2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试卷(附解答).pdf

1、 2001 年广东普通高等学校招生统一考试 数 学 试 题 20017 说明：本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分考试时间 120 分钟. 参考公式： 三角函数的积化和差公式 )sin()sin( 2 1 cossin+= )sin()sin( 2 1 sincos+= )cos()sin( 2 1 coscos+= )cos()cos( 2 1 sinsin+= 正棱台、圆台的侧面积公式 S台侧= 2 1 (c+c)l 其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 台体的体积公式 V台体=hSSSS)( 3 1 + 其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高

2、第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1不等式 3 1 x x 的解集为 A B C 或 D 2若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 3 6 3极坐标方程 所表示的曲线是 A两条相交直线B圆 C椭圆 D双曲线 4若定义在区间(，)内的函数（）（1)满足（）0， 则的取值范围是 A （， 2 1 ） （， 2 1 （ 2 1 ，） （，） 5已知复数i 62 +，则 Z 1 是 A 3 3 5 6 6 11 6函数 （）的反函数是 A 1 1 x ，（，）

3、1 1 x ，（，） 1 1 x ，（，） 1 1 x ，（， 7若 4 ，则 A 2 8在正三棱柱ABCA中，若2，则AB与所成的角的大小 为 A60 4 120 9设（） 、（）都是单调函数，有如下四个命题 若（）单调递增，（）单调递增，则（）（）单调递增； 若（）单调递增，（）单调递减，则（）（）单调递增； 若（）单调递减，（）单调递增，则（）（）单调递减； 若（）单调递减，（）单调递减，则（）（）单调递减 其中，正确的命题是 A 10对于抛物线 上任意一点 Q，点P(a,0)都满足，则a的 取值范围是 A （,） B （,） C , D （,） 11一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：

4、单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜 记三种盖法屋顶面积分别为、 若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则 APPP PP P P PP P 12如图，小圆圈表示网络的结点，结点之 间的连线表示它们有网线相联 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信 息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内 传递的最大信息量为 A 第卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组 成共有 种可能(用数字作答) 奎屯 王新

5、敞 新疆 14双曲线1 169 22 = yx 的两个焦点为、，点P在双曲线上，若， 则点P到轴的距离为 奎屯 王新敞 新疆 15设是公比为的等比数列，是它的前项和若是等差数列， 则 奎屯 王新敞 新疆 16圆周上有个等分点()，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 求函数（） 的最小正周期 18(本小题满分 12 分) 已知等差数列前三项为，前项的和为，k ()求及的值； ()求) 111 (lim 21n n SSS + 19(本小题满分 12 分)

6、 如图， 在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中， ，面ABCD， SAAB， 2 1 ()求四棱锥SABCD的体积； ()求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 20(本小题满分 12 分) 设计一幅宣传画，要求画面面积为840 cm ， 画 面 的宽与高的比为（)，画面的上、下各留空白，左、右各留 5空白怎 样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求 4 3 , 3 2 ，那么为 何值时，能使宣传画所用纸张面积最小? 21(本小题满分 14 分) 已知椭圆1 2 2 2 =+ y x 的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 交于A、B两点，点C在右准线l上

7、，且x轴求证直线AC经过线段EF的中点 22(本小题满分 14 分) 设（） 是定义在R上的偶函数， 其图象关于直线对称对任意， ， 2 1 ，都有（）（） （） ，且f(1)= ()求) 4 1 (), 2 1 (f； ()证明（）是周期函数； （）记（ n2 1 ） ，求)(lnlim n n a 参考答案 一、选择题 1C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题 13.4900 14. 5 16 15.1 16.2n(n-1) 三、解答题 17.解：=（） 分 2) 4 2sin(2+ x 8 分 所以最小正周期 10 分

8、 18.解：()设该等差数列为 ， 则a， 由已知有a+3a=2，解得首项a， 公差d=a 2 分 代入公式Sd kk 2 ) 1( 得25502 2 ) 1( 2= + kk k 解得k=50,k=-51(舍去) a=2,k=50. 6 分 ()由d nn anSn += 2 ) 1( 1 得S（） ， ) 1 1 - 1 () 3 1 - 2 1 () 2 1 - 1 1 ( ) 1( 1 32 1 21 1111 21 + += + + + =+ nn nnSSS n 1 1 1 + = n 9 分 1) 1 1 1 (lim) 111 (lim 21 = + =+ nSSS n n n

9、 12 分 19解：()直角梯形ABCD的面积是 M底面=ABADBC+)( 2 1 = 4 3 1 2 5 . 01 = + 2 分 四棱锥SABCD的体积是 4 1 4 3 1 3 1 3 1 = 底面 MSAV 4 分 ()延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6 分 ， ， 面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线. 又，面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影， CS， 所以是所求二面角的平面角 10 分 SBBCBCABSA=+, 1,2 22 2 2 = SB BC 即所求二面角的正切值为 2 2 12 分 20.解：设画面高为，宽为，则 1 分 设纸张面

10、积为S，则有 （） （） （）， 3 分 将 1022 代入上式得 ) 5 8(10 + 5 分 当) 1 8 5 ( 8 5 , 5 = 即时，S取得最小值， 此时，高：88 4840 = c， 宽：5588 8 5 = 8 分 如果 4 3 , 3 2 ，可设 4 3 3 2 21 ，则由S的表达式得 （）（）) 5 8 5 8(10 2 2 1 1 + =) 5 8)(1044 211 21 10 分 由于0 5 8, 8 5 3 2 21 21 故 因此（）（）， 所以S（）在区间 4 3 , 3 2 内单调递增. 从而，对于 4 3 , 3 2 ，当 3 2 时，S（）取得最小值 答

11、： 画面高为 88、 宽为时， 所用纸张面积最小； 如果要求 4 3 , 3 2 , 当 3 2 时，所用纸张面积最小. 12 分 21.证明：依设，得椭圆的半焦距，右焦点为F(1，0)，右准线方程为， 点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N( 2 3 ，0) 3 分 若AB垂直于x轴，则A（，） ，（，） ，（，） ， AC中点为N( 2 3 ，0)，即AC过EF中点N. 若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BCx轴知点B不在x轴上，故直线AB 的方程为（） ， 记A（，1）和（，） ，则C（，）且，满足二次方程 1) 1( 2 22 2 =+xk x 即（ ）（）， 2 2 21 2

12、 2 21 ) 1(2 , 21 4 k k xx k k + = + 分 又 ，得 2 3 ， 故直线AN，CN的斜率分别为 32 ) 1(2 2 3 1 1 1 1 = x xk x y ) 1(2 2 3 2 2 2 2 = =xk y k 32 )32)(1() 1( 1 121 x xxx （）（） （） （） 0)21 (4) 1(412 21 1 222 2 =+ + kkk k ，即，故A、C、N三点共线. 所以，直线AC经过线段EF的中点N. 14 分 22.()解：因为对， 2 1 ，都有（）（） （x）, 所以 2 2 ) 4 1 () 4 1 () 4 1 () 4 1

13、 4 1 () 2 1 ( ) 2 1 () 2 1 () 2 1 () 2 1 2 1 () 1 ( 1 , 0, 0) 2 () 2 () 22 ()( fffff fffff x x f x f xx fxf =+= =+= =+= （）0， 3 分 4 1 2 1 ) 4 1 (,) 2 1 (afaf= 6 分 ()证明：依题设（）关于直线对称， 故（）（） ， 即（）（） ，R 又由（）是偶函数知（）（） ，R， （）（） ，R， 将上式中以代换，得（）（） ， 这表明（）是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期. 10 分 （）解：由()知（）， 2 1 ) 1( 2 1 ) 2 1 () 2 1 ( n n n f n nff+= n n f n f n f n f n nf n f ) 2 1 () 2 1 () 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 1() 2 1 ( = = 2 1 ) 2 1 (af= n a n f 2 1 ) 2 1 (= 12 分 （）的一个周期是 2 （ n2 1 ）=（ n2 1 ）,因此an= n a 2 1 0)ln 2 1 (lim)(lnlim= a n a n n n 14 分