2005年高考理科数学（天津卷）试题含答案.pdf

1、 2005 年高考年高考理理科数学科数学 天津天津卷卷 试题及答案试题及答案 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共 150 分，考试用时 120 分 钟 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 祝各位考生考试顺利！ 第卷（选择题第卷（选择题 共共 50 分）分） 注意事项：注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘 贴考试用条形码 奎屯 王新敞 新疆 2. 每小题选出答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

2、黑 奎屯 王新敞 新疆如需改动， 用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号 奎屯 王新敞 新疆答在试卷上的无效 奎屯 王新敞 新疆 参考公式：参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的体积公式 )()()(BPAPBAP+=+ 3 3 4 RV= 球 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )(BAP=)()(BPAP 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 V柱体=Sh 是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发 其中 S 表示柱体的底面积， 生 k 次的概率 h 表示柱体的高 奎屯 王新敞 新疆 Pn（k）=CnP k(1-P)n-k 一、选择题

3、：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四 个选项中， 只有一项是最符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 （1）设集合, 914RxxxA=, , 0 3 Rx x x xB + =, 则=BA（ ） (A)2, 3( (B) 2 5 , 02, 3( (C) ), 2 5 3,(+ (D) ), 2 5 ) 3,(+ (2)若复数 i ia 21 3 + + （Ra，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） （A）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 (3)给出下列三个命题：若1ba,则 b b a a + +11 ；若正整数m和n满足 nm ,则 2 )(

4、 n mnm；设),( 11 yxP为圆9: 22 1 =+ yxO上任一点，圆 2 O以 ),(baQ为圆心且半径为 1.当1)()( 2 1 2 1 =+ybxa时,圆 1 O与圆 2 O相切 奎屯 王新敞 新疆 其中假命题的个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3 (4)设、为平面，lnm、为直线，则m的一个充分条件是（ ） (A) lml=, (B) =,m (C) m, (D) mnn, (5)设双曲线以椭圆1 925 22 =+ yx 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲 线的渐近线的斜率为（ ） (A)2 (B) 3 4 (C) 2 1 (D) 4

5、3 (6)从集合11, 3 , 2 , 1中任选两个元素作为椭圆方程1 2 2 2 2 =+ n y m x 中的m和n,则能 组成落在矩形区域,11|),(=xyxB且9|y内的椭圆个数为（ ） (A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90 (7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 （） (A) 125 81 (B) 125 54 (C) 125 36 (D) 125 27 (8)要得到函数xycos2=的图象，只需将函数) 4 2sin(2 +=xy的图象上所有的 点的（ ） (A)横坐标缩短到原来的 2 1 倍（纵坐标不变）,再向左平行移

6、动 8 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 2 1 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 4 个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 4 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 8 个单位长度 (9)设)( 1 xf 是函数) 1( )( 2 1 )(= aaaxf xx 的反函数，则使1)( 1 xf成立的 x 的取值范围为（ ） (A), 2 1 ( 2 + a a (B) ) 2 1 ,( 2 a a (C) ), 2 1 ( 2 a a a (D) ), +a (10)若函数) 1, 0( )(log)( 3

7、=aaaxxxf a 在区间)0 , 2 1 (内单调递增，则 a 的取 值范围是（ ） (A) 1 , 4 1 (B) ) 1 , 4 3 (C), 4 9 (+ (D) 4 9 , 1 ( 第卷（非选第卷（非选择题择题 共共 100100 分）分） 注意事项：注意事项： 1 答卷前将密封线内的项目填写清楚 2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 二、填空题：本大题共 6 小题， 每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横 线上 奎屯 王新敞 新疆 （11） 设 Nn,则=+ 12321 666 nn nnnn CCCC （12）如图，PA平面 ABC，ACB=90且 PA=AC=BC=a 则

8、异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于_ （13）在数列an中,a1=1,a2=2,且)( ) 1(1 2 + +=Nnaa n nn 则 100 S=_ （14）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(-3,4)，若点 C 在AOB 的平分线上 且|OC |=2,则OC= （15）某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%，一旦失 败，一年后将丧失全部资金的 50%，下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192 次 8 次 则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元） （16）设)(xf是定义在 R 上的奇函数，且

9、)(xfy =的图象关于直线 2 1 =x对称，则 )5()4() 3()2() 1 (fffff+=_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 (17)(本小题满分 12 分) 在ABC中，CBA、所对的边长分别为cba、，设cba、满足条 件 222 abccb=+和3 2 1 += b c ，求A和Btan的值 （18） （本小题满分 12 分） 已知)0, 0,( 1221 += baNnbabbabaau nnnnn n 奎屯 王新敞 新疆 （）当ba =时，求数列 n u的前 n 项和 n S （）求 1 lim

10、n n n u u （19） （本小题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱 111 CBAABC 中，aBAAAACABACAABA= 1111 ,， A B C P 侧面 11BCC B与底面 ABC 所成的二面角为 120，E、F 分别是棱AACB 111 、的中点 （）求AA1与底面 ABC 所成的角 （）证明EA1平面FCB1 （）求经过CBAA、 1 四点的球的体积 （20） （本小题满分 12） 某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔， 如图所示， 塔高BC=80 （米） ， 塔所在的山高OB=220 （米） ，OA=200（米） ，图中所示的山坡可视为直 线l且点 P 在直线

11、l上，l与水平地面的夹角为 ,tan=1/2 试问此人距水平地面多高时， 观 看塔的视角BPC 最大（不计此人的身高） （21） （本小题满分 14 分） 抛物线 C 的方程为)0( 2 =aaxy，过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x00)作斜率为 k1,k2 C1 B1 A1 AB C F E 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足 ) 10(0 12 =+且kk 奎屯 王新敞 新疆 （）求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程 （）设直线 AB 上一点 M，满足MABM=，证明线段 PM 的中点在 y 轴上 （）当=1 时

12、，若点 P 的坐标为（1，-1） ，求PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 1 y的取值 范围 （22） （本小题满分 14 分） 设函数)( sin)(Rxxxxf=. （）证明xkxfkxfsin2)()2(=+,其中为 k 为整数； （）设 0 x为)(xf的一个极值点，证明 2 0 4 02 0 1 )( x x xf + =； （）设)(xf在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列, 21n aaa, 证明), 2 , 1( 2 1 = + naa nn 2005 年高考年高考理理科数学科数学 天津天津卷卷 试题及答案试题及答案 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 5

13、0 分） 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） （11）) 17( 6 1 n ； （12）2； （13）2600； （14）) 5 103 , 5 10 (； （15）4760； （16）0 解法：f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x)=-f(-x) 又y=f(x)的图象关于直线 x=1/2 对称， f(1-x)=f(x) f(1)=f(1-0)=f(0)=0 由得 f(1-x)=-f(-x) f(1-x)+f(-x)=0 即 f(1+n)+f(n)=0 f(3)+f(2)=0,f(5)+f(4)=0 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0 三、解答题（共 76 分

14、，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分） （17）解：由余弦定理 2 1 2 cos 222 = + = bc acb A，因此 60=A 在ABC中，BBAC= 120180由已知条件，应用正弦定理 2 1 cot 2 3 sin sin120coscos120sin sin )120sin( sin sin 3 2 1 += = =+B B BB B B B C b c ， 解得2cot=B, 从而 2 1 tan=B （18）解： （）当ba =时， n n anu) 1( +=这时数列 n u的前n项和 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （

15、10） 答案 D C B D C B A C A B nn n annaaaaS) 1(432 132 += 式两边同乘以a，得 1432 ) 1(432 + += nn n annaaaaaS 式减去式，得 132 ) 1(2)1 ( + += nn n anaaaaSa 若1a， aan a aa Sa n n n + = +1 ) 1( 1 )1 ( )1 (， 2 2121 2 )1 ( 2)2() 1( 1 ) 1( )1 ( )1 ( a aaanan a ana a aa S nnnn n + = + + = + 若1=a， 2 )3( ) 1(32 + =+= nn nnSn

16、（）由（） ，当ba =时， n n anu) 1( +=， 则a n na na an u u n n n n n n n = + = + = ) 1( lim ) 1( limlim 1 1 当ba 时， )( 1 1 )(1 )()(1 11 1 211+ + = =+=+= nn n nnnnnnn n ba ba a b a b a a b a b a b ababbaau 此时， nn nn n n ba ba u u = + 11 1 若0 ba，a a b a b ba ba ba u u n n n nn nn n n n n = = = + )(1 )( limlimlim

17、 11 1 若0 ab，b b a b b a a u u n n n n n n = = 1)( )( limlim 1 （19）解： （）过 1 A作HA1平面ABC，垂足为H 连结AH，并延长交BC于G，于是AHA1为AA1与底面ABC所成的角 ACAABA 11 =，AG为BAC的平分线 又ACAB =，BCAG ，且G为BC的中点 因此，由三垂线定理BCAA 1 P C1 B1 A1 AB C F E G H O BBAA 11 /，且BBEG 1 /，BCEG 于是AGE为二面角EBCA的平面角， 即 120=AGE 由于四边形AGEA1为平行四边形，得 60 1 =AGA （）证

18、明：设EG与CB1的交点为P，则点P为EG的中点连结PF 在平行四边形 1 AGEA中，因F为AA1的中点，故FPEA/ 1 而FP平面FCB1，EA1平面FCB1，所以/ 1E A平面FCB1 （）连结CA1在ACA1和ABA1中，由于ABAC =，ACAABA 11 =， AAAA 11 =，则 ACA1ABA1，故BACA 11 =由已知得aCABAAA= 111 又HA1平面ABC，H为ABC的外心 设所求球的球心为O，则HAO 1 ，且球心O与AA1中点的连线AAOF 1 在FOARt 1 中， 3 3 30cos 2 1 cos 1 1 1 a a HAA FA OA= 故所求球的

19、半径aR 3 3 =，球的 体积 33 27 34 3 4 aRV= （20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则)0 ,200(A，)220, 0(B，)300, 0(C 直线l的方程为tan)200( = xy，即 2 200 = x y 设点P的坐标为),(yx，则) 2 200 ,( x xP（200x） 由经过两点的直线的斜率公式 x x x x kPC 2 800 300 2 200 = =， x x x x kPB 2 640 220 2 200 = = A P C B o y x 由直线PC到直线PB的角的公式得 640160288 64 2 640 2 800 1 2 160

20、 1 tan 2 + = + = + = xx x x x x x x kk kk BPC PCPB PCPB 288 640160 64 + = x x （200x） 要使BPCtan达到最大，只须288 640160 + x x达到最小 由均值不等式2886401602288 640160 + x x当且仅当 x x 640160 =时上式 取等号故当320=x时BPCtan最大这时，点P的纵坐标y为60 2 200320 = =y 由此实际问题知， 2 0 BPC，所以BPCtan最大时，BPC最大故当此人距水平 地面 60 米高时，观看铁塔的视角BPC最大 （21）解： （）由抛物线C

21、的方程 2 axy =（0a）得，焦点坐标为) 4 1 , 0( a ，准线方程 为 a y 4 1 = （ ） 证 明 ： 设 直 线PA的 方 程 为)( 010 xxkyy=， 直 线PB的 方 程 为 )( 020 xxkyy= 点),( 00 yxP和点),( 11 yxA的坐标是方程组 010 2 ()yyk xx yax = = 的解 将式代入式得0 0011 2 =+yxkxkax， 于是 a k xx 1 01 =+，故 0 1 1 x a k x= 又点),( 00 yxP和点),( 22 yxB的坐标是方程组 010 2 ()yyk xx yax = = 的解 将式代入式

22、得0 0022 2 =+yxkxkax 于是 a k xx 2 02 =+， 故 0 2 2 x a k x= 由已知得， 12 kk=，则 012 xk a x= 设点M的坐标为),( MM yx，由MABM，则 + + = 1 12 xx xM 将式和式代入上式得 0 00 1 x xx xM= + = ， 即0 0 =+ xxM所以线段PM的中点在y轴上 （）因为点) 1, 1 ( P在抛物线 2 axy =上，所以1=a，抛物线方程为 2 xy= 由式知1 11 = kx，代入 2 xy=得 2 11 ) 1(+=ky 将1=代入式得1 12 = kx，代入 2 xy=得 2 22 )

23、 1(+=ky 因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 ) 12, 1( 1 2 11 kkkA，) 12, 1( 1 2 11 +kkkB 于是)2, 2( 1 2 11 kkkAP+=，)4 ,2( 11 kkAB =， ) 12)(2(2)2(4)2(2 1111 2 1111 +=+=kkkkkkkkABAP 因PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有0 ABAP 求得 1 k的取值范围是2 1 k或0 2 1 1 k 又点A的纵坐标 1 y满足 2 11 ) 1(+=ky，故 当2 1 k时，1 1 y；当0 2 1 1 k时， 4 1 1 1 y 即) 4 1

24、, 1() 1,( 1 y （22）解： （）证明：由函数)(xf的定义，对任意整数k，有 (2)( )(2)sin(2)sinf xkf xxkxkxx+=+ (2)sinsin2sinxkxxxkx=+= （）证明：函数)(xf在定义域R上可导，xxxxfcossin)(+= 令0)(= x f，得0cossin=+xxx 显然，对于满足上述方程的x有0cosx， 上述方程化简为xxtan=此方程一定有解 )(xf的极值点 0 x一定满足 00 tanxx= 由 x x xx x x 2 2 22 2 2 tan1 tan cossin sin sin + = + =，得 0 2 0 2

25、0 2 tan1 tan sin x x x + = 因此， 2 0 4 0 0 2 2 0 2 0 1 sin)( x x xxxf + = （）证明：设0 0 x是0)(= x f的任意正实数根，即 00 tanxx=， 则存在一个非负整数k，使), 2 ( 0 kkx+，即 0 x在第二或第四象限内 由式，)(tancos)(xxxxf+=在第二或第四象限中的符号可列表如下： 所以满足0)(= x f的正根 0 x都为)(xf的极值点 由题设条件， 1 a， 2 a， n a，为方程xxtan=的全部正实数根且满足 n aaa 21 ， 那么对于, 2 , 1=n， )tan()tantan1 ()tan(tan 1111nnnnnnnn aaaaaaaa+= + 由于 ) 1() 1( 2 +nan n ， nan n + +1 2 ， 则 2 3 2 1 +nn aa， 由于0tantan 1 +nn aa，由式知0)tan( 1 +nn aa 由此可知 nn aa +1 必在第二象限， 即 +nn aa 1 综上， +nn aa 1 2 x ), 2 ( 0 xk + 0 x ),( 0 kx+ )(x f 的符号 k为奇数 0 k为偶数 0