2005年高考理科数学（山东卷）试题含答案.pdf

1、 2005 年高考年高考理理科数学科数学 山东山东卷卷 试题及答案试题及答案 奎屯 王新敞 新疆 第卷（选择题第卷（选择题 共共 60 分）分） 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 )()()(BPAPBAP+=+ 奎屯 王新敞 新疆 如果事件 A、B 相互独立，那么 )(BAP=)()(BPAP 奎屯 王新敞 新疆 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中， 只有一项是最符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 （1） 22 11 (1)(1) ii ii + += + （A）i (B) i (C) 1 (D) 1 （2）函数 1 (0) x

2、 yx x =的反函数的图象大致是 1 o y x -1 o y x 1 o y x -1 o y x （A） (B) (C) (D) （3）已知函数sin()cos(), 1212 yxx =则下列判断正确的是 （A）此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0) 12 (B) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0) 12 (C) 此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0) 6 (D) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0) 6 （4）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是 （A）( )sinf xx= (B) ( )1f xx=

3、+ (C) 1 ( )() 2 xx f xaa=+ (D) 2 ( ) 2 x f xln x = + （5）如果 2 1 (3) 3 n x x 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 3 1 x 的系数是 （A）7 (B) 7 (C) 21 (D)21 （6）函数 2 1 10,sin(), ( ) 0., x xx f x xe = 若(1)( )2,ff a+=则a的所有可能值为 （A） 1 (B) 2 2 (C) 1, 2 2 (D) 1, 2 2 （7）已知向量, a b，且2 ,56 ,72 ,ABab BCab CDab=+=+=则一定共线的 （A） 、B、D (B)

4、A、B、C (C) B、C、D (D)A、C、D （8）设地球半径为 R，若甲地位于北纬 0 45东经 0 120，乙地位于南纬度 0 75东经 0 120，则 甲、乙两地球面距离为 （A）3R (B) 6 R (C) 5 6 R (D) 2 3 R （9）10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，每人 1 张，至少有 1 人中奖的概率是 （A） 3 10 (B) 1 12 (C) 1 2 (D) 11 12 （10）设集合 A、B 是全集 U 的两个子集，则AB是)ABU= U （C （A） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 （11）0

5、1,a下列不等式一定成立的是 （A） (1)(1) log(1)log(1)2 aa aa + + (B) (1)(1) log(1)log(1) aa aa + + (C) (1)(1)(1)(1) log(1)log(1)log(1)log(1) aaaa aaaa + + (D) (1)(1)(1)(1) log(1)log(1)log(1)log(1) aaaa aaaa + + （12）设直线:220lxy+=关于原点对称的直线为 l ，若 l 与椭圆 2 2 1 4 y x +=的交点为 A、B，点 P 为椭圆上的动点，则使PAB的面积为 1 2 的点 P 的个数为 （A） 1 (

6、B) 2 (C) 3 (D)4 第卷（共第卷（共 100100 分）分） 二、填空题：本大题共 4 小题， 每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 (13) 22 2 2 lim (1) n nn n CC n + = + _ 奎屯 王新敞 新疆 (14)设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的右焦点为 F,右准线l与两条渐近线交于 P、 Q 两点， 如果PQF是直角三角形，则双曲线的离心率_e= 奎屯 王新敞 新疆 (15)设, x y满足约束条件 5, 3212, 03, 04. xy xy x y + + 则使得目标函数65zxy=+的值

7、最大的点( , )x y 是_ 奎屯 王新敞 新疆 (16)已知 m、n 是不同的直线，, 是不重合的平面，给出下列命题： 若/,mn则/mn 奎屯 王新敞 新疆 若,/, /,m nmn则/ 奎屯 王新敞 新疆 若,/mnmn,则/ 奎屯 王新敞 新疆 m、n 是两条异面直线，若/ ,/, / , /,mmnn则/ 奎屯 王新敞 新疆 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命的序号） 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 奎屯 王新敞 新疆 (17)（本小题满分 12 分） 已知向量(cos ,sin )m=和( 2si

8、n ,cos ),( ,2 )n =，且 8 2 5 mn+=， 求cos() 28 +的值 奎屯 王新敞 新疆 (18) （本小题满分 12 分） 袋中装有罴球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7 .现有甲、乙两人从袋中轮 流摸取 1 个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白 球时即终止 奎屯 王新敞 新疆每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次 数 （）求袋中原有白球的个数； （）求随机变量的概率分布； （）求甲取到白球的概率 奎屯 王新敞 新疆 (19) （本小题满分 12 分） 已知1x =是函数 32 ( )

9、3(1)1f xmxmxnx=+的一个极值点,其中,m nR0m. （）求 m 与 n 的关系表达式; （）求( )f x的单调区间； （）当 1,1x 时,函数( )yf x=的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取 值范围 奎屯 王新敞 新疆 (20) （本小题满分 12 分） 如图，已知长方体 1111 ABCDABC D， 1 2,1ABAA=， 直线BD与平面 11 AAB B所成的角为 0 30，AE垂直BD于,E F为 11 AB的中点 （）求异面直线AE与BF所成的角； （）求平面BDF与平面 1 AAB所成二面角（锐角）的大小； （）求点A到平面BDF的距离 奎屯

10、 王新敞 新疆 (21) （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 数 列 n a的 首 项 1 5,a =前n项 和 为 n S， 且 * 1 25() nn SSnnN + =+ （I）证明数列1 n a +是等比数列； （II）令 2 12 ( ) n n f xa xa xa x=+，求函数( )f x在点1x =处的导数(1) f 并比较 2(1) f 与 2 2313nn的大小 奎屯 王新敞 新疆 (22) （本小题满分 14 分）已知动圆过定点,0 2 p ，且与直线 2 p x = 相切，其中0p . （I）求动圆圆心C的轨迹的方程； （II）设 A、B 是轨迹C上异于原点

11、O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和 ，当, 变化且+为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点 的坐标 奎屯 王新敞 新疆 A1 B1C1 D1 F E D C B A 2005 年高考年高考理理科数学科数学 山东山东卷卷 试题及答案试题及答案 参考答案参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B D C C A D D A A B （13） 3 2 （14）2 （15）()2,3） （16） (17)（本小题满分 12 分）考查知识点： （三角和向量相结合）考查知识点： （三角和向量相结合） 解法一： (cossin2,cossi

12、n ),mn+=+ 22 (cossin2)(cossin )mn+=+ 42 2(cossin )=+44cos() 4 =+2 1 cos() 4 =+ 由已知 8 2 5 mn+=，得 7 cos() 425 += 奎屯 王新敞 新疆 又 2 cos()2cos () 1 428 +=+ 所以 2 16 cos () 2825 += 奎屯 王新敞 新疆 59 2 , 8288 + 4 cos() 285 += 奎屯 王新敞 新疆 解法二： 2 22 2mnmm nn+=+ 22 | 2mnm n=+ 222222 ( cossin)( ( 2sin )cos)2cos ( 2sin )s

13、incos =+ 42 2(cossin )=+4(1 cos() 4 =+ 2 8cos () 28 =+ 由已知 8 2 5 mn+=，得 4 |cos()| 285 += 59 2 , 8288 +， cos()0 28 + 4 cos() 285 += 奎屯 王新敞 新疆 (18) （本小题满分 12 分） （考查知识点：概率及分布列）（考查知识点：概率及分布列） 解： （）设袋中原有n个白球，由题意知： 2 2 7 1(1)(1) . 7 6 77 6 2 n Cn nn n C = 所以(1)6n n=，解得3(n =舍去2)n = ，即袋中原有个白球 奎屯 王新敞 新疆 （）由题

14、意，的可能妈值为,2,3,4,5. 3 (1) 7 p=: 4 32 (2) 7 67 p = : 4 3 36 (3) 7 6 535 p = 4 3 2 33 (4) 7 6 5 435 p = : 4 3 2 1 31 (5) 7 6 5 4 335 p = 所以,取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 p 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 （）因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次、第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球” 的事件为 A，则 ( )p AP=（ “1=” ，或“3=” ，或“5=” ）. 因为事件“1=” 、 “3=” 、 “5=”两两互斥，所以 36

15、122 ( )(1)(3)(5) 7353535 P APPP=+=+=+= 奎屯 王新敞 新疆 (19) （本小题满分 12 分） （考查考查知识点：知识点：函数结合导数函数结合导数） （）解： 2 ( )36(1)fxmxmxn=+. 因为1x =是( )f x的一个极值点,所以(1)0 f =,即36(1)0mmn+=. 所以36nm=+ 奎屯 王新敞 新疆 （）解:由（）知 2 2 ( )36(1)363 (1)(1)fxmxmxmm xx m =+=+ 当0m时,有 2 11 m +,当x变化时( )f x与( )fx的变化如下表: x 2 (,1) m + 2 1 m + 2 (1

16、,1) m + 1 (1,)+ ( )fx 0 0 0 ( )f x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表知,当0m时,( )f x在 2 (,1) m +单调递减,在 2 (1,1) m +单调递增, 在(1,)+ 单调递减 奎屯 王新敞 新疆 （）解法一:由已知,得( )3fxm,即 2 2(1)20mxmx+. 0m. 2 22 (1)0xmx mm +. 即 2 12 2(1)0,1,1xxx mm + . （*） 设 2 12 ( )2(1)g xxx mm =+,其函数图象的开口向上. 由题意(*)式恒成立, 22 ( 1)01 20 (1)0 10 g mm g

17、+ 4 34 , 3 10 mm 又0m. 4 0 3 m 即m的取值范围是 4 0 3 m 奎屯 王新敞 新疆 解法二：由已知,得( )3fxm，即 2 3 (1)(1)3m xxm m + ， 0m. 2 (1)1(1)1xx m + . (*) 0 1 1x =时. (*)式化为01怛成立.0m. 0 2 1x 时1,1 ,210xx . (*)式化为 21 (1) 1 x mx 令1tx=,则)2,0t ,记 1 ( )g tt t = , 则( )g t在区间)2,0是单调增函数 奎屯 王新敞 新疆 min 13 ( )( 2)2 22 g tg= = 由(*)式恒成立,必有 234

18、 , 23 m m 又0m 3 0 4 m 综上 0 1、 0 2知 4 0 3 m 奎屯 王新敞 新疆 (20) （本小题满分 12 分）(考查考查知识点：知识点：立体几何立体几何) 解法一： （向量法） 在长方体 1111 ABCDABC D中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 1 AA 所 在直线为z轴建立空间直角坐标系如图 由已知 1 2,1ABAA=，可得(0,0,0), (2,0,0),(1,0,1)ABF 又AD 平面 11 AAB B，从面BD与平面 11 AAB B所成 的角即为 0 30DBA= 又 2 3 2,1, 3 ABAEBD AEAD= 奎屯 王新敞 新

19、疆 从而易得 132 3 ( ,0),(0,0) 223 ED 奎屯 王新敞 新疆 （） 13 ( ,0),( 1,0,1) 22 AEBF= 奎屯 王新敞 新疆 cos, AE BF AE BF AE BF = 1 2 2 42 = 奎屯 王新敞 新疆 即异面直线AE、BF所成的角为 2 arccos 4 奎屯 王新敞 新疆 （）易知平面 1 AAB的一个法向量(0,1,0)m= 奎屯 王新敞 新疆 设( , , )nx y z=是平面BDF的一个法向量 2 3 ( 2,0) 3 BD = 奎屯 王新敞 新疆 由 nBF nBD 0 0 n BF n BD = = 0 2 3 20 3 xx

20、 xy += = 3 xz xy = = 奎屯 王新敞 新疆 A1 B1C1 D1 F E D C B A x z y 取(1, 3,1)n = 奎屯 王新敞 新疆 315 cos, 515 m n m n m n = 奎屯 王新敞 新疆 即平面BDF与平面 1 AAB所成二面角（锐角）大小为 15 arccos 5 奎屯 王新敞 新疆 （）点 A 到平面 BDF 的距离，即AB在平面 BDF 的法向量n上的投影的绝对值 奎屯 王新敞 新疆 所以距离 | cos,dABAB n=| | | AB n AB ABn = |22 5 |55 AB n n = 奎屯 王新敞 新疆 所以点 A 到平面

21、 BDF 的距离为 2 5 5 奎屯 王新敞 新疆 解法二：(几何法) （）连结 11 B D，过 F 作 11 B D的垂线，垂足为 K， 1 BB与两底面 ABCD， 1111 ABC D都垂直， 1 111 1111 FBBB FKB DFBB B DBBB = 1 平面BDD 又 1 1 1 AEBB AEBDAEB BBBDB = 1 平面BDD 因此/FKAE 奎屯 王新敞 新疆 BFK为异面直线BF与AE所成的角 奎屯 王新敞 新疆 连结 BK，由 FK面 11 BDD B得FKBK， 从而 BKF为Rt 奎屯 王新敞 新疆 在 1 Rt B KF和 111 Rt B D A中，

22、 由 11 111 ADFK B FB D =得 111 2211 21 3 1 1 32 22 2(3) 3 ADAB AD B F FK B DBD = + 奎屯 王新敞 新疆 又2BF =， 2 cos 4 FK BFK BK = 奎屯 王新敞 新疆 A1 B1C1 D1 F K E D C B A 异面直线BF与AE所成的角为 2 arccos 4 奎屯 王新敞 新疆 （）由于AD 面 t AAB由A作BF的垂线AG，垂足 为G，连结DG，由三垂线定理知BGDG 奎屯 王新敞 新疆 AGD即为平面BDF与平面 1 AAB所成二面角的平 面角 奎屯 王新敞 新疆 且90DAG=，在平面

23、1 AAB中，延长BF与 1 AA；交 于点S 奎屯 王新敞 新疆 F为 11 AB的中点 11 11 /, 22 AFAB AFAB=， 1 A、F分别为SA、SB的中点 奎屯 王新敞 新疆 即 1 22SAAAAB=， Rt BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点 F，即 F、G 重合 奎屯 王新敞 新疆 易得 1 2 2 AGAFSB=，在Rt BAS中， 2 3 3 AD = 奎屯 王新敞 新疆 2 3 6 3 tan 32 AD AGD AG =， 6 arctan 3 AGD=， 即平面BDF于平面 1 AAB所成二面角（锐角）的大小为 6 arctan 3 奎屯 王新

24、敞 新疆 （）由（）知平面AFD是平面BDF与平面 1 AAB所成二面角的平面角所在的平面 面AFDBDF面 奎屯 王新敞 新疆 在Rt ADF中，由作 AHDF 于 H，则 AH 即为点 A 到平面 BDF 的距离 奎屯 王新敞 新疆 由 AH DF=AD AF，得 22 2 32 2 3 5 52 (3)( 2) 3 AD AF AH DF = + 奎屯 王新敞 新疆 S A1 B1 C1 D1 G F E D C B A S A1 B1 C1 D1 HF E D C B A 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 2 5 5 奎屯 王新敞 新疆 (21) （本小题满分 12 分） （考查（

25、考查知识点知识点: :数列）数列） 解：由已知 * 1 25() nn SSnnN + =+， 可得 1 2,24 nn nSSn =+两式相减得 () 11 21 nnnn SSSS + =+即 1 21 nn aa + =+ 从而() 1 121 nn aa + + =+ 当1n =时 21 21 5SS=+ +所以 211 26aaa+=+又 1 5a =所以 2 11a = 从而() 21 121aa+ =+ 故总有 1 12(1) nn aa + + =+， * nN又 11 5,10aa=+ 从而 1 1 2 1 n n a a + + = + 即数列1 n a +是等比数列； （

26、II）由（I）知3 21 n n a = 因为 2 12 ( ) n n f xa xa xa x=+所以 1 12 ( )2 n n fxaa xna x =+ 从而 12 (1)2 n faana=+=() () 2 3 2 12 3 21(3 21) n n + =( ) 2 3 22 22nn+ + -()1 2n+=() 1 (1) 31 26 2 n n n n + + + 由上 ()() 2 2(1)2313121 2nfnnn=-() 2 12 21nn= ()()121 2121 (21) n nnn+=12(1) 2(21) n nn+ 当1n =时，式=0 所以 2 2(

27、1)2313fnn=； 当2n =时，式=-120所以 2 2(1)2313fnn 当3n 时，10n 又() 011 21 1 n nnn nnnn CCCC =+=+2221nn+ 所以()()12210 n nn+ 即0从而2(1) f 2 2313nn (22) （本小题满分 14 分） （考查考查知识点知识点: :圆锥曲线圆锥曲线） 解： （I）如图，设M为动圆圆心，,0 2 p 为记为F，过点 M作直线 2 p x = 的垂线，垂足为N，由题意知： MFMN=即动点M到定点F与定直线 2 p x = 的距离 相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中 ,0 2 p F 为焦点

28、， 2 p x = 为准线，所以轨迹方程为 2 2(0)ypx P=； （II）如图，设()() 1122 ,A x yB x y，由题意得 12 xx（否 则+=）且 12 ,0x x 所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb=+，显然 22 12 12 , 22 yy xx pp =，将ykxb=+与 2 2(0)ypx P=联立消去x，得 2 220kypypb+= 由韦达定理知 1212 22 , ppb yyyy kk += （1）当 2 =时，即 2 +=时，tantan1=所以 12 1 212 12 1,0 yy x xy y xx =， 22 12 12 2 0 4 y y

29、 y y p =所以 2 12 4y yp= 由知： 2 2 4 pb p k =所以2.bpk= 因此直线AB的方程可表示为2ykxPk=+， 即(2 )0k xPy+=所以直线AB恒过定点()2 ,0p （2）当 2 时，由+=，得tantan()=+= tantan 1 tantan + = 12 2 12 2 () 4 p yy y yp + 将式代入上式整理化简可得： 2 tan 2 p bpk = ，所以 2 2 tan p bpk =+， 此时，直线AB的方程可表示为ykx=+ 2 2 tan p pk +即 2 (2 )0 tan p k xpy += N F( p 2,0) M A B x=- p 2 o y x 所以直线AB恒过定点 2 2 , tan p p 奎屯 王新敞 新疆 所以由（1） （2）知，当 2 =时，直线AB恒过定点()2 ,0p，当 2 时直线AB恒过 定点 2 2 , tan p p 奎屯 王新敞 新疆