2001年普通高等学校春季招生考试数学试卷（北京、内蒙古、安徽卷）理(附解答)　.pdf

1、 绝密启用前 2001 年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页第卷 3 至 8 页共 150 分考试时间 120 分钟 第卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 三角函数的积化和差公式 )sin()sin( 2 1

2、 cossin+= lccS)( 2 1 += 台侧 )sin()sin( 2 1 sincos+= 其中 c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜 高或母线长 )cos()cos( 2 1 coscos+= 球体的体积公式 3 3 4 RV= 球 )cos()cos( 2 1 sinsin+= 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 （1）集体5 , 4 , 3 , 2 , 1=M的子集个数是 （A）32 （B）31 （C）16 （D）15 （2）函数) 10()(=aaaxf

3、x 且对于任意的实数yx,都有 （A）)()()(yfxfxyf= （B）)()()(yfxfxyf+= （C）)()()(yfxfyxf=+ （D）)()()(yfxfyxf+=+ （3）= + + 1 22 2 lim n n n n n C C （A）0 （B）2 （C） 2 1 （D） 4 1 （4）函数) 1(1=xxy的反函数是 （A）)01( 1 2 =xxy （B）) 10( 1 2 =xxy （C）)0(1 2 =xxy （D）) 10(1 2 =xxy （5）极坐标系中，圆+=sin3cos4的圆心的坐标是 （A）) 5 3 arcsin, 2 5 ( （B）) 5 4 a

4、rcsin, 5( （C）) 5 3 arcsin, 5( （D）) 5 4 arcsin, 2 5 ( （6）设动点 P 在直线1=x上，O 为坐标原点以 OP 为直角边、点 O 为直角顶点作等腰 OPQRt，则动点 Q 的轨迹是 （A）圆 （B）两条平行直线 （C）抛物线 （D）双曲线 （7）已知xxf 2 6 log)(=，那么)8(f等于 （A） 3 4 （B）8 （C）18 （D） 2 1 （8）若 A、B 是锐角ABC的两个内角，则点)cossin,sin(cosABABP在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个

5、圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角） 是 （A）30 （B）45 （C）60 （D）90 （10）若实数ba,满足2=+ba，则 ba 33 +的最小值是 （A）18 （B）6 （C）32 （D） 4 32 （11）右图是正方体的平面展开图在这个正方体 中， EDBM与平行 CN 与 BE 是异面直线 CN 与 BM 成60角 DM 与 BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 （A） （B） （C） （D） （12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量 n S（万 件）近似地满足 2 (215)(1,2,12) 90 n n Snnn= 按此预测，在本年

6、度内，需求量超过 1.5 万件的月份是 （A）5 月、6 月 （B）6 月、7 月 （C）7 月、8 月 （D）8 月、9 月 绝密启用前 2001 年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷） 数 学（理工农医类） 第卷（非选择题共 90 分） 注意事项： 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中 横线上 （17） （本小题满分 12 分） （18） （本小题满分 12 分） 1.第卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚 题 号 二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 分 数 得分 评卷人 （13）

7、已知球内接正方体的表面积为 S，那么球体积等于_ 奎屯 王新敞 新疆 （14）椭圆44 22 =+ yx长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰 直角三角形，该三角形的面积是_ 奎屯 王新敞 新疆 （15）已知=+( 1sinsinsin 222 、均为锐角） ，那么coscoscos的最大值等 于_ 奎屯 王新敞 新疆 （16）已知m、n是直线， 、是平面，给出下列命题： 若mnm=,，则nn或； 若，nm=,，则mn； 若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线； 若m=，nm，且nn,，则nn且 其中正确的命题的序号是_（注：把你认为正确的命题的序号都 填上） 奎

8、屯 王新敞 新疆 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 得分 评卷人 设函数)0()( + + =ba bx ax xf， 求)(xf的单调区间， 并证明)(xf在其单调区间上的单调 性 得分 评卷人 已知)1( 1 7 =zCzz且 （）证明01 65432 =+zzzzzz； （）设z的辐角为，求4cos2coscos+的值 （19） （本小题满分 12 分） （20） （本小题满分 12 分） （21） （本小题满分 12 分） 得分 评卷人 已知 VC 是ABC所在平面的一条斜线， 点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影， 且在ABC 的

9、高 CD 上ABVCaAB与,=之间的距离为VCMh点, （）证明MDC 是二面角 MABC 的平面角； （）当MDC=CVN 时，证明 VCAMB平面； （）若MDC=CVN=) 2 0( ，求四面体 MABC 的体积 得分 评卷人 在 1 与 2 之间插入n个正数 n aaaa, 321 ，使这2+n个数成等比数列；又在 1 与 2 之 间 插 入n个 正 数 n bbbb, 321 ， 使 这2+n个 数 成 等 差 数 列 记 nnnn bbbbBaaaaA+= 321321 , （）求数列 n A和 n B的通项； （）当7n时，比较 n A与 n B的大小，并证明你的结论 得分 评

10、卷人 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆， 年销售量为 1000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若 每辆车投入成本增加的比例为) 10( xx，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计 年销售量增加的比例为 0.6x已知年利润=（出厂价投入成本）年销售量 （）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； （）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围 （22） （本小题满分 14 分） 内？ 得分 评卷人 已知抛物线)0(2 2 =ppxy过动点 M（a，0）且斜率为

11、1 的直线l与该抛物线交 于不同的两点 A、B，pAB2| （）求a的取值范围； （）若线段 AB 的垂直平分线交x轴于点 N，求NABRt面积的最大值 绝密启用前 2001 年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷） 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分

12、数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B （7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 （13） 24 2SS （14） 25 16 （15）6 9 2 （16） 三、解答题 （17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力满分 12

13、分 解：函数 bx ax xf + + =)(的定义域为(,)(,)bb + )(xf在),(b内是减函数，)(xf在),(+b内也是减函数 4 分 证明)(xf在),(+b内是减函数 取),(, 21 +bxx，且 21 xx ，那么 bx ax bx ax xfxf + + + + = 2 2 1 1 21 )()( )( )(-( 21 12 bxbx xxba + = 6 分 0)( , 0, 0 2112 +bxbxxxba 0)()( 21 xfxf 即)(xf在),(+b内是减函数 9 分 同理可证)(xf在),(b内是减函数 12 分 （18） 本小题主要考查复数的基本概念和基

14、本运算， 考查综合运用复数的知识解决问题的能 力满分 12 分 解： （）由 )1 ( 65432 zzzzzzz+ 765432 zzzzzzz+= 65432 1zzzzzz+=， 得0)1)(1( 65432 =+zzzzzzz 4 分 因为 1z，01z， 所以 01 65432 =+zzzzzz 6 分 （）因为1|, 1 7 =zz可知， 所以 1=zz，而1 7 =z，所以1 6 =zz， zz = 6 ，同理 3452 ,zzzz=， 65342 zzzzzz+=+ 由（）知 1 65342 =+zzzzzz， 即 1 4242 =+zzzzzz， 所以 42 zzz+的实部为

15、 2 1 ， 8 分 而z的辐角为时，复数 42 zzz+的实部为 4cos2coscos+， 所以 2 1 4cos2coscos=+ 12 分 （19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质 进行计算和证明的能力满分 12 分 （）证明：由已知， ABCABCDNABCVNABCD平面平面,， ABVN VNCAB平面 2 分 又 V、M、N、D 都在 VNC 所在平面内， 所以，DM 与 VN 必相交，且CDABDMAB,， MDC 为二面角CABM的平面角 4 分 （）证明：由已知，MDC=CVN， 在DMCVNC与中， NCV=MCD， 又VNC=

16、90， DMC=VNC=90 故有VCABVCDM又,， 6 分 AMBVC平面 8 分 （）解：由（） 、 （） ， VCMABDVCMDABMD,且， hMD = 又=MDC 在MDCRt中， tghCM= 10 分 ABMCMABC VV = 三棱锥四面体 ahtgh SCM ABM 2 1 3 1 3 1 = = tgah2 6 1 = 12 分 （20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学 思想方法满分 12 分 解： （I）2 , 1 321n aaaa成等比数列， 221 123121 = + knknnn aaaaaaaa， nn nnnn

17、nn aaaaaaaaaaA2)21 ()()()( 12123121 2 = 2 2 n n A = 4 分 2 , 1 321n bbbb成等差数列，321 1 =+=+ n bb， nn bb B n n 2 3 2 1 = + = 所以，数列 n A的通项 2 2 n n A =，数列 n B的通项nBn 2 3 = 6 分 （II） 2 2 n n A =，nBn 2 3 =， 222 4 9 ,2nBA n n n =， 要比较 n A与 n B的大小，只需比较 2 n A与 2 n B的大小，也即比较当7n时， n 2与 2 4 9 n的 大小 当7=n时，1282 = n ，4

18、9 4 9 4 9 2 =n，得知 2 4 9 2n n ， 经验证9, 8=nn时，均有命题 2 4 9 2n n 成立 猜想当7n时有 2 4 9 2n n 用数学归纳法证明 9 分 （i）当7=n时，已验证 2 4 9 2n n ，命题成立 （ii）假设)7( =kkn时，命题成立，即 2 4 9 2k k ， 那么 21 4 9 22k k + 又当7k时，有12 2 + kk ) 12( 4 9 2 21 + + kk k 2 ) 1( 4 9 +=k 这就是说，当1+= kn时，命题 2 4 9 2n n 成立 根据（i） 、 （ii） ，可知命题对于7n都成立 故当7n时， nn

19、 BA 12 分 （21）本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决 实际问题的能力满分 12 分 解： （）由题意得 ) 10)(6 . 01 (1000)1 (1)75. 01 (2 . 1 +=xxxxy， 4 分 整理得 ) 10( 2002060 2 +=xxxy 6 分 （）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 . 10 , 01000) 12 . 1 ( x y 即 + . 10 , 02060 2 x xx 9 分 解不等式得 3 1 0 x 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 33. 00 x 12 分

20、 （22） 本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系， 考查运用解析几何的方法解决数学 问题的能力满分 14 分 解： （）直线l的方程为axy=， 将 pxyaxy2 2 =代入， 得 0)(2 22 =+axpax 2 分 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),( 11 yxA、),( 22 yxB， 则 = +=+ + . ),(2 , 04)(4 2 21 21 22 axx paxx apa 4 分 又axyaxy= 2211 ,， 2 21 2 21 )()(|yyxxAB+= 4)(2 21 2 21 xxxx+= )2(8app+= 6 分 0)2(8,2|0+apppAB， papp2)2(80+ 解得 42 p a p 8 分 （）设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q，令坐标为),( 33 yx，则由中点坐标公式，得 pa xx x+= + = 2 21 3 ， p axaxyy y= + = + = 2 )()( 2 2121 3 10 分 2222 2)0()(|ppapaQM=+= 又 MNQ为等腰直角三角形， 2|= QMQN， | 2 1 QNABS NAB = 12 分 2 2 2 2 2 | 2 2 p pp ABp = = 即NAB面积最大值为 2 2p 14 分