2019年高考真题数学文（全国卷Ⅲ）含答案.pdf

1、绝绝密密启启用用前前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合 2 1,0,1,21ABx x ，则AB A1,0,1B0,1C1,1D0,1,2 2若(1 i)2iz，则

2、 z= A1 i B 1+iC1 iD1+i 3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典 小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅 读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅 读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人 数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5B0.6C0.7D0.8 5函数( )2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为 A2B3C

3、4D5 6已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3= A 16B 8C4D 2 7已知曲线eln x yaxx在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Aa=e，b=-1Ba=e，b=1Ca=e-1，b=1Da=e-1，1b 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是 线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程

4、序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于 A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 10 已知 F 是双曲线 C： 22 1 45 xy 的一个焦点， 点 P 在 C 上， O 为坐标原点， 若 =OPOF， 则OPF的面积为 A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 11记不等式组 6, 20 xy xy 表示的平面区域为D.命题: ( , ),29px yDxy ；命题 :( , ),212qx yDxy .下面给出了四个命题 pqpq pqpq 这四个命题中，所有真命题的编号是 ABCD 12设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在

5、0,单调递减，则 Af（log3 1 4 ）f（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ） Bf（log3 1 4 ）f（ 2 3 2 ）f（ 3 2 2 ） Cf（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ）f（log3 1 4 ） Df（ 2 3 2 ）f（ 3 2 2 ）f（log3 1 4 ） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量(2,2),( 8,6) ab，则cos,a b_. 14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 37 5,13aa，则 10 S_. 15设 12 FF，为椭圆 C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第

6、一象限.若 12 MFF为 等腰三角形，则 M 的坐标为_. 16 学 生到 工 厂 劳 动实 践 ， 利 用 3D 打 印 技术 制 作 模 型. 如 图 ，该 模 型 为 长方 体 1111 ABCDABC D挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E， F，G，H 分别为所在棱的中点， 1 6cm4cmAB= BC=, AA =，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选

7、考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A， B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给 服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值 为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为

8、代表）. 18（12 分） ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 19（12 分） 图1是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中AB=1， BE=BF=2， FBC=60.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2. （1）证明图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积. 20 （12 分） 已知函数 32 ( )22f xxax.

9、 （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0a3时，记( )f x在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围. 21（12 分） 已知曲线 C：y= 2 2 x ，D 为直线 y= 1 2 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A， B. （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， 5 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方 程. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)

10、A，( 2,) 4 B ，( 2,) 4 C ，(2, )D，弧AB，BC， CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1, ) 2 ，(1, )，曲线 1 M是弧AB，曲线 2 M是弧BC， 曲线 3 M是弧CD. （1）分别写出 1 M， 2 M， 3 M的极坐标方程； （2）曲线M由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点P在 M 上，且| |3OP ，求 P 的极坐标. 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设, ,x y zR，且1xyz. （1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （2）若 222 1 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a 或1a . 2019 年

11、普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 一、选择题 1A2D3D4C5B6C7D8B9C10B 11A12C 二、填空题 13 2 10 1410015(3, 15)16118.8 三、解答题 17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得sinsi

12、nsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由180ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ，因此B=60 （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形， 故0A90， 0C90.由 （1） 知A+C=120， 所以30C0， 则当(,0), 3 a x 时，( )0fx； 当0, 3 a x 时，( )0fx 故( )f x 在(,0),

13、3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )f x在(,) 单调递增； 若 a0， 则当,(0,) 3 a x 时，( )0fx； 当,0 3 a x 时，( )0fx 故( )f x 在,(0,) 3 a 单调递增，在,0 3 a 单调递减. （2） 当03a时， 由 （1） 知，( )f x在0, 3 a 单调递减， 在,1 3 a 单调递增， 所以( )f x 在 0,1的最小值为 3 2 327 aa f ，最大值为(0)=2f或(1)=4fa.于是 3 2 27 a m ， 4,02, 2,23. aa M a 所以 3 3 2,02, 27 ,23. 27 a

14、aa Mm a a 当02a时，可知 3 2 27 a a单调递减，所以Mm的取值范围是 8 ,2 27 . 当23a时， 3 27 a 单调递减，所以Mm的取值范围是 8 ,1) 27 . 综上，Mm的取值范围是 8 ,2) 27 . 21解：（1）设 11 1 , 2 D tA x y ，则 2 11 2xy. 由于yx，所以切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt . 整理得 11 22 +1=0. txy 设 22 ,B xy，同理可得 22 22 +1=0txy. 故直线AB的方程为2210txy . 所以直线AB过定点 1 (0, ) 2 . （2）由（1）得

15、直线AB的方程为 1 2 ytx. 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210xtx . 于是 2 121212 2 ,121xxt yyt xxt . 设M为线段AB的中点，则 2 1 , 2 M t t . 由于EMAB ，而 2 ,2EMt t ，AB 与向量(1, ) t平行，所以 2 20ttt.解 得t=0或1t . 当=0时，|EM =2，所求圆的方程为 2 2 5 4 2 xy ； 当1t 时，|2EM ，所求圆的方程为 2 2 5 2 2 xy . 22.解： （1） 由题设可得， 弧,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin， 2cos . 所

16、 以 1 M的 极 坐 标 方 程 为 2cos0 4 ， 2 M的 极 坐 标 方 程 为 3 2sin 44 ， 3 M的极坐标方程为 3 2cos 4 . （2）设( , )P ，由题设及（1）知 若 0 4 ，则2cos3，解得 6 ； 若 3 44 ，则2sin3，解得 3 或 2 3 ； 若 3 4 ，则2cos3，解得 5 6 . 综上，P的极坐标为 3, 6 或 3, 3 或 2 3, 3 或 5 3, 6 . 23解：（1）由于 2 (1)(1)(1)xyz 222 (1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 222 3 (1)(1)(1)xy

17、z ， 故由已知得 222 4 (1)(1)(1) 3 xyz， 当且仅当x= 5 3 ， 1 3 y ， 1 3 z 时等号成立 所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 . （2）由于 2 (2)(1)()xyza 222 (2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x 222 3 (2)(1)()xyza ， 故由已知 2 222 (2) (2)(1)() 3 a xyza ， 当且仅当 4 3 a x ， 1 3 a y ， 22 3 a z 时等号成立 因此 222 (2)(1)()xyza的最小值为 2 (2) 3 a 由题设知 2 (2)1 33 a ，解得3a 或1a