2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（新课程卷）理(附解答).pdf

1、 20022002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷） 数学（理工农医） 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1曲线() 为参数 = = sin cos y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 2 1 )(A 2 2 )(B 1 )(C 2)(D 2复数 3 2 3 2 1 i的值是 iA )( iB)( 1)(C 1 )(D 3已知nm,为异面直线，平面m，平面n，l，则l 都相交与nmA,)( 中至少一条相交与nm,)B( 都不相交与nm,)C( 中的一条相交至多与nm,)D( 4不等式()()011+xx

2、的解集是（ ） 10)( xxA 10)(xxxB且 11)(xxC 11)(xxxD且 5在()2 , 0内，使xxcossin成立的x取值范围为（ ） 4 5 , 2 , 4 )( A , 4 )(B 4 5 , 4 )( C 2 3 , 4 5 , 4 )( D 6设集合 +=Zk k xxM, 4 1 2 ， +=Zk k xxN, 2 1 4 则（ ） NMA=)( MB)( N NC)( M =NMD)( 7正六棱柱 111111 FEDCBAABDCEG 底面边长为 1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面 对角线DE1与 1 BC所成的角是（ ） o A 90)( o B 60)( o

3、 C 45)( o D 30)( 8函数)()+=, 0 2 xcbxxy是单调函数的充要条件是（ ） 0)(bA 0)(bB 0)(bC 0)(bD 9已知10ayx，则有（ ） ()0log)(xyA a ()1log0)(xyB a ()2log1 )(xyC a ()2log)(xyD a 10平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点()()3 , 1,1 , 3BA，若点C满足 OBOAOC+=，其中有R,且1=+，则点C的轨迹方程为( ) 01123)(=+yxA ()()521)( 22 =+yxB 02)(= yxC 052)(=+yxD 11从正方体的 6 个面中选取 3 个

4、面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（ ） 种8)(A 种12)(B 种16)(C 种20)(D 12 据2002年3月5日九届人大五次会议 政府工作报告 ：“2001年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%” 奎屯 王新敞 新疆如果“十五”期间(2001 年2005 年)每年的国内生产总值都按 此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为( ) 115000)(A亿元 120000)(B亿元 127000)(C亿元 135000)(D亿元 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13函数()()+ + =, 1 1 2 x x x y 图象与其

5、反函数图象的交点坐标为 14椭圆55 22 =kyx 的一个焦点是()2 , 0 ，那么=k 15直线2, 0, 0=xyx与曲线() 2 2=y所围成的图形绕 X 轴旋转一周而成的旋转体 的体积等于 16已知函数( ) 2 2 1x x xf + =，那么( )( )( )( )= + + + 4 1 4 3 1 3 2 1 21fffffff 三解答题（本大题共 6 小题，共 74 分） 17 （本题满分 12 分）已知 2 3 2 , 5 3 4 cos = + 奎屯 王新敞 新疆求 + 4 2cos 的值 奎屯 王新敞 新疆 18注意：考生在以下（甲） 、 （乙）两题中选一题作答，如果

6、两题都答，只以（甲）计分 奎屯 王新敞 新疆 （甲）（甲）如图，正三棱柱 111 CBAABC 的底面边长为a，侧棱长为a2 奎屯 王新敞 新疆 （1）建立适当的坐标系，并写出点 11, ,CABA的坐标； （2）求 1 AC与侧面 11A ABB所成的角 奎屯 王新敞 新疆 （乙）（乙） 如图， 正方形ABEFABCD,的边长都是 1， 而且平面ABEFABCD,互相垂直 奎屯 王新敞 新疆点M 在AC上移动，点N在BF上移动，若()20=aaBNCM 奎屯 王新敞 新疆 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN 的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小

7、奎屯 王新敞 新疆 19 （本题满分 12 分）某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5 （相互独立） ， （1）求至少 3 人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于 0.3？ 20 （本题满分 12 分）已知0a，函数( )()+ =, 0, 1 x x ax xf 奎屯 王新敞 新疆设 a x 2 0 1 ，记曲线 ( )xfy =在点( )() 11, xfxM处的切线为l 奎屯 王新敞 新疆 （1）求l的方程； （2）设l与x轴交点为()0 , 2 x 奎屯 王新敞 新疆证明： （） a x 1 0 2 ； （）若 a x 1 1 则 a xx

8、1 21 奎屯 王新敞 新疆 21、 （本题满分 12 分）已知两点()()0 , 1,0 , 1NM ，且点P使MNMP，PNPM ， NPNM 成公差小于零的等差数列 奎屯 王新敞 新疆 （1）点 P 的轨迹是什么曲线？ （2）若点 P 坐标为() 00, y x，记为PM与PN的夹角，求tan 奎屯 王新敞 新疆 22、 （本题满分 14 分）已知 n a是由非负整数组成的数列，满足0 1 =a，3 2 =a， ()(), 5 , 4 , 3,22 211 =+= + naaaa nnnn 奎屯 王新敞 新疆 (1)求 3 a； (2)证明, 5 , 4 , 3, 2 2 =+= naa

9、 nn ； (3)求 n a的通项公式及其前n项和 n S 奎屯 王新敞 新疆 20022002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷） 数学（文史类） 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.若直线()011+yxa与圆02 22 =+xyx相切，则a的值为 1, 1 )(A 2, 2)(B 1 )(C 1)(D 2.已知nm,为异面直线，平面m，平面n，l，则l 都相交与nmA,)( 中至少一条相交与nm,)B( 都不相交与nm,)C( 中的一条相交至多与nm,)D( 3.不等式()()011+xx的解集是（ ） 1

10、0)( xxA 10)(xxxB且 11)(xxC 11)(xxxD且 4.函数 x ay =在1 , 0上的最大值与最小值的和为 3，则a的值为（ ） 2 1 )(A 2)(B 4)(C 4 1 )(D 5.在()2 , 0内，使xxcossin成立的x取值范围为（ ） 4 5 , 2 , 4 )( A , 4 )(B 4 5 , 4 )( C 2 3 , 4 5 , 4 )( D 6.设集合 +=Zk k xxM, 4 1 2 ， +=Zk k xxN, 2 1 4 则（ ） NMA=)( MB)( N NC)( M =NMD)( 7.椭圆55 22 =+kyx的一个焦点是()2 , 0，

11、那么=k（ ） 1)(A 1 )(B 5)(C 5)(D 8.正六棱柱 111111 FEDCBAABDCEG 底面边长为 1， 侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对 角线DE1与 1 BC所成的角是（ ） o A 90)( o B 60)( o C 45)( o D 30)( 9函数)()+=, 0 2 xcbxxy是单调函数的充要条件是（ ） 0)(bA 0)(bB 0)(bC 0)(bD 10已知10ayx，则有（ ） ()0log)(xyA a ()1log0)(xyB a ()2log1 )(xyC a ()2log)(xyD a 11从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面

12、不相邻的选法共有（ ） 种8)(A 种12)(B 种16)(C 种20)(D 12平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点()()3 , 1,1 , 3BA，若点C满足 OBOAOC+=，其中有R,且1=+，则点C的轨迹方程为( ) 01123)(=+yxA ()()521)( 22 =+yxB 02)(= yxC 052)(=+yxD 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13据新华社 2002 年 3 月 12 日电， 1985 年到 2000 年间，我国农村人均居住面积 如图所示，其中，从年到年 的五年间增长最快 奎屯 王新敞 新疆 14已知 = , 2 sin2

13、sin， 则=cot 15甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2 ）: 品种第一年第二年第三年第四年第五年 甲9.89.910.11010.2 乙9.410.310.89.79.8 其中产量比较稳定的小麦品种是（复查至此） 16设函数( )xf在()+,内有定义，下列函数 ( )( )xfy=1； ( )( ) 2 2xxfy = ； ( )()xfy=3； ( )( )()xfxfy=4 中必为奇函数的有（要求填写正确答案的序号） 奎屯 王新敞 新疆 三解答题（本大题共 6 小题，共 74 分） 17 （本题满分 12 分）在等比数列 n a中，已知6

14、4,24 5356 =aaaa，求 n a前 8 项的 和 8 S 奎屯 王新敞 新疆 18 （ 本 题 满 分 12 分 ） 已 知 =+ 2 , 0, 12coscos2sin2sin2 ， 求 tansin 与的值 奎屯 王新敞 新疆 19 （本题满分 12 分） （注意：考生在以下（甲） 、 （乙）两题中选一题作答，如果两题都答， 只以下（甲）计分） 奎屯 王新敞 新疆 （甲）（甲）如图，正三棱柱 111 CBAABC 的底面边长为a，侧棱长为a2 奎屯 王新敞 新疆 （1）建立适当的坐标系，并写出点 11, ,CABA的坐标； （2）求 1 AC与侧面 11A ABB所成的角 奎屯

15、王新敞 新疆 （乙）（乙） 如图， 正方形ABEFABCD,的边长都是 1， 而且平面ABEFABCD,互相垂直 奎屯 王新敞 新疆点M 在AC上移动，点N在BF上移动，若()20=aaBNCM 奎屯 王新敞 新疆 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN 的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小 奎屯 王新敞 新疆 20 （本题满分 12 分） 某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独立） ， （1）求至少 3 人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于 0.3？ 21 （本题满分 12 分）已知0a，函数(

16、)()+=, 0, 3 xaxxf，设0 1 x，记曲线 ( )xfy =在点( )() 11, xfx处的切线为l 奎屯 王新敞 新疆 （1）求l的方程； （2）设l与x轴交点为()0 , 2 x 奎屯 王新敞 新疆证明： （） 3 1 2 ax ； （）若 3 1 2 ax 则 12 3 1 xxa 奎屯 王新敞 新疆 22 （本题满分 14 分）已知两点()()0 , 1,0 , 1NM ，且点P使MNMP，PNPM ， NPNM 成公差小于零的等差数列 奎屯 王新敞 新疆 （1）点 P 的轨迹是什么曲线？ （2）若点 P 坐标为() 00, y x，记为PM与PN的夹角，求tan 奎屯

17、 王新敞 新疆 20022002 年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（文理）年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（文理） 参考答案参考答案 一、1、D 2、 （文）（文）B， （理）（理）C 3 3、 （文）、 （文）D， （理）（理）B 4 4、 （文）、 （文）B， （理）（理）D 5、C 6 6、B 7 7、B 8 8、 （文）、 （文）B， （理）（理）A 9 9、 （文）、 （文）A， （理）（理）D 10、D 1111、B 1212、 （文）、 （文）D， （理）（理）C 二、填空题 13、 （文）（文）1995，2000； （理）（理） （0,0） ，

18、（1,1） ； 1414、 （文）、 （文） 3 3 ， （理）， （理）1； 15、 （文）（文）甲种， （理）（理） 2ln 3 ； 16、 （文）（文） （2） ， （4） ， （理）（理） 2 7 ； 三、解答题 17、 （文）（文）设数列 n a的公比为q，依题意， () () () () .85 1 1 , 1, 2 ,255 1 1 , 1, 2 . 2, 31,) 1 (8 , 2, 31) 1 (8 8 ,64 ) 1(,.241 8 1 81 8 1 81 23 1 223 1 3 1 2 3 153 23 146 = = = = = = = = = q qa Saq q

19、qa Saq qqqa qqqa qa qaaa qqaaa 当 当 得式代入到将 舍去。式，得代入到将 （理）（理）().2sin2cos 2 2 4 sin2sin 4 cos2cos 4 2cos = + , 0 4 cos 4 7 4 3 + 且 , 4 7 44 3 + 5 4 4 cos1 4 sin 2 = += + 奎屯 王新敞 新疆 从而 25 24 4 cos 4 sin2 2 2sin2cos= + += += ， 25 7 4 cos21 2 2cos2sin 2 = += += 奎屯 王新敞 新疆 50 231 25 7 25 24 2 2 4 2cos= = + 奎

20、屯 王新敞 新疆 18、 （文）（文）由倍角公式, 1cos22cos,cossin22sin 2 =及原式得 0cos2cossin2cossin4 2222 =+，即 ()01sinsin2cos2 22 =+，也即 ()()01sin1sin2cos2 2 =+ 奎屯 王新敞 新疆 0cos, 01sin, 2 , 0 2 + ， 01sin2=，即 2 1 sin= 奎屯 王新敞 新疆 6 =， 3 3 tan= 奎屯 王新敞 新疆 （理）（理） （甲） （1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，以 1 AA所在直线 为Oz轴，以经过原点且与平面 11A ABB垂直的直线

21、为Ox轴，建立空间直角坐标系 奎屯 王新敞 新疆 由已知得)0 , 0 , 0(A，)0 , 0(aB，)2, 0 , 0( 1 aA，)2, 2 , 2 3 ( 1 a a aC 奎屯 王新敞 新疆 （2）坐标系如上，取 11B A的中点M，于是有)2, 2 , 0(a a M，连AM， 1 MC有 1 MC)0 , 0 , 2 3 (a=，且AB)0 , 0(a=， 1 AA)2, 0 , 0(a=， 由 1 MCAB0=， 1 MC 1 AA0=，所以， 1 MC面 11A ABB， 1 AC与AM所成的角就是 1 AC与侧面 11A ABB所成的角 奎屯 王新敞 新疆 1 AC)2,

22、2 , 2 3 (a a a=，AM)2, 2 , 0(a a =， 1 ACAM 22 2 4 9 2 4 0aa a =+=， | 1 AC 2 22 2 44 3 a aa +=a3=，| AMaa a 2 3 2 4 2 2 =+=， AMAC ,cos 1 2 3 2 3 3 4 9 2 = = aa a ， 所以， 1 AC与AM所成的角，即 1 AC与侧面 11A ABB所成的角为 30 奎屯 王新敞 新疆 （乙） （1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得 MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形 MN=PQ 由已知aBNCM=，1=BEAB

23、CB 2= BFAC 又 21 aCP =， 21 aBQ =，即 2 a BQCP= MN=PQ= 22 )1 (BQCP+= 22 ) 2 () 2 1 ( aa + = 2 1 ) 2 2 ( 2 +a)20( a （）由（） ，MN= 2 1 ) 2 2 ( 2 +a 所以，当 2 2 =a时，MN= 2 2 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 2 2 奎屯 王新敞 新疆 （）取MN的中点G，连结AG、BG， ANAM =，BNBM =，G为MN的中点 AGMN，BGMN，AGB 即为二面角的平面角 又AG=BG 4 6 =，所以，由余弦定理有 3 1 4 6

24、 4 6 2 1 4 6 4 6 cos 22 = + = 故所求二面角 = 3 1 arccos 奎屯 王新敞 新疆 19 （理） （1）至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率， 即 66 6 61 6 60 6 )5 . 0()5 . 0()5 . 0(1CCC 32 21 64 1561 1= + = 奎屯 王新敞 新疆 （2）至少 4 人同时上网的概率为 66 6 65 6 64 6 )5 . 0()5 . 0()5 . 0(CCC+3 . 0 32 11 =， 至少 5 人同时上网的概率为 66 6 5 6 )5 . 0)(CC +3 . 0 64 7 =

25、， 因此，至少 5 人同时上网的概率小于3 . 0 奎屯 王新敞 新疆 20 （理） （1）)(xf的导数 2 1 )( x xf=，由此得切线l的方程 )( 11 1 2 11 1 xx xx ax y= ， （2）依题得，切线方程中令0=y，得 1112 )1 (xaxxx+=)2( 11 axx=，其中 a x 2 0 1 ， （）由 a x 2 0 1 ，)2( 112 axxx=，有0 2 x，及 aa xax 1 ) 1 ( 2 12 +=， a x 1 0 2 ，当且仅当 a x 1 1 =时， a x 1 2 = 奎屯 王新敞 新疆 （）当 a x 1 1 时，1 1 ax，因

26、此， 1112 )2(xaxxx=，且由（） ， a x 1 2 ， 所以 a xx 1 21 奎屯 王新敞 新疆 21（文科） （1）)(xf的导数 2 3)(xxf=，由此得切线l的方程 )(3)( 1 2 1 3 1 xxxaxy=， （2）依题意，在切线方程中令0=y，得 2 1 3 1 2 1 3 1 12 3 2 3x ax x ax xx + = =， （）)32( 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 axax x ax+=0)2()( 3 1 3 1 1 2 3 1 1 2 1 +=axax x ， 3 1 2 ax ，当且仅当 3 1 1 ax =时取等成立

27、奎屯 王新敞 新疆 （）若 3 1 1 ax ，则0 3 1 ax，0 3 2 1 3 1 12 = x ax xx，且由（） 3 1 2 ax ， 所以 12 3 1 xxa 奎屯 王新敞 新疆 （理科） （1）记),(yxP，由)0 , 1(M，)0 , 1 (N得 MPPM=),1(yx =，NPPN=),1 (yx =，NMMN=)0 , 2(=， )1 (2xMNMP+=，1 22 +=yxPNPM，)1 (2xNPNM=， 因MNMP，PNPM ，NPNM 是公差小于零的等差数列， + +=+ 0)1 (2)1 (2 )1 (2)1 (2 2 1 1 22 xx xxyx 即3 2

28、2 =+ yx（0x） ， 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆 奎屯 王新敞 新疆 （2）点P的坐标为() 00, y x，则3 2 0 2 0 =+ yx， PNPM 21 2 0 2 0 =+=yx， |PNPM 2 0 2 0 2 0 2 0 )1 ()1 (yxyx+= )24)(24( 00 xx+= 2 0 242x=， | cos PNPM PNPM = 2 0 4 1 x =， 30 0 x，1cos 2 1 ， 3 0 ， 2 0 2 4 1 1cos1sin x =， cos sin tan=|3 4 1 4 1 1 0 2 0 2 0 2 0 yx x x

29、= = 奎屯 王新敞 新疆 22 （理科） （1）由题设得10 43 =aa，且 3 a、 4 a均为非负整数，所以 3 a的可能的值为 1， 2，5，10 奎屯 王新敞 新疆 若1 3 =a，则10 4 =a， 2 3 5 =a，与题设矛盾， 若5 3 =a，则2 4 =a， 2 35 5 =a，与题设矛盾， 若10 3 =a，则1 4 =a，60 5 =a， 5 3 6 =a，与题设矛盾， 所以2 3 =a 奎屯 王新敞 新疆 （2）用数学归纳法证明 奎屯 王新敞 新疆 （i）当3=n，2 13 += aa，等式成立 奎屯 王新敞 新疆 （ii）假设当kn =（3k）时等式成立，即2 2

30、+= kk aa， 由题设)2( )2( 211 += +kkkk aaaa， 02 2 += kk aa，2 11 += +kk aa， 也就是说，当1+= kn时，等式2 11 += +kk aa成立 奎屯 王新敞 新疆 根据（i）和（ii） ，对于所有3k，有2 11 += +kk aa 奎屯 王新敞 新疆 （3）由2 1)1(212 += kk aa，0 1 =a及2 )1(22 += kk aa，3 2 =a， 得) 1(2 12 = ka k ，12 2 += ka k ，, 3 , 2 , 1=k 奎屯 王新敞 新疆 即 n n na) 1(+=，, 3 , 2 , 1=n 奎屯 王新敞 新疆 所以 + + = 为奇数。，当 为偶数，当 nnn nnn Sn 1) 1( 2 1 ),1( 2 1