2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理）含答案.pdf

1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数数 学学（理工农医类）（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 第第卷卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. . （1）如果函数 2 yaxbxa=+的图象与x轴有两个交点

2、，则点( , )a baOb在平面上的区 域（不包含边界）为（ ） （2）抛物线 2 axy =的准线方程是2=y，则 a 的值为 （ ） （A） 8 1 （B） 8 1 （C）8 （D）8 （3）已知=xtgxx2, 5 4 cos),0 , 2 (则 （ ） （A） 24 7 （B） 24 7 （C） 7 24 （D） 7 24 （4）设函数 00 2 1, 1)( 0, , 0, 12 )(xxf xx x xf x 则若 = 的取值范围是（ ） （A） （1，1） （B）( 1,) + （C） （，2）（0，+） （D） （，1）（1，+） （5）O是平面上一定点，ABC、 、是平面上

3、不共线的三个点，动点P满足 )(),0, ABAC OPOAP ABAC =+则的轨迹一定通过ABC的 （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 （6）函数 1 ln,(1,) 1 x yx x + =+ 的反函数为（ ） aaaa b bbb O O OO (A) (B) (C) (D) （A） 1, (0,) 1 x x e yx e =+ + （B） 1, (0,) 1 x x e yx e + =+ （C） 1, (,0) 1 x x e yx e = + （D） 1, (,0) 1 x x e yx e + = （7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体

4、的体积为 （ ） （A） 3 3 a （B） 3 4 a （C） 3 6 a （D） 3 12 a （8）设 2 0, ( )af xaxbxc=+，曲线( )yf x=在点 00 (,()P xf x处切线的倾斜角 的取值范围为0, 4 P 则到曲线( )yf x=对称轴距离的取值范围为 （ ） （A） 1 0, a （B） 1 0, 2a （C）0, 2 b a （D） 1 0, 2 b a （9）已知方程0)2)(2( 22 =+nxxmxx的四个根组成一个首项为 4 1的的等差数列， 则=|nm （ ） （A）1 （B） 4 3 （C） 2 1 （D） 8 3 （10）已知双曲线中心在

5、原点且一个焦点为 F（7，0） ，直线1= xy与其相交于 M、 N 两点，MN 中点的横坐标为 3 2 ，则此双曲线的方程是 （ ） （A） 1 43 22 = yx （B）1 34 22 = yx （C）1 25 22 = yx （D）1 52 22 = yx （11）已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点 0 P沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点 1 P后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 2 P、 3 P和 4 P（入射角等于反射角） ， 设 4 P的坐标为 （ 4 x， 0） ， 若21 4 x，

6、则 tg的取值范围是 （ ） （A） （ 3 1 ，1） （B） （ 3 1 ， 3 2 ） （C） （ 5 2 ， 2 1 ） （D） （ 5 2， 3 2 ） （12） 一个四面体的所有棱长都为2， 四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 （ ） （A）3 （B）4 （C）33 （D）6 2 6 3 4 5 1 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数数 学学（理工农医类）（理工农医类） 第第卷卷（非选择题共 90 分） 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上

7、 把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 （13） 92 ) 2 1 ( x x 的展开式中 9 x系数是 （14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆 奎屯 王新敞 新疆为检验 该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依 次应抽取_，_，_辆 奎屯 王新敞 新疆 （15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） 奎屯 王新敞 新疆现要栽种 4 种 不同颜色的花， 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法 有_种 奎屯 王新敞 新疆（以数字作答） （16）对于四面体 ABC

8、D，给出下列四个命题 ,ABAC BDCDBCAD=若则 奎屯 王新敞 新疆 ,ABCD ACBDBCAD=若则 ,ABAC BDCDBCAD若则,ABCD ACBDBCAD若则 其中真命题的序号是_.（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 （17）（本小题满分 12 分） 有三种产品，合格率分别为 0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验 奎屯 王新敞 新疆 （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率 奎屯 王新

9、敞 新疆（精确到 0.001） （18） （本小题满分 12 分） 已知函数( )sin()(0,0)f xxR =+是上的偶函数，其图象关于点 3 (,0) 4 M 对称，且在区间 0, 2 上是单调函数 奎屯 王新敞 新疆求 和的值 奎屯 王新敞 新疆 （19） （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，底面是等腰直角三角形，=90ACB，侧 棱2 1 =AA，D、E 分别是 1 CC与BA1的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G （）求BA1与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （）求点 1 A到平面 AED 的距离 E

10、 G D C B A C1 B1 A1 （20） （本小题满分 12 分） 已知常数0,(0, ),(1,0)aca i=向量 奎屯 王新敞 新疆经过原点O以c i+为方向向量的直线与 经过定点(0, )2Aaic以为方向向量的直线相交于 P，其中R 奎屯 王新敞 新疆试问：是否存在两个 定点 E、F，使得PEPF+为定值 奎屯 王新敞 新疆若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由 奎屯 王新敞 新疆 （21） （本小题满分 12 分） 已知0,an为正整数 奎屯 王新敞 新疆 （）设()nyxa=，证明 1 ()nyn xa =； （）设( )() nn n fxxxa=，对任意na

11、，证明 1( 1)(1)( ) nn fnnfn + + 奎屯 王新敞 新疆 （22） （本小题满分 14 分） 设0a ，如图，已知直线: l yax=及曲线 2 :,C yx C=上的点 1 Q的横坐标为 11 (0).(1) n aaaCQ n从 上的点作直线平行于x轴，交直线 11nn lPP + 于点，再从点 作直线平行于y轴，交曲线 1. (1,2,3, nn CQQ n + =于点 ）的横坐标构成数列 n a （）试求 1nn aa +与 的关系，并求 n a的通项公式； （）当 1 1 1, 2 aa=时，证明 12 1 1 () 32 n kkk k aaa + = （）当1

12、a =时，证明 12 1 1 () 3 n kkk k aaa + = O c y l x Q1 Q2 Q3 1 a 2 a 3 a r2 r1 2003 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题（江苏卷）（江苏卷）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分. 1C 2B 3D 4D 5B 6B 7C 8B 9C 10D 11C 12A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分. 13 2 21 146,30,10 15120 16 三、解答题 17本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12

13、 分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C. （）95. 0)()(,90. 0)(=CPBPAP， .50. 0)()(,10. 0)(=CPBPAP 因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176. 095. 095. 010. 005. 095. 090. 02 )()()()()()()()()( )()()( =+= += + CPBPAPCPBPAPCPBPAP CBAPCBAPCBAP 答：恰有一件不合格的概率为 0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为 )()()()(CBAPCBAPCBAPCBAP+ 012. 005.

14、010. 095. 005. 010. 0205. 090. 0 22 =+= 解法二：三件产品都合格的概率为 812. 095. 090. 0)()()()( 2 =CPBPAPCBAP 由（）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 .012. 0)176. 0812. 0(1176. 0)(1=+=+CBAP 答：至少有两件不合的概率为 0.012. （18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力， 满 12 分分。 解：由),()(,)(xfxfxf=得是偶函数 . 0cos, 0, sincossincos ),s

15、in()sin( = = +=+ 所以得且都成立对任意 所以 即 x xx xx . 2 3 2 , ; 2 , 0) 2 sin()(, 3 10 ,0 ; 2 , 0) 2 2sin()(, 2,1 ; 2 , 0) 23 2 sin()(, 3 2 ,0 ., 2 , 1 , 0),12( 3 2 , 3 , 2 , 1, 24 3 , 0, 0 4 3 cos , 4 3 cos) 24 3 sin() 4 3 ( , 4 3 cos) 24 3 sin() 4 3 (, 0 ), 4 3 () 4 3 (,)( . 2 ,0 = += += += =+= =+= =+= =+= +=

16、 = 或综合得所以 上不是单调函数在时当 上是减函数在时当 上是减函数在时当 得又 得取 得对称的图象关于点由 所以解得依题设 xxfk xxfk xxfk kk kk f fx xfxfMxf 19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一： （）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成 的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， . 3 2 arcsin . 3 2 3 1 3 6 sin . 3, 32,22,2 . 3 6 3 21 ,2 . 3, 1,

17、3 1 ., , 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EG EBG EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED = = = = = （）连结 A1D，有 EAADAEDA VV 11 = ,FABEFEFEDABED=又 ABAED 1 平面, 设 A1到平面 AED 的距离为 h， 则EDShS ABAAED = 1 . 2 6 2 1 ,2 4 1 2 1 1 11 = EDAESABAASS AEDABAAEA 又 . 3 62 . 3

18、62 2 6 22 1 的距离为到平面即AEDAh= = 解法二： （）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a， 则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) . 3 7 arccos . 3 7 21 3 1 32 3/14 | cos ). 3 1 , 3 4 , 3 2 (),2 , 2, 2( . 1. 0 3 2 3 2 ).1 ,2, 0(), 3 2 , 3 , 3 ( ). 3 1 , 3 2 , 3 2 (),1 ,(),2 , 0 ,2( 1

19、1 1 1 1 2 1 所成角是与平面 解得 ABDBA BGBA BGBA BGA BGBA aaBDGEaBD aa CE aa GaaEaA = = = = =+= （）由（）有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) ., , 0)0 , 1, 1()2 , 0 , 0( , 0)0 , 1, 1() 1 , 1 , 1( 1 1 AEDEDEAAED EDAA EDAE 平面又平面 = = （）当 2 2 =a 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F； （）当 2 2 0 a 时，方程表示椭圆，焦点 ) 2 , 2 1 2 1 () 2

20、, 2 1 2 1 ( 22 a aF a aE和 （）当 , 2 2 时a 方程也表示椭圆，焦点 ) 2 1 ( 2 1 , 0() 2 1 ( 2 1 , 0( 22 +aaFaaE和 为合乎题意的 两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分 12 分. 证明： （）因为 n k k n n Cax 0 )( = = kkn xa )(， 所以 1 0 )( = = kkn n k k n xakCy n k n 0= =.)()( 111 1 = nkknk n axnxaC （）对函数 nn n axxxf)()(=求导数: n

21、nnn nn n n nn n nn n annannan xaxxxfax xfax annnnf axnnxxf )()1() 1( , .)()(, . 0)(,0 .)()( ,)()( 11 11 + = = = 时当因此 的增函数是关于时当 时当 所以 )()(1()1() 1)(1() 1( 1 nnnn n annnannnnf+=+ + ).() 1()()(1( 1 nfnannnn n nn +=+ 即对任意).() 1() 1(, 1 nfnnfan nn + + 22本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能 力，满分 14

22、 分. （）解：). 1 , 1 (), 1 (),( 4 2 2 1 22 1 2 1nnnnnnnnn a a a a Qaa a PaaQ + , 1 2 1nn a a a= + 2 2 2 2122 2 2 1 ) 1 () 1 ( 11 + = nnnn a a a aa a a a = + + 322 2 2 22122 3 21 ) 1 () 1 () 1 ( nn a a a aa = 11112 212 1 122 1 221 )() 1 () 1 ( + = + nnnnn a a aa a a a ， .)( 1 21 = n a a aan （）证明：由 a=1 知,

23、 2 1nn aa= + , 2 1 1 a . 16 1 , 4 1 32 aa 当. 16 1 ,1 32 + aak k 时 = + = + = n k nkk n k kkk aaaaaaa 1 111 1 21 . 32 1 )( 16 1 )( 16 1 )( （）证明：由（）知，当 a=1 时，, 1 2 1 = n aan 因此 = + = + = + n k iii i n k kkk aaaaaaaaa n kkk 1 22 1 1 11 12 1 2 1 2 1 2 1 1 21 )()()( 11 = = 12 1 3 1 3 12 11 3 1 2 11 1 )1 ()1 ( n i i a a aaaaa = . 3 1 1 2 11 5 1 +aa a