三角形及其全等(试题部分)-课件.pptx

1、第四章 图形的认识4、2三角形及其全等中考数学(河南专用)(2016河南,22,10分)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b、填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示)、图1(2)应用点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1、如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等五年中考A组 2014-2018年河南中考题组五年中考边三角形ACE,连接CD,BE、请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;直截了当写出线段BE长的最大值、图2(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P

2、为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,BPM=90、请直截了当写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标、解析(1)CB延长线上;a+b、(2分)(2)DC=BE、理由如下:ABD和ACE为等边三角形,AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60、BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB、(5分)CAD EAB、DC=BE、(6分)BE长的最大值是4、(8分)(3)AM的最大值为3+2,点P的坐标为(2-,)、(10分)【提示】如图a,构造BNP MAP,则NB=AM、由(1)知,当点N在BA的延长线上时,NB取得最大值(如图b)、易得AN=2,AM=NB=3+2、过点P作PEx轴于

3、E,PE=AE=,P(2-,)、22222222思路分析(1)当AC为线段AB与BC的和时,线段AC的长取得最大值、(2)依据条件判定CAD EAB,得出DC=BE、当CD的长度等于BD+BC时,线段BE取得最大值、(3)类比第(2)问的图形,构造出全等三角形,结合等腰直角三角形的有关性质求解、评析本题属类比探究题,主要考查三角形的全等,等边三角形的性质、考点一三角形的相关概念B组 2014-2018年全国中考题组1、(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是()答案A三角形具有稳定性、故选A、2、(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D

4、,连接AD、若B=40,C=36,则DAC的度数是()A、70B、44C、34D、24答案C由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C、3、(2016江苏南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A、3,4,4B、3,4,5C、3,4,6D、3,4,7答案C由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形、设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且abc2,则三角形为锐角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形、32+4262,长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C、4、(2015四川绵阳,5,3分)

5、如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60,则BFC=()A、118B、119C、120D、121答案C在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78、BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC=ABC=21,FCB=ACB=39,BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120、故选C、1212评析本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题、5、(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于、答案6解析D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位

6、线、BC=2DE,DE=3,BC=6、6、(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”、如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角、求证:BAE+CBF+ACD=360、证法1:,BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540、BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3)、,BAE+CBF+ACD=540-180=360、请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2、解析BAE+1=CBF+2=ACD+3=180;1+2+3=180、证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD、APBD,CBF=PAB,ACD=EAP、BAE+PAB+EAP=360,B

7、AE+CBF+ACD=360、(8分)1、(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线、此角平分仪的画图原理是:依照仪器结构,可得ABC ADC,如此就有QAE=PAE、则说明这两个三角形全等的依据是()A、SASB、ASAC、AASD、SSS考点二三角形全等答案D因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,因此ABC ADC(SSS),故选D、2、(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对

8、角线AC、BD相交于点O,ABO ADO、下列结论:ACBD;CB=CD;ABC ADC;DA=DC、其中所有正确结论的序号是、答案解析ABO ADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD、AOB+AOD=180,AOB=90,ACBD,正确、AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABC ADC,正确、ABC ADC,CB=CD,正确、DA与DC不一定相等,不正确、3、(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形、答案3解析依照题图的特征以及角平分线的性质能够得到AOP BOP,EOP FOP,AEP BFP,因此题图

9、中有3对全等三角形、4、(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H、若AB=CD,求证:AG=DH、证明ABCD,A=D、ECBF,BHA=CGD、(2分)AB=CD,ABH DCG,AH=DG,AG=DH、(5分)思路分析首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABH DCG,最后依照全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果、归纳总结全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL、要依照已知条件恰当选择判定定理、当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等、当已知两角对应

10、相等时可考虑证夹边相等或一角对边相等、当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS、5、(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD交于点O、AE与DC交于点M,BD与AC交于点N、(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直截了当写出图2中四对全等的直角三角形、图1图2解析(1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC,ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE,ACE BCD,AE=BD、(2)ACB DCE,AON

11、DOM,AOB DOE,NCB MCE、6、(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直截了当测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC、(1)求证:ABC DEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由、解析(1)证明:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即BC=EF、(3分)又AB=DE,AC=DF,ABC DEF、(5分)(2)ABDE,ACDF、(7分)理由:ABC DEF,ABC=DEF,ACB=DFE、ABDE,ACDF、(9分)评析本题考查全等三角形的判定与性质,依照条件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性质得到

12、对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系、7、(2014江苏南京,27,11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们接着对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究、【初步考虑】我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E、然后,对B进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究、【深入探究】第一种情况:当B是直角时,ABC DEF、(1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,依照,能够明白RtABC R

13、tDEF、第二种情况:当B是钝角时,ABC DEF、(2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角、求证:ABCDEF、第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等、(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请您用尺规在图中作出DEF,使DEF和ABC不全等、(不写作法,保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就能够使ABC DEF?请直截了当填写结论:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若,则ABCDEF、解析(1)HL、(2分)(2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高C

14、G、FH,其中G、H为垂足、ABC、DEF都是钝角,G、H分别在AB、DE的延长线上、CGAG,FHDH,CGA=FHD=90、CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH、在BCG和EFH中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,BCG EFH、CG=FH、又AC=DF,RtACG RtDFH、A=D、在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABC DEF、(6分)图(3)如图,DEF就是所求作的三角形、图(9分)(4)本题答案不唯一,下列解法供参考、BA、(11分)考点一三角形的相关概念C组 教师专用题组1、(2018福建,3,4分)

15、下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A、1,1,2B、1,2,4C、2,3,4D、2,3,5答案C三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合,故选C、2、(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长估计是()A、6B、3C、2D、11答案A设第三边长为x,依照三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A、3、(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹、步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D;步骤3:连接A

16、D,交BC延长线于点H、下列叙述正确的是()A、BH垂直平分线段ADB、AC平分BADC、SABC=BCAHD、AB=AD答案A由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD的垂直平分线上,即直线BC垂直平分线段AD、故选A、4、(2015广东广州,10,3分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,同时这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为()A、10B、14C、10或14D、8或10答案B把2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0得另外一个根是6;依照三角形三边之间的关系可知:当6是腰,2是底边时,周长是6+6

17、+2=14;当2是腰,6是底边时,2+26,不能构成三角形,ABC的周长是14,故选B、评析本题考查了一元二次方程的解法,三角形三边之间的关系,等腰三角形的性质等知识,属于容易题、5、(2014江苏连云港,6,3分)如图,若ABC和DEF的面积分别为S1、S2,则()A、S1=S2B、S1=S2C、S1=S2D、S1=S2127285答案C过点A作AMBC于点M,过点D作DNEF交FE的延长线于点N,S1=BCAM=85sin40,S2=EFDN=58sin40,因此S1=S2,故选C、121212126、(2014河北,12,3分)如图,已知ABC(ACBC),用尺规在BC上确定一点P,使P

18、A+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是()答案D由选项A可得PB=AB,因此BC=AB+PC;由选项B可得PA=PC,因此BC=PB+PA;由选项C可得PC=AC,因此BC=PB+AC;由选项D可得PB=PA,因此BC=PA+PC、故选D、7、(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根,则三角形的周长为、答案16解析x2-10 x+21=(x-3)(x-7)=0,x1=3,x2=7,3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长,三角形的第三边长为7,三角形的周长为3+6+7=16、8、(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底

19、角为50,则它的顶角的度数为、答案80解析等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80、9、(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点、若DE平分ABC的周长,则DE的长是、答案32解析延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB、DE平分ABC的周长,AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH=AC,AF=AC=,DE=AF=、32331232思

20、路分析延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从而求得DE的长、解题技巧关于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,能够考虑运用中位线性质来解答、10、(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直截了当测量其距离、因此,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为m、答案100解析AM=AC,BN=BC,AB是CMN的中位线,AB=MN,MN=200m,AB=100m、1211、(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的

21、两条角平分线、若A=52,则1+2的度数为、答案64解析BD平分ABC,CE平分ACB,1=ABC,2=ACB,又ABC+ACB=180-A,21+22=180-A=128,1+2=64、121212、(2014江西,14,3分)在RtABC中,A=90,有一个锐角为60,BC=6、若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且ABP=30,则CP的长为、答案2或4或633解析图1中,ABC=60,BC=6,则AB=3,AC=3,又ABP=30,则AP=,因此CP=2或CP=4;图2中,ACB=60,ABP=30,CBP是等边三角形,CP=CB=6、3333图1图213、(2015天津,18,3分

22、)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF、(1)如图,当BE=时,计算AE+AF的值等于;(2)当AE+AF取得最小值时,请在如图所示的网格中,用的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置是如何找到的(不要求证明)、52无刻度答案(1);(2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P、连接AP,与BC相交于点E、取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G、连接AG,与BD相交于点F、线段AE,AF即为所求、5612解析(1)由题图可知,AD=4,AB=3,则DB=5,因为BE=,BE=DF,因此DF=,因

23、此F是RtABD斜边BD的中点,因此AF=BD=、因为AE=,因此AE+AF=、(2)如图,取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P、连接AP,与BC相交于点E、取格点M,N,连接DM,CN,相交于点G、连接AG,与BD相交于点F、线段AE,AF即为所求223452521252225326125612思路提示在求两条线段长度之和的最小值时,常用方法是利用两点之间线段最短,题中E、F均为动点,不能直截了当应用两点之间线段最短这一结论,可考虑利用三角形全等把AE+AF转化为两个定点到一个动点的距离之和、先考虑一条边为AF的AFD、因为ADBC,因此FDA=DBC,设D点关于BC的对称点为H,则有H

24、BC=DBC=FDA,因为AD=4,为了在BH上找一点P到B的距离也等于4,可取格点K,连接CK,设BH与CK相交于P,则有BP=4、在AFD与PEB中,ADBPBEDFADFPBE 因此AFD PEB,因此AF=PE,故AF+AE=PE+AE,要使PE+AE有最小值,则连接AP,AP与BC的交点就是要求的点E、与找E点类似,要找到符合条件的点F,考虑一条边为AE的ABE,想法构造一个与ABE全等的三角形,取格点M,连接DM,易知DMDF,为了在DM上找一点G,使DG=AB=3,取格点N,连接CN,设DM与CN相交于G,则DG=AB=3,在ABE与GDF中,因此ABE GDF,因此GF=AE,

25、故AE+AF=GF+AF,要使GF+AF最小,只要连接AG,AG与BD交于F,则F就是所求使得AE+AF最小的点F、3,DGABGDFABEBEDF 14、(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D、求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ、(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)解析如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点、证明如下:ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90、BAC=90,AQP+ABQ=90、ABQ=PBD,BPD=AQP、BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ、15、(2016广东,19,

26、6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点、(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长、解析(1)如图、(2分)E点,DE即为所求、(3分)(2)DE是ABC的中位线,且DE=4,BC=2DE=24=8、(6分)评析本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质、1、(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2、若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A、1个B、2个C、3个D、3个以上考点二 三角形全等答案D

27、如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形、在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCM PDN,因此CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,因此满足题意的三角形有无数个、2、(2018湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF、证明BE=CF,BF=CE、在ABF和DCE中,ABF DCE、AFB=DEC,GF=GE、,ABDCBCBFCE 3、(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=A

28、D,B=D,1=2、求证:BC=DE、证明1=2,1+DAC=2+DAC,即BAC=DAE,(1分)在ABC和ADE中,(3分)ABC ADE(ASA),(5分)BC=DE、(6分)(其他证法参照此标准给分),BACDAEABADBD 4、(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=、(1)求证:APM BPN;(2)当MN=2BN时,求的度数;(3)若BPN的外心在该三角形的内部,直截了当写出的取值范围、解析(1)证明:P为AB中点,PA=PB、又A=B,MPA=NPB,APM

29、 BPN、(2)由(1)得PM=PN,MN=2PN,MN=2BN,PN=BN,=B=50、(3)4090、详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形,BPN和BNP都为锐角,又B=50,40BPN90,即4090、思路分析(1)依照ASA可证明:APM BPN;(2)依照APM BPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果;(3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,依照BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围、1、假如已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解、方法归纳证明三角形全

30、等的一般思路:2、已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解、3、已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解、5、(2017云南,15,6分)如图,点E、C在线段BF上,BE=CF,AB=DE,AC=DF、求证:ABC=DEF、证明BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF、在ABC与DEF中,ABC DEF,ABC=DEF、,ABDEBCEFACDF6、(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,

31、AB=DC,B=C、求证:A=D、证明BE=CF,BE+EF=CF+EF、BF=CE、(2分)又B=C,AB=DC,ABF DCE、(4分)A=D、(5分)7、(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE、写出CD与AB之间的关系,并证明您的结论、解析CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB、证明:CE=BF,CF=BE、在CDF和BAE中,CDF BAE,CD=BA,C=B,CDBA、,CFBECFDBEADFAE 思路分析先证明CDF BAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系、易错警示CD与AB之间的位置关系是

32、平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得到CD与AB之间的一种关系、8、(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD、求证:AE=FB、证明CEDF,ACE=D、(3分)在ACE和FDB中,EC=BD,ACE=D,AC=FD,(5分)ACE FDB、(6分)AE=FB、(7分)9、(2016福建福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC、求证:BAC=DAC、证明在ABC与ADC中,ABC ADC(SSS)、BAC=DAC、,ABADBCDCACAC10、(2016湖北武汉,18,8分)如图,点B,E,C,

33、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF、求证ABDE、证明BE=CF,BC=EF、(2分)在ABC和DEF中,(5分)ABC DEF(SSS)、(6分)B=DEF,ABDE、(8分),ABDEBCEFACDF11、(2016四川南充,19,8分)已知ABN和ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2、(1)求证:BD=CE;(2)求证:M=N、证明(1)在ABD和ACE中,ABD ACE(SAS)、(3分)BD=CE、(4分)(2)ABD ACE,ADB=AEC、(5分)又MDO=ADB,NEO=AEC,MDO=NEO、(6分)MOD=NOE,(7分)180-MDO-MO

34、D=180-NEO-NOE,即M=N、(8分),12,ABACADAE 评析本题考查了全等三角形的判定与性质,要依照题意选择合适的判定方法、12、(2015福建福州,19,8分)如图,1=2,3=4,求证:AC=AD、证明3=4,ABC=ABD、在ABC和ABD中,ABC ABD(ASA)、AC=AD、12,ABABABCABD 13、(2015重庆,20,7分)如图,在ABD和FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,B=E、求证:ADB=FCE、证明BC=DE,BC+CD=DE+CD,即DB=CE、(3分)又AB=FE,B=E,ABD FEC、(6分)ADB=FCE

35、、(7分)14、(2015陕西,19,7分)如图,在ABC中,AB=AC、作ADAB交BC的延长线于点D,作AEBD、CEAC,且AE、CE相交于点E、求证:AD=CE、证明AEBD,EAC=ACB、AB=AC,B=ACB、EAC=B、(4分)又BAD=ACE=90,ABD CAE、(6分)AD=CE、(7分)15、(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC、分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD、(1)求证:AD平分BAC;(2)若BC=6,BAC=50,求、的长度之和(结果保留)、DEDF

36、解析(1)证明:由题意可知BD=CD,在ABD和ACD中,ABD ACD(SSS)、BAD=CAD,即AD平分BAC、(2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65、BD=CD=BC,BDC为等边三角形、DBC=DCB=60,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD=6、的长度=的长度=、的长度之和为+=、,ABACBDCDADADDEDF556180116DEDF11611611316、(2014陕西,18,6分)如图,在RtABC中,ABC=90、点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EFAC,分别交AC于点E、CB的延长线于点F、求证:AB=BF、证明EFAC,F+C=90、A+

37、C=90,F=A、(3分)又FBD=ABC,DB=BC,FBD ABC、AB=BF、(6分)17、(2014江苏苏州,23,6分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB、连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,连接EF、(1)求证:BCD FCE;(2)若EFCD,求BDC的度数、解析(1)证明:CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,CD=CE,DCE=90、ACB=90,BCD=90-ACD=FCE、在BCD和FCE中,BCD FCE、(2)由BCD FCE得BDC=E、EFCD,E=180-DCE=90、BDC=90、,CBCFBCDF

38、CECDCE 评析本题考查全等三角形的判定及性质,平行线的性质,属容易题、考点一三角形的相关概念(2017江苏无锡一模,9)如图,用四条线段首尾相接连成一个框架,其中AB=12,BC=14,CD=18,DA=24,则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为()A、24B、26C、32D、36三年模拟A组 20162018年模拟基础题组答案C已知AB=12,BC=14,CD=18,DA=24;选12+14、18、24作为三角形,则三边长分别为26、18、24;26-241826+24,能构成三角形,此时两个端点间的最长距离为26、选12、14+18、24作为三角形,则三边长分别为12、32、24;

39、32-241232+24,能构成三角形,此时两个端点间的最大距离为32、选12、14、18+24作为三角形,则三边长分别为12、14、42;1242-14,不能构成三角形、故选C、1、(2016新乡二模,4)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出AOB=AOB的依据是()A、SSSB、SASC、AASD、ASA考点二三角形全等答案A由题意知,OC=OD=OC=OD,CD=CD,因此OCD OCD,依据是SSS,故AOB=AOB、故选A、2、(2016郑州一模,8)已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6、延长BC到E,使CE=2,连接DE,动点F从点B出发,以每秒2个单位的速度沿

40、BCCDDA向终点A运动、设点F的运动时间为t秒,当t为秒时,ABF和DCE全等()A、1B、1或3C、1或7D、3或7答案C当点F在BC上,且满足BF=CE=2时,在ABF和DCE中,BF=CE,ABF=DCE=90,AB=DC,ABF DCE(SAS),此时点F运动的路程BF=2,t=22=1、(见图1)图1当点F在AD上,且满足AF=CE=2时,在BAF和DCE中,AB=CD,BAF=DCE=90,AF=CE,BAF DCE(SAS),此时点F运动的路程为BC+CD+DF=6+4+4=14,t=142=7、(见图2)图2当点F在CD上时,不存在全等、t=1或7,故选C、3、(2018安阳

41、一模,22)如图,点A是直线PQ上一动点,BCPQ,垂足为C,线段AB的垂直平分线DE交PCB的角平分线于点E,交AB于点D、连接AE,BE、(1)如图1,AE与BE的数量关系是;过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N,通过证明AEM BEN,可知AE与BE的位置关系是、(2)当点A在点C的下方如图2所示的位置时,(1)中的结论还成立不?请说明理由;(3)当点A位于如图3的位置时,过点A作AFCB交PCB的平分线于点F,设AC=a,CB=b,请直截了当写出EF的长(用含a,b的式子表示)、图2图1图3解析(1)相等;垂直、(2)成立、理由如下:过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N,如图所

42、示、PQBC,四边形MCNE是矩形,MEN=90、CE是PCB的平分线,ME=EN、又ED是AB的垂直平分线,AE=BE,AME BNE,MEA=NEB、MEA+AEN=90,NEB+AEN=90,AEBE、综上,AE=BE,AEBE、(3)EF=(b-a)、224、(2017河北邯郸一模,21)已知:如图,ABC和EFC都是等腰直角三角形,ACB=ECF=90,点E在AB边上、(1)求证:ACE BCF;(2)若BFE=60,求AEC的度数、解析(1)证明:ABC和EFC都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CF、ACB=ECF=90,ACE+ECB=ECB+BCF,ACE=BCF、ACE

43、BCF(SAS)、(2)ECF是等腰直角三角形,ECF=90,CEF=CFE=45、BFE=60,BFC=BFE+CFE=105、ACE BCF,AEC=BFC=105、B组 20162018年模拟提升题组(时间:25分钟分值:30分)一、选择题(每题3分,共6分)1、(2018商丘一模,5)如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,ABOC,DC与OB交于点E,则DEO的度数为()A、85B、70C、75D、60答案C由题意得,B=30,C=45,因为ABOC,因此BOC=B=30、因此DEO=BOC+C=30+45=75、故选C、思路分析本题考查角的性质,平行线的性质,三角形外

44、角定理,属基础题、2、(2017安阳一模,8)如图,已知ABC,按如下步骤作图:先分别以A,B两点为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN;再分别以B,C两点为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,GH与MN交于点P、若BAC=66,则BPC等于()A、66B、99C、132D、1141212答案C由作图知MN,GH分别是AB,BC边的垂直平分线,连接PA,则PA=PB=PC,PAB,PAC为等腰三角形、PAB=PBA,PAC=PCA、APB=180-2PAB,APC=180-2PAC,APB+APC=360-2BAC=228,BPC=36

45、0-(APB+APC)=132,故选C、3、(2018安阳一模,12)如图,ABC中,B=35,BCA=75,请依据尺规作图的作图痕迹,计算=、二、填空题(共3分)答案75解析B=35,BCA=75,BAC=70、由作图痕迹可知,AD是BAC的角平分线,CAD=BAC=35、由作图痕迹可知,EF是线段BC的垂直平分线,BCF=B=35,ACF=ACB-BCF=40,=CAD+ACF=75、12思路分析依照三角形的内角和得出BAC=70,由角平分线的定义求出CAD的度数,再由EF是线段AC的垂直平分线得出B=BCF,最后得出的度数、4、(2018濮阳一模,22)如图1,在四边形ABCD中,AB=

46、AD,B+ADC=180,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD上,EAF=BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系、(1)思路梳理将ABE绕点A逆时针旋转至ADG,使AB与AD重合,由B+ADC=180,得FDG=180,即点F,D,G三点共线,易证AFG,故EF,BE,DF之间的数量关系为;(2)类比引申如图2,在图1的条件下,若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上,EAF=BAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明;(3)联想拓展如图3,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D,E均在边BC上,且DAE=45,若BD

47、=1,EC=2,则DE的长为、1212三、解答题(共21分)解析(1)AFE,EF=BE+DF、(2)EF,BE,DF之间的数量关系是EF=DF-BE、证明:将ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到ADE,如图(1)所示,则ABE ADE,DAE=BAE,AE=AE,DE=BE,ADE=ABE、ABC+ADC=180,ABC+ABE=180,ADE=ADC,即E,D,F三点共线、又EAF=BAD,EAF=BAD-(BAF+DAE)=BAD-(BAF+BAE)=BAD-EAF=BAD,EAF=EAF、1212在AEF和AEF中,AEF AEF(SAS),FE=FE、又FE=DF-DE,E

48、F=DF-BE、(3)、提示:将ABD绕点A逆时针旋转至ACD,使AB与AC重合,连接ED,如图(2)所示,由(1)得,AED AED,DE=DE、ACB=B=ACD=45,ECD=90、在RtECD中,ED=,即DE=、,AEAEEAFE AFAFAF 522ECD C55思路分析本题以旋转变换为背景考查全等三角形的判定和性质、(1)由题意得AFGAFE,易得EF=BE+DF;(2)将ABE绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到ADE,证明AEF AEF,依照全等三角形的性质解答;(3)将ABD绕点A逆时针旋转至ACD,使AB与AC重合,连接ED,依照全等三角形的性质、勾股定理计算得解、5

49、、(2016安阳二模,22)数学课上老师提出了如下问题:如图1,ABC是等边三角形,点D在AC的延长线上,且CD=DE,ECBC(ECBC),连接BE,点F是BE的中点,连接AF,DF、试问:AF与DF有如何的位置关系?DAF的度数是多少?(1)尝试探究小明解决上述问题时,尝试探究的思路是:延长DF到点G,使GF=DF,连接BG(如图2),然后证明DEF GBF,再证明AG=AD,从而得出结论、依照小明的思路和您的探究,您认为:AF与DF的位置关系是;DAF的度数为、(2)解决问题若将图1中的CDE绕点C顺时针旋转,使点E落在BC边上,其他条件不变(如图3),请判断(1)中您得到的结论是否仍然

50、成立、若成立,请说明理由;若不成立,请给出新的结论,并加以证明、解析(1)AFDF;30、(4分)(2)(1)中的结论仍然成立,理由如下:延长DF到点G,使GF=DF,连接BG,AG,如图、点F是BE的中点,BF=EF、在BFG和EFD中,BFG EFD、(6分)GB=DE,GBF=DEF、,BFEFBFGEFDGFDF DE=DC,GB=DC、ABC是等边三角形,AB=AC,BAC=ABC=ACB=60,由(1)知,DEC=DCE=30,GBF=DEF=150、ABG=GBF-ABC=150-60=90、ACD=ACB+DCE=60+30=90、GBA=ACD、在ABG和ACD中,ABG A