2003年普通高等学校春季招生（北京数学理）试卷含答案.pdf

1、 2003 年普通高等学校春季招生考试年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 2 页.第卷 3 至 8 页.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第卷第卷（选择题（选择题 共共 60 分）分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： 三角函数的积化和差公式 )sin()sin(

2、2 1 cossin+= )sin()sin( 2 1 sincos+= )cos()cos( 2 1 coscos+= )cos()cos( 2 1 sinsin+= 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1若集合= PMxyyPyyM x 则,1|,2|( ) A1|yy B1|yy C0|yy D0|yy 2若 x x xf 1 )( =，则方程xxf=)4(的根是( ) A 2 1 B 2 1 C2 D2 3设复数=+=+= 2 1 21 arg, 2 3 2 1 ,1 z z iziz

3、则( ) 正棱台、圆台的侧面积公式 lccS)( 2 1 += 台侧 其中 c 、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式 3 3 4 RV= 球 其中 R 表示球的半径 A 12 13 B 12 7 C 12 5 D 12 5 4函数 )1 (1 1 )( xx xf = 的最大值是( ) A 5 4 B 4 5 C 4 3 D 3 4 5在同一坐标系中，方程)0(01 22222 =+babyaxybxa与的曲线大致是 ( ) x y x y x y x y O OO O A BC D 6若 A，B，C 是ABC 的三个内角，且) 2 ( CCBA，则下列结论中正确

4、的是 ( ) ACAsinsin BCAcoscos CtgCtgA DctgCctgA 7椭圆 ( sin3 ,cos54 = += y x 为参数）的焦点坐标为( ) A （0，0） ， （0，8） B （0，0） ， （8，0） C （0，0） ， （0，8） D （0，0） ， （8，0） 8如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点， G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点.将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度 数为( ) A90 B60 C45 D0 9某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了

5、两个新节目.如果将 这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A42 B30 C20 D12 A B C DE FG H J L 10 已知直线1)0(0 22 =+=+yxabccbyax与圆相切， 则三条边长分别为|a|， |b|， |c|的三角形( ) A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在 11若不等式6|2|+ax的解集为（1，2） ，则实数 a 等于( ) A8 B2 C4 D8 12 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 AOB 三 边 所 在 直 线 的 方 程 分 别 为 3032 , 0, 0=+=yxyx，则AOB 内部和边上整点（

6、即横、纵坐标均为整数的点）的 总数是( ) A95 B91 C88 D75 2003 年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类） （北京卷） 第卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 1第卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 分 数 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有 适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水 面高度恰好升高 r，则= r R 奎屯 王新敞 新疆 14在某报自测

7、健康状况的报道中，自测血压 r r （ 1） （ 2） 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内 奎屯 王新敞 新疆 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88 15如图，F1，F2分别为椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x 的左、右焦点， 点 P 在椭圆上，POF2是面积为3的正三角形，则 b2 的值是 奎屯 王新敞 新疆 16若存在常数0p，使得函数 =)()(p

8、xfxf满足)(),)( 2 (xfRx p pxf则的一个正 周期为 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分）解不等式：. 1) 1(log)2(log 2 1 2 2 1 xxx 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 )(, 2cos 4sin5cos6 )( 24 xf x xx xf求 + = 的定义域，判断它的奇偶性，并求其 值域. x y O P F1 F 19 （本小题满分 12 分） 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为 4.E，F 分别为棱 A

9、B，BC 的中点， EFBD=G. （）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1； （）求点 D1到平面 B1EF 的距离 d； （）求三棱锥 B1EFD1的体积 V. 20 （本小题满分 12 分） 某租赁公司拥有汽车 100 辆. 当每辆车的月租金为 3000 元时， 可全部租出. 当每辆 车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. A B C D E F G B1 C1 D1 A1 （）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

10、最大月收益是多 少？ 21 （本小题满分 13 分） 如图， 在边长为 l 的等边ABC 中， 圆 O1为ABC 的内切圆， 圆 O2与圆 O1外切， 且与 AB，BC 相切，圆 On+1与圆 On外切，且与 AB，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆 On的面积为)(Nnan. （）证明 n a是等比数列； （）求)(lim 21n n aaa+ 的值. A B C O1 O2 22 （本小题满分 13 分） 已知动圆过定点 P（1，0） ，且与定直线1:=xl相切，点 C 在 l 上. （）求动圆圆心的轨迹 M 的方程； （）设过点 P，且斜率为3的直线与曲线 M 相交于 A，B 两点.

11、（i）问：ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由； （ii）当ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 2003 年普通高等学校春季招生考试 数学试题（理工农医类） （北京卷）参考答案 一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分. 13 3 32 14 （140） （85） 1532 16 2 p 注：填 2 p 的正整数倍中的任何一个都正

12、 确. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满 分 12 分. 解：原不等式变形为)22(log)2(log 2 1 2 2 1 xxx .所以，原不等式 32 30 , 2 03 , 01 , 0) 1)(2( 222 01 , 02 22 2 + x x x xx x xx xxx x xx . 故原不等式的解集为32| xx. 18本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分 12 分. 解：由 Zk k xkx

13、x+, 42 , 2 202cos 解得得 . 所以)(xf的定义域为 ., 42 |Zk k xRxx+ 且 因为)(xf的定义域关于原点对称，且 )2cos( 4)(sin5)(cos6 )( 24 x xx xf + = )(),( 2cos 4sin5cos6 24 xfxf x xx 所以= + = 是偶函数. 当 x xx xfZk k x 2cos 4sin5cos6 )(, 42 24 + =+时 1cos3 2cos ) 1cos3)(1cos2( 2 22 = =x x xx ， 所以)(xf的值域为2 2 1 2 1 1|yyy或 19本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考

14、查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分 12 分. （）证法一： 连结 AC. 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形， ACBD，又 ACD1D，故 AC平面 BDD1B1. E，F 分别为 AB，BC 的中点，故 EFAC， EF平面 BDD1B1， 平面 B1EF平面 BDD1B1. 证法二： BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD. 又 EFD1D EF平面 BDD1B1， 平面 B1EF平面 BDD1B1. （）在对角面 BDD1B1中，作 D1HB1G，垂足为 H. 平面 B1EF平面 BDD1B1，且平面 B1EF平面 BDD1B1=B1G， D1H平面 B

15、1EF，且垂足为 H，点 D1到平面 B1EF 的距离 d=D1H. 解法一： A B C D E F G B1 C1 D1 A1 在 RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H. 42222 1111 =BABD ， , 17 4 14 4 sinsin 22 1 1 111 = + = GB BB GBBHBD . 17 1716 17 4 4 1 =HDd 解法二： D1HB1B1BG， GB BD BB HD 1 11 1 1 = ， . 17 1716 14 4 22 2 1 2 1 1 = + = GB BB HDd 解法三： 连结 D1G，则三角形 D1GB1的面积等于正

16、方形 DBB1D1面积的一半， 即 2 111 2 1 2 1 BBHDGB= ， . 17 1716 1 2 1 1 = GB BB HDd （） EFBEFBDEFDB SdVVV 11111 3 1 = . 3 16 172 2 1 17 16 3 1 = 20本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分 12 分. 解： （）当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为 12 50 30003600 = ，所以这时租 出了 88 辆车. （）设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益 为 50 50 3000 )150)( 50 3000 1

17、00()( = x x x xf ， 整理得 307050)4050( 50 1 21000162 50 )( 2 2 +=+=xx x xf 所以， 当 x=4050 时，)(xf最大， 最大值为307050)4050(=f， 即当每辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益 最大，最大月收益为 307050 元. 21本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分 13 分. B On-1 On A C B1 BG D D1 H B1 BG D D1 H （）证明：记 rn为圆 On的半径，则 , 6 3 30 2 1 ltg l r= . 2 1 30

18、sin 1 1 = + nn nn rr rr 所以 , 12 ),2( 3 1 2 2 111 l ranrr nn = 于是 9 1 )( 2 11 = n n n n r r a a 故 n a成等比数列. （）解：因为 ),() 9 1 ( 1 1 Nnaa n n = 所以 . 32 3 9 1 1 )(lim 2 1 21 la aaa n n = =+ 22本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问 题的能 力. 满分 13 分. 解：（） 依题意， 曲线 M 是以点 P 为焦点， 直线 l 为准线的抛物线， 所以曲线 M 的方程为xy4

19、 2 =. （） （i）由题意得，直线 AB 的方程为 = = = xy xy xy 4 ) 1(3 ) 1(3 2 由 消 y 得 . 3, 3 1 , 03103 21 2 =+xxxx解得 所以 A 点坐标为 ) 3 32 , 3 1 ( ，B 点坐标为（3，32） ， . 3 16 2| 21 =+=xxAB 假设存在点 C（1，y） ，使ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且 |AC|=|AB|，即 =+ =+ 222 222 ) 3 16 () 3 2 () 1 3 1 ( ,) 3 16 ()32() 13( y y 由得 ,) 3 32 () 3 4 ()32(4 2222

20、 +=+yy ) 3 32 , 3 1 ( )32, 3( xy4 2 = l 32 3 32 x y A O B P(1,0) -1 . 9 314 =y解得 但 9 314 =y 不符合，所以由，组成的方程组无解. 因此，直线 l 上不存在点 C，使得ABC 是正三角形. （ii）解法一： 设 C（1，y）使ABC 成钝角三角形， 由 32 1 ) 1(3 = = = y x xy 得 ， 即当点 C 的坐标为（1，32）时，A，B，C 三点共线，故32y. 又 2222 3 34 9 28 ) 3 32 () 3 1 1(|y y yAC+=+= ， 2222 3428)32() 13(

21、|yyyBC+=+=， 9 256 ) 3 16 (| 22 =AB . 当 222 |ABACBC+，即 9 256 3 34 9 28 3428 22 +yyyy ， 即CABy,3 9 2 时 为钝角. 当 222 |ABBCAC+，即 9 256 3428 3 34 9 28 22 +yyyy ， 即 CBAy时3 3 10 为钝角. 又 222 |BCACAB+，即 22 3428 3 34 9 28 9 256 yyy y + ， 即 0) 3 2 ( , 0 3 4 3 3 4 22 +yyy . 该不等式无解，所以ACB 不可能为钝角. 因 此 ， 当 ABC为 钝 角 三 角

22、 形 时 ， 点C的 纵 坐 标y的 取 值 范 围 是 )32( 9 32 3 310 yyy或 . 解法二： 以 AB 为直径的圆的方程为 222 ) 3 8 ()3 3 2 () 3 5 (=+yx . 圆心 )3 3 2 , 3 5 ( 到直线1:=xl的距离为 3 8 ， 所以，以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G) 3 32 , 1( . 当直线 l 上的 C 点与 G 重合时，ACB 为直角，当 C 与 G 点不重合，且 A，B，C 三点不共线时， ACB 为锐角，即ABC 中ACB 不可能是钝角. 因此，要使ABC 为钝角三角形，只可能是CAB 或CBA 为钝角. 过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 9 32 1). 3 1 ( 3 3 3 32 =yxxy得令 . 过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 )3( 3 3 32=+xy . 令3 3 10 1=yx得 . 又由 32 1 ) 1(3 = = = y x xy 解得 ，所以，当点 C 的坐标为（1，32）时，A，B，C 三点共 线，不构成三角形. 因此，当ABC 为钝角三角形时，点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 ).32( 9 32 3 310 yyy或