2000年全国普通高等学校招生统一考试(新课程）数学试题含答案.pdf

1、 2000 年全国普通高等学校招生统一考试年全国普通高等学校招生统一考试(新课程卷新课程卷) 数学(理工农医类) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 2 页.第卷 3 至 10 页共 150 分考试时间 120 分钟 第卷第卷(选择题共选择题共 60 分分) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1) 设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集()R RR Ryxyx,|,， 映射

2、BAf:把集合 A 中的元素()yx,映射成集合 B 中的元素()yxyx+ ,，则在映射f下，象()1 , 2的原象是 ( ) (A) ()1 , 3 (B) 2 1 , 2 3 (C) 2 1 , 2 3 (D) ()3 , 1 (2) 在复平面内，把复数i 33对应的向量按顺时针方向旋转 3 ，所得向量对应的复 数是 ( ) (A) 23 (B) i 32 (C) i 33 (D) 3i 3+ (3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的 长是 ( ) (A) 23 (B) 32 (C) 6 (D) 6 (4) 设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共

3、线，则 ()()0=baccba baba ()()bacacb不与c垂直 () () 22 492323bababa=+ 中，是真命题的有 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 函数xxycos=的部分图像是 ( ) (6)中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的 部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 超过 2000 元至 5000 元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的

4、当月工资、薪金所得介于 ( ) (A) 800900 元 (B) 9001200 元 (C) 12001500 元 (D) 15002800 元 (7) 若1ba，P=ba lglg ，Q=()balglg 2 1 +，R= + 2 lg ba ，则 ( ) (A) RPQ (B) PQ R (C) QPR (D) PRQ (8) 右 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 ( ) (A) 32 (B) 329 (C) 3 32 (D) 3 35 (9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A) 2 21+ (B) 4 41+ (C) 21+ (D) 2

5、 41+ (10) 过原点的直线与圆034 22 =+xyx相切，若切点在第三象限，则该直线的方程 是 ( ) (A) xy3= (B) xy3= (C) xy 3 3 = (D) xy 3 3 = (11) 过抛物线()0 2 =aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是p、q，则 qp 11 +等于 ( ) (A) a2 (B) a2 1 (C) a4 (D) a 4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋 转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹 角的余弦值为 ( ) (A) 3 2 1 (B)

6、a2 1 (C) 2 1 (D) 4 2 1 第卷第卷(非选择题共非选择题共 90 分分) 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. (13)某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中任意地连续取出 2 件， 其中次品数的概率分布是 0 1 2 p (14)椭圆1 49 22 =+ yx 的焦点为 1 F、 2 F，点 P 为其上的动点，当 21PF F为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是_. (15)设 n a是首项为 1 的正项数列， 且()01 1 22 1 =+ +nnn

7、n aanaan(n=1， 2， 3， )， 则它的通项公式是 n a=_. (16)如图，E、F 分别为正方体的面 11A ADD、面 11B BCC的中心， 则四边形EBFD1在该正方体的面上的射 影可能是_.(要求：把可能的图的序号都 填上) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题小题,共共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分) 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个.甲、乙二人依次各抽一题. (I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少

8、？ (II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 注意：考生在(18 甲)、(18 乙)两题中选一题作答，如果两题都答，只以(18 甲)计分. (18 甲)(本小题满分 12 分) 如图， 直三棱柱 ABC- 111 CBA， 底面ABC 中， CA=CB=1， BCA= 90，棱 1 AA=2，M、N 分别是 11B A、AA1的中点. (I)求BN的长； (II)求 1 cosBA， 1 CB的值； (III)求证MCBA 11 . (18 乙)(本小题满分 12 分) 如图，已知平行六面体 ABCD- 1111 DCBA的底面 ABCD 是菱形，且CBC1=CDC1=BCD=

9、60. (I)证明：CC1BD； (II)假定 CD=2，CC1= 2 3 ， 记面BDC1为， 面 CBD 为，求二面角 BD的平面角的余弦值； (III)当 1 CC CD 的值为多少时， 能使CA1平面BDC1？ 请给出证明. (19)(本小题满分 12 分) 设函数( )axxxf+=1 2 ，其中0a. (I)解不等式( )1xf； (II)求a的取值范围，使函数( )xf在区间)+, 0上是单调函数. (20)(本小题满分 12 分) 用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比 另一边长 0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容

10、积. (21)(本小题满分 14 分) (I)已知数列 n c，其中 nn n c32 +=，且数列 nn pcc +1 为等比数列，求常数p. (II)设 n a、 n b是公比不相等的两个等比数列， nnn bac+=，证明数列 n c不是等比 数列. (22)(本小题满分 14 分) 如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2=，点 E 满足 AE=EC，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点. 当 4 3 3 2 时，求双曲线离心率e的取值范围. 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. .每小题每小题 5 5

11、 分，满分分，满分 6060 分分. . （1）B （2）B （3）C （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A (10) C (11)C (12) D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. .每小题每小题 4 4 分，满分分，满分 1616 分分. . （13） 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 （14） 5 3 5 3 x （15） n 1 （16） 三、解答题三、解答题 （5） 本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分 10 分. 解： （I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有 1

12、6 C个，乙依次从判断题中抽到一题的可 能结果有 1 4 C个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有 1 6 C 1 4 C个；又甲、乙依 次抽一题的可能结果有 1 10 C 1 9 C个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为 15 4 1 9 1 10 1 4 1 6 = CC CC ，所求概率为 15 4 ； 5 分 （II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 1 9 1 10 1 3 1 4 CC CC ，故甲、乙二人中至少有一人抽到 选择题的概率为 15 13 1 1 9 1 10 1 3 1 4 = CC CC ，所求概率为 15 13 . 或+ 1 9 1 10 1

13、5 1 6 CC CC + 1 9 1 10 1 4 1 6 CC CC 1 9 1 10 1 6 1 4 CC CC 15 13 15 4 15 4 3 1 =+=，所求概率为 15 13 . 10 分 注意：考生在（18 甲） 、 （18 乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18 甲）计 分. （18 甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识.满分 12 分. 2000 年全国普通高等学校招生统一考试江西、天津卷2000 年全国普通高等学校招生统一考试江西、天津卷 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. （I）解：依题意得 B()0 , 1 , 0，N()1 , 0 ,

14、 1， ()()()3011001 222 =+=BN 2 分 （II）解：依题意得 1 A()2 , 0 , 1，B()0 , 1 , 0，C()0 , 0 , 0， 1 B()2 , 1 , 0. ()2 , 1 , 1 1 =BA，()2 , 1 , 0 1= CB. 1 BA3 1= CB，61=BA，5 1=CB. 5 分 cos 1 BA30 10 1 11 11 1 = = CBBA CBBA CB 9 分 （III）证明：依题意得 1 C()2 , 0 , 0，M 2 , 2 1 , 2 1 =BA1()2 , 1 , 1，=MC1 0 , 2 1 , 2 1 ， BA1=MC

15、100 2 1 2 1 =+， 1B AMC1 ， A1BC1M. 12 分 （18 乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力.满分 12 分. （I）证明：连结 11C A、AC，AC 和 BD 交于 O，连结OC1. 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BC=CD. 又 CCCCDCCBCC 1111 , =， DCCBCC 11 ， DCBC 11 =， DO=OB， OC1BD， 2 分 但 ACBD，ACOC1=O， BD平面 1 AC. 又 CC1平面 1 AC， CC1BD. 4 分 （II）解：由（I）知 ACBD，OC1BD， OCC1是二面角BD的平面

16、角. 在BCC1中，BC=2， 2 3 1 =CC， 60 1= BCC， 4 13 60cos 2 3 22 2 3 2 2 22 1 = += BC. 6 分 OCB= 30， OB= 2 1 BC=1. 4 9 1 4 13 22 1 2 1 =OBBCOC， 2 3 1 =OC即CCOC 11 =. 作HC1OC，垂足为 H. 点 H 是 OC 的中点，且 OH 2 3 =， 所以 3 3 cos 1 1 = OC OH OCC. 8 分 （III）当1 1 = CC CD 时，能使CA1平面BDC1. 证法一： 1 1 = CC CD ， BC=CD=CC1， 又 CDCCBCBCD

17、 11 =， 由此可推得 BD=DCBC 11 =. 三棱锥 C- BDC1是正三棱锥 10 分 设CA1与OC1相交于 G. 11C AAC，且 11C AOC=21， GC1GO=21. 又OC1是正三角形BDC1的 BD 边上的高和中线， 点 G 是正三角形BDC1的中心， CG平面BDC1. 即CA1平面BDC1 12 分 证法二： 由（I）知，BD平面 1 AC， CA1平面 1 AC，BDCA1. 10 分 当1 1 = CC CD 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同 BDCA1的证法可得 1 BCCA1. 又 BD 1 BC=B， CA1平面BDC1. 12 分 （19）

18、本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思 想方法和运算、推理能力.满分 12 分. 思路 1： （I）不等式( )1xf即 axx+11 2 ， 由此得ax+11，即0ax，其中常数0a. 所以，原不等式等价于 () + . 0 , 11 2 2 x axx 即 () + 021 0 2 axa x 3 分 所以，当10 a时，所给不等式的解集为 2 1 2 0| a a xx； 当1a时，所给不等式的解集为0|xx. 6 分 （II）在区间)+, 0上任取 1 x， 2 x，使得 1 x 2 x. ( )() 21 xfxf () 21 2 2 2 1 11xxa

19、xx+= () 21 2 2 2 1 2 2 2 1 11 xxa xx xx + = () + + =a xx xx xx 11 2 2 2 1 21 21 . 8 分 （i） 当1a时， 1 11 2 2 2 1 21 + + xx xx ， 0 11 2 2 2 1 21 + + a xx xx ， 又0 21 xx， ( )()0 21 xfxf， 即( )() 21 xfxf. 所以，当1a时，函数( )xf在区间)+, 0上是单调递减函数. 10 分 （ii）当10 a时，在区间)+, 0上存在两点0 1= x， 2 2 1 2 a a x =，满足 ( )1 1 =xf， ()1

20、 2 =xf，即( )= 1 xf() 2 xf，所以函数( )xf在区间)+, 0上不是单调函数. 综上，当且仅当1a时，函数( )xf为区间)+, 0上的单调函数. 12 分 思路 2：. 1 )( 2 a x x xf + = 4 分 (i)当1a时，有 .1 1 2 a x x + ， 此时0)( / xf.函数)(xf在区间（,+）上是单调递减函数. 但 f(0)=1,因此，当且仅当x0 时 f(x)1 8 分 (ii)当a1 时： 解不等式0)( / xf得 2 1a a x ，f(x)在区间 2 1 , a a 上是单调递减 函数； 同理， 解不等式0)( / xf得 2 1a

21、a x ， f(x)在区间 + ， 2 1a a 上是单调递 增函数. 解方程 f(x)=1 得 2 1 2 0 a a xx =或. 因为 2 2 1 2 1 0 a a a a ， 所以，当且仅当1)( 1 2 0 2 xf a a x时. 综上：()当 a1 时，1)(xf的解集为0xx； 当a1 时 1)(xf的解集为 2 1 2 0 a a xx. ()当且仅当 a1 时，f(x)在区间0,+上是单调函数. 12 分 （20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函 数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.满分 12 分. 解：设容器底面短边长为xm，则

22、另一边长为()5 . 0+x m，高为 () x xx 22 . 3 4 5 . 0448 .14 = + 由022 . 3 x和0x，得6 . 10 x， 设容器的容积为 3 ym，则有 ()()xxxy22 . 35 . 0+= ()6 . 10 x 整理，得 xxxy6 . 12 . 22 23 +=， 4 分 6 . 14 . 46 2 +=xxy 6 分 令0= y ，有 06 . 14 . 46 2 =+xx， 即041115 2 =xx， 解得1 1= x， 15 4 2 =x（不合题意，舍去）. 8 分 从而，在定义域（0，1.6）内只有在1=x处使0= y .由题意，若x过小

23、（接近 0）或过 大（接近 1.6）时，y值很小（接近 0） ，因此，当1=x时y取得最大值 8 . 16 . 12 . 22=+= 最大 y， 这时，高为2 . 1122 . 3=. 答：容器的高为 1.2m 时容积最大，最大容积为 3 8 . 1 m. 12 分 （21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力.满分 12 分. 解： （I）因为 nn pcc +1 是等比数列，故有 ()()() 112 2 + = nnnnnn pccpccpcc， 将 nn n c32 +=代入上式，得 () 2 11 3232 nnnn p+ + =()() 111122 323232

24、32 + + nnnnnnnn pp 分 即()() 2 3322 nn pp+ =()()()() 1111 33223322 + + nnnn pppp， 整理得()()03232 6 1 = nn pp， 解得p=2 或p=3. 分 （II）设 n a、 n b的公比分别为p、q，pg, nnn bac+=. 为证 n c不是等比数列只需证 31 2 2 ccc. 事实上，()pqbaqbpaqbpac 11 22 1 22 1 2 11 2 2 2+=+=， = 31 cc()()() 22 11 22 1 22 1 2 1 2 111 qpbaqbpaqbpaba+=+. 12 分

25、由于qp ，pqqp2 22 +，又 1 a、 1 b不为零， 因此， 31 2 2 ccc，故 n c不是等比数列. 14 分 （22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运 算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.满分 14 分. 解：如图，以 AB 的垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy，则 CD y轴.因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于y轴 对称. 2 分 依题意，记 A()0 , c，C h c , 2 ，E() 00 , y x，其中 | 2 1 ABc =为双曲线的半焦距，h是梯形的

26、高. 由ECAE=，即), 2 (), 0000 yhx c ycx=+（得 + = + = 11 (2 )2( 00 h y c x， ） 分 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 = b y a x ，则离心率 a c e =. 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 a c e =代入双曲线的方程得 = + + = . 1 11 2 4 1 4 2 2 22 2 2 22 b he b he ， 7 分 由式得1 4 2 2 2 = e b h ， 将式代入式，整理得 ()2144 4 2 += e ， 故 2 3 1 2 + = e . 10 分 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 + e . 解得 107 e. 所以，双曲线的离心率的取值范围为10 , 7. 14 分