2001年普通高等学校春季招生考试数学试题含答案(北京、内蒙古、安徽卷).pdf

1、 20012001 年普通高等学校春季招生考试年普通高等学校春季招生考试( (北京、内蒙古、安徽卷北京、内蒙古、安徽卷) ) 数学(理工农医类) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷至 2 页.第卷 3 至 8 页.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第卷第卷( (选择题选择题 共共 6060 分分) ) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1) 集合 M=1，2，3

2、，4，5的子集个数是 ( ) (A) 32 (B) 31 (C) 16 (D) 15 (2) 函数 f (x ) = ax(a 0 且 a 1)对于任意的实数 x，y 都有 ( ) (A) f (xy) = f (x) f (y) (B) f (xy) = f (x) + f (y) (C) f (x + y) = f (x) f (y) (D) f (x + y) = f (x) + f (y) (3) = + + 1 22 2 lim n n n n n C C ( ) (A) 0 (B) 2 (C) 2 1 (D) 4 1 (4) 函数) 1(1=xxy的反函数是 ( ) (A) y =

3、 x21 (1x0) (B) y = x21 (0x1) (C) y = 1x2 (x0) (D) y = 1x2 (0x1) (5) 极坐标系中，圆sin3cos4+=的圆心的坐标是 ( ) (A) ），（ 5 3 arcsin 2 5 (B) ），（ 5 4 arcsin5 (C) ），（ 5 3 arcsin5 (D) ），（ 5 4 arcsin 2 5 (6) 设动点 P 在直线 x = 1 上，O 为坐标原点. 以 OP 为直角边、点 O 为直角顶点作等腰 RtOPQ，则动点 Q 的轨迹是 ( ) (A) 圆 (B) 两条平行直线 (C) 抛物线 (D) 双曲线 (7) 已知 f

4、(x6) = log2x，那么 f (8)等于 ( ) (A) 3 4 (B) 8 (C) 18 (D) 2 1 (8) 若 A、B 是锐角ABC 的两个内角，则点P(cosBsinA，sinBcosA)在 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (9) 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹 角)是 ( ) (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 90 (10) 若实数 a，b 满足 a + b = 2，则 3a + 3b的最小值是 ( ) (A) 18 (B) 6 (C) 32 (D) 4 32 (11)

5、右图是正方体的平面展开图.在这个正方体 中， BM 与 ED 平行 CN 与 BE 是异面直线 CN 与 BM 成 60角 DM 与 BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 ( ) (A) (B) (C) (D) (12) 根据市场调查结果， 预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万 件)近似地满足 )521( 90 2 =nn n Sn (n=1，2，12) 按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是 ( ) (A) 5 月、6 月 (B) 6 月、7 月 (C) 7 月、8 月 (D) 8 月、9 月 第第卷卷 二二. .填空题：本大题共填空题：本大

6、题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. . (13) 已知球内接正方体的表面积为 S，那么球体积等于_ 奎屯 王新敞 新疆 (14) 椭圆 x2 + 4y2 = 4 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰 直角三角形，该三角形的面积是_ 奎屯 王新敞 新疆 (15) 已知1sinsinsin 222 =+(、均为锐角)，那么 coscoscos的 最大值等于_ 奎屯 王新敞 新疆 (16) 已知 m、n 是直线，、是平面，给出下列命题： 若，= m，nm，则 n或 n； 若，= m，=

7、 n，则 mn； 若 m 不垂直于，则 m 不可能垂直于内的无数条直线； 若= m，nm；且n，n，则 n且 n. 其中正确的命题的序号是_ 奎屯 王新敞 新疆 (注：把你认为正确的命题的序号都填上) 三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . (17) (本小题满分 12 分) 设函数)0()( + + =ba bx ax xf， 求 f ( x )的单调区间， 并证明 f ( x )在其单调区间上的单 调性. (18) (本小题满分 12 分) 已知 z7=1(

8、zC 且 z1). ()证明 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 = 0； ()设 z 的辐角为，求 cos+cos2+cos4的值. (19) (本小题满分 12 分) 已知 VC 是ABC 所在平面的一条斜线，点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影，且在ABC 的高 CD 上.AB = a， VC 与 AB 之间的距离为 h，点 MVC. ()证明MDC 是二面角 MABC 的平面角； ()当MDC = CVN 时，证明 VC平面 AMB； ()若MDC =CVN =( 2 0 )，求四面体 MABC 的体积. (20)(本小题满分 12 分) 在 1 与 2

9、之间插入 n 个正数 a1，a2，a3，an，使这 n+2 个数成等比数列；又在 1 与 2 之间插入 n 个正数 b1，b2，b3，bn，使这 n+2 个数成等差数列.记 An = a1 a2 a3an，Bn = b1 + b2 + b3 + + bn. ()求数列An和Bn的通项； ()当 n7 时，比较 An和 Bn的大小，并证明你的结论. (21)(本小题满分 12 分) 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆， 年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每 辆车投入成本增加的比例为 x(0

10、0， （x1+b）(x2+b) 0， f (x1)f (x2) 0， 即 f (x)在（b，+）内是减函数. 9 分 同理可证 f (x)在（，b）内是减函数. 12 分 （18） 本小题主要考查复数的基本概念和基本运算， 考查综合运用复数的知识解决问题 的能力，满分 12 分. 解： （）由 z（1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6） = z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6+ z7 =1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6， 得 （z1） （1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6）= 0. 4 分 因为 z

11、1，z10， 所以 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6= 0. 6 分 （）因为 z7= 1.可知 | z | = 1， 所以 1= zz，而 z7= 1，所以 zz6 = 1， zz = 6 ，同理 52 zz =， 34 zz =， 65342 zzzzzz+=+ 由（）知 z + z2 + z4 + z3 + z5 + z6= 1， 即 1 4242 =+zzzzzz， 所以 42 zzz+的实部为 2 1 ， 8 分 而 z 的辐角为时，复数 42 zzz+的实部为 4cos2coscos+， 所以 2 1 4cos2coscos=+. 12分 （19）本小题

12、主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本 性质进行计算和证明的能力.满分 12 分. （）证明：由已知， CDAB，VN平面 ABC，NCD，AB平面 ABC， VNAB. AB平面 VNC. 2 分 又 V、M、N、D 都在 VNC 所在的平面内， 所以，DM 与 VN 必相交，且 ABDM，ABCD， MDC为 二 面 角M AB C的 平 面 角. 4 分 （）证明：由已知，MDC = CVN， 在VNC 与DMC 中， NCV = MCD， 又VNC = 90， DMC =VNC = 90， 故有 DMVC，又 ABVC， 6 分 VC平面AMB. 8分 （）解

13、：由（） 、 （） ， MDAB，MDVC，且 DAB，MVC， MD = h. 又 MDC =. 在 RtMDC 中， CM = htg. 10 分 V四面体MABC = V三棱锥CABM ABM SCM = 3 1 ahtgh 2 1 3 1 = tg 6 1 2 ah=. 12分 （20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的 数学思想方法.满分 12 分. 解： （） 1，a1，a2，a3，an，2 成等比数列， a1an = a2 an1 = a3 an2 = = ak ank+1 = = 12 = 2 ， nn nnnnnn aaaaaaaaaaA2

14、)21()()()()()( 12123121 2 = ， 2 2 n n A =. 4 分 1，b1，b2，b3，bn，2 成等差数列， b1 + b2 = 1 + 2 = 3， nn bb B n n 2 3 2 1 = + =. 所以，数列An的通项 2 2 n n A =，数列Bn的通项nBn 2 3 =. 6 分 （） 2 2 n n A =，nBn 2 3 =， n n A2 2 =， 22 4 9 nBn=， 要比较 An和 Bn的大小， 只需比较 2 n A与 2 n B的大小， 也即比较当 n 7 时， 2n与 2 4 9 n的 大小. 当 n = 7 时，2n = 128，

15、49 4 9 4 9 2 =n，得知 2 4 9 2n n ， 经验证 n = 8，n = 9 时，均有命题 2 4 9 2n n 成立. 猜想当 n 7 时有 2 4 9 2n n . 用数学归纳法证明. 9 分 （）当 n = 7 时，已验证 2 4 9 2n n ，命题成立. （）假设 n = k（k 7）时，命题成立，即 2 4 9 2k k ， 那么 21 4 9 22k k + ， 又当 k 7 时，有 k2 2k + 1， ) 12 4 9 2 21 + + kk k （ 2 1 4 9 ）（ +=k. 这就是说，当 n = k + 1 时，命题 2 4 9 2n n 成立. 根

16、据（） 、 （） ，可知命题对于 n 7 都成立. 故当 n 7 时，An Bn. 12 分 （21）本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识 解决实际问题的能力.满分 12 分. 解： （）由题意得 y = 1.2(1+0.75x)1(1 + x) 1000( 1+0.6x )（0 x 1） 4 分 整理得 y = 60x2 + 20x + 200（0 x 1）. 6 分 （）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 . 10 ,01000) 12 . 1 ( x y 即 + . 10 ,02060 2 x xx 9 分 解不等式得 3 1 0 x. 答：为

17、保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例 x 应满足 0 x 0.33. 12 分 （22） 本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系， 考查运用解析几何的方法解决 数学问题的能力.满分 14 分. 解： （）直线 l 的方程为 y = x a 将 y = x a 代入 y2 = 2px， 得 x22 (a + p) x + a2 = 0. 2 分 设直线 l 与抛物线两个不同的交点坐标为 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 则 = +=+ + 2 21 21 22 )(2 04)(4 axx paxx apa 4 分 又 y1 = x1a，y2 = x2a， 2 21

18、2 21 )()(yyxxAB+= 4)(2 21 2 21 xxxx+= . )2(8app+= 6分 0 0, papp2)2(80+. 解得 42 p a p . 8 分 （）设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q，令坐标为（x3，y3） ，则由中点坐标公式，得 pa xx x+= + = 2 21 3 ， p axaxyy y= + = + = 2 )()( 2 2121 3 . 10 分 | QM |2 = (a + pa)2+ ( p0 )2 = 2p2， 又MNQ 为等腰直角三角形， |QN |=|QM|=p2 QNABS NAB = 2 1 ABp 2 2 = pp 2 2 2 2 2p=， 即NAB 面积最大值为 2 2p. 14 分