |( )()|()F xf xxaaR， 记( )F x在区间 2,4上的最大值为 M （a） ， 当 M（a）最小时，求 a 的值 （考考生生务务必必将将答答案案答答在在答答题题卡卡上上，在在试试卷卷上上作作答答无无效效） 绝绝密密启启用用前前 2019 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统

9、一一考考试试 数数学学（文文）（北北京京卷卷）参参考考答答案案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C（2）D（3）A （4）B （5）D（6）C（7）A （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9）8（10）31 （11） 22 (1)4xy（12）40 （13）若,lm l，则m（答案不唯一） （14）13015 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（）由余弦定理 222 2cosbacacB，得 222 1 32 3 2 bcc 因为2bc， 所以 222 1 (2)32 3 2 ccc 解得5

10、c 所以7b （）由 1 cos 2 B 得 3 sin 2 B 由正弦定理得 3 3 sinsin 14 a AB b 在ABC中，BCA 所以 3 3 sin()sin 14 BCA （16） （共 13 分） 解： （）设 n a的公差为d 因为 1 10a ， 所以 234 10,102 ,103ad ad ad 因为 234 10,8,6aaa成等比数列， 所以 2 324 8106aaa 所以 2 ( 22 )( 43 )ddd 解得2d 所以 1 (1) 212 n aandn （）由（）知，212 n an 所以，当7n时，0 n a ；当6n时，0 n a 所以， n S的最

11、小值为 6 30S （17） （共 12 分） 解： （）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人， A，B两种支付方式都不使用的学生有5人 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 40 1000400 100 （） 记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人， 该学生上个月的支付金额大于 2 000元”，则 1 ( )0.04 25 P C （）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元” 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额

12、大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知， ( )P E=0.04 答案示例1：可以认为有变化理由如下： ( )P E比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付 金额大于2 000元的人数发生了变化所以可以认为有变化 答案示例2：无法确定有没有变化理由如下： 事件E是随机事件，( )P E比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法 确定有没有变化 （18）（共14分） 解：（）因为PA 平面ABCD， 所以PABD 又因为底面ABCD为菱形， 所以BDAC 所以BD 平面PAC （）因为PA平面ABCD，AE 平面ABCD， 所以PAAE 因为底面AB

13、CD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点， 所以AECD 所以ABAE 所以AE平面PAB 所以平面PAB平面PAE （）棱PB上存在点F，使得CF平面PAE 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG 则FGAB，且FG= 1 2 AB 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点， 所以CEAB，且CE= 1 2 AB 所以FGCE，且FG=CE 所以四边形CEGF为平行四边形 所以CFEG 因为CF平面PAE，EG平面PAE， 所以CF平面PAE （19） （共 14 分） 解： （I）由题意得，b2=1，c=1 所以a2=b2+c2=2 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2

14、x y （）设P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则直线AP的方程为 1 1 1 1 y yx x 令y=0，得点M的横坐标 1 1 1 M x x y 又 11 ykxt，从而 1 1 | 1 M x OMx kxt 同理， 2 2 | | 1 x ON kxt 由 2 2 , 1 2 ykxt x y 得 222 (12)4220kxktxt 则 12 2 4 1 2 kt xx k ， 2 12 2 22 12 t x x k 所以 12 12 | | | 11 xx OMON kxtkxt 12 22 1212 | (1)(1) x x k x xk txxt 2 2 2 22

15、22 22 12 | 224 (1) ()(1) 1212 t k tkt kk tt kk 1 2| 1 t t 又| | 2OMON， 所以 1 2|2 1 t t 解得t=0，所以直线l经过定点（0，0） （20） （共 14 分） 解： （）由 32 1 ( ) 4 f xxxx得 2 3 ( )21 4 fxxx 令( )1fx，即 2 3 211 4 xx ，得0x 或 8 3 x 又(0)0f， 88 ( ) 327 f， 所以曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程是yx与 88 273 yx， 即yx与 64 27 yx （）令( )( ), 2,4g xf xx x 由 32 1 ( ) 4 g xxx得 2 3 ( )2 4 g xxx 令( )0g x 得0x 或 8 3 x ( ), ( )g x g x的情况如下： x 2 ( 2,0)0 8 (0, ) 3 8 3 8 ( ,4) 3 4 ( )g x ( )g x60 64 27 0 所以( )g x的最小值为6，最大值为0 故6( )0g x ，即6( )xf xx （）由（）知， 当3a 时，( )(0) |(0)|3MFgaaa ； 当3a 时，( )( 2) |( 2)| 63MFagaa； 当3a 时，( )3M a 综上，当( )M a最小时，3a