1998年普通高等学校招生全国统一考数学试题含答案（文）.pdf

1、 1998 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类) 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 15 小题；第小题；第(1)(10)题每小题题每小题 4 分，第分，第(11)第第(15)题每小题题每小题 5 分，分， 65 分分在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1) sin600 ( ) (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 2 3 (D) 2 3 (2) 函数 y=a|x|(a1)的图像是 ( ) (3) 已知直线 x=a(a0)和圆(x1)2y2=4 相切，那么 a 的值是 ( )

2、(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线 A1xB1yC1=0，A2xB2yC2=0 垂直的充要条件是 ( ) (A) A1A2B1B2=0 (B) A1A2B1B2=0 (C) 1 21 21 = BB AA (D) 1 21 21 = AA BB (5) 函数 f(x)= x 1 ( x0)的反函数 f 1(x)= ( ) (A) x(x0) (B) x 1 (x0) (C) x(x0) (D) x 1 (x0) (6) 已知点 P(sincos，tg)在第一象限，则 0，2内的取值范围是 ( ) (A) ( 4 3 2 ，)( 4 5 ，) (B) ( 24 ，)

3、( 4 5 ，) (C) ( 4 3 2 ，)( 2 3 2 5 ，) (D) ( 24 ，)( ， 4 3 ) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 ( ) (A) 120 (B) 150 (C) 180 (D) 240 (8) 复数i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是 ( ) (A) 2 1 2 3 i (B) 2 1 2 3 i (C) 2 1 2 3 +i (D) 2 1 2 3 i (9) 如果棱台的两底面积是 S，S，中截面的面积是 S0，那么 ( ) (A) 2SSS+= 0 (B) S0=S S (C) 2S0=SS (D)

4、 SSS= 2 2 0 (10) 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护 士不同的分配方法共 ( ) (A) 6 种 (B) 12 种 (C) 18 种 (D) 24 种 (11) 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如 右图所示，那么水瓶的形状是 ( ) (12) 椭圆 312 22 yx +=1 的焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上， 那么点 M 的纵坐标是 ( ) (A) 4 3 (B) 2 3 (C) 2 2 (D) 4 3 (13) 球面上有 3 个点，

5、其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为 6 1 ，经过这 3 个点 的小圆的周长为 4，那么这个球的半径为 ( ) (A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3 (14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 ( ) (A) 2 51 (B) 2 252 (C) 2 15 (D) 2 252+ (15) 等比数列an的公比为 2 1 ，前 n 项的和 Sn满足 n limSn= 1 1 a ，那么 1 1 a 的值为 ( ) (A)3 (B)2 3 (C) 2 (D) 2 6 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16

6、 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 (16) 设圆过双曲线1 169 22 = yx 的一个顶点和一个焦点， 圆心在双曲线上， 则圆心到双 曲线中心距离是_ 奎屯 王新敞 新疆 (17) (x2)10(x21)的展开的 x10系数为_（用数字作答） 奎屯 王新敞 新疆 (18) 如图，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件 _时，有 A1CB1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可 能的情形 奎屯 王新敞 新疆) (19) 关于函数 f (x)=4sin(2x 3 )(xR)，有下列命题 y=f (x)的表达式可改写为 y=4

7、cos(2x 6 )； y=f (x)是以 2为最小正周期的周期函数； y=f (x)的图像关于点 0 6 ， 对称； y=f (x)的图像关于直线 x= 6 对称 其中正确的命题的序号是_ 奎屯 王新敞 新疆 (注：把你认为正确的命题的序号都 填上) 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题；共小题；共 69 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (20) (本小题满分 10 分) 设 ab，解关于 x 的不等式 a2xb2(1x)axb(1x)2 (21) (本小题满分 11 分) 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，设

8、 ac=2b，AC= 3 ，求 sinB 的 值以下公式供解题时参考： 2 cos 2 sin2sinsin + =+， 2 sin 2 cos2sinsin + =， 2 cos 2 cos2coscos + =+， 2 sin 2 sin2coscos + = (22) (本小题满分 12 分) 如图， 直线 l1和 l2相交于点 M， l1 l2， 点 Nl1 以 A、 B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2的距离与到点 N 的距 离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且 |BN|=6建立适当的坐标系，求曲线 C 的方程 (23) (本小题满分 12 分) 已知

9、斜三棱柱 ABCA1 B1 C1的侧面 A1 ACC1与底面 ABC 垂直， ABC=90， BC=2， AC=23， 且 AA1 A1C， AA1= A1 C1 ()求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小； ()求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小； ()求侧棱 B1B 和侧面 A1 ACC1的距离 (24) (本小题满分 12 分) 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔 流出设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米已知流出的水中 该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比现有制箱材料 6

10、0 平方米问当 a，b 各为多少 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不计) (25) (本小题满分 12 分) 已知数列bn是等差数列，b1=1，b1b2b10=100 ()求数列bn的能项 bn； ()设数列an的通项 an =lg(1 n b 1 )，记 Sn是数列an的前 n 项的和试比较 Sn与 2 1 lgbn+1的大小，并证明你的结论 1998 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题数学试题(文史类文史类)参考解答及评分标准参考解答及评分标准 一选择题：本题考查基本知识和基本运算第一选择题：本题考查基本知识和基本运算第

11、(1)(10)题每小题题每小题 4 分，第分，第(11)(15)题每题每 小题小题 5 分满分分满分 65 分分 (1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分分，满分 16 分分 (16) 3 16 (17) 5120 (18) ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件例如 ABCD 是正方形，菱形等 (19)，注：第(19)题多填、漏填的错填均给

12、0 分 三解答题：三解答题： （20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法满分 10 分 解：将原不等式化为 (a2b2)x+b2(ab)2x22(ab)bxb2， 移项，整理后得 (ab)2(x2x) 0， ab 即 (ab)20， x2x0， 即 x(x1) 0 解此不等式，得解集 x|0x1 (21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用 三角公式进行恒等变形的技能及运算能力满分 11 分 解：由正弦定理和已知条件 ac=2b 得 sinAsinC=2sinB 由和差化积公式得B CACA sin2 2 cos 2 sin2= + 由 ABC=，得

13、 2 )sin(CA+ = 2 cosB ， 又 AC= 3 ，得 2 3 cos 2 B =sinB， 2 3 cos 2 B =2sin 2 B cos 2 B 0 2 B 2 ， 2 cosB 0， sin 2 B = 4 3 ， 从而 cos 2 B = 2 sin1 2B = 4 13 sinB= 2 3 4 13 = 8 39 (22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系， 求曲线方程的解析几何的基本思想 考查抛物线的概念和性 质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力满分 12 分 解法一：如图建立坐标系，以 l1为 x 轴，MN 的垂直平 分线为 y 轴，点 O 为坐标

14、原点 依题意知：曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2为准线的抛线段的一段，其中 A、B 分别 为 C 的端点 设曲线段 C 的方程为 y2=2px (p0)，(xAxxB，y0)，其中 xA，xB分别为 A，B 的横坐标，P=|MN| 所以 M ( 2 P ，0)，N ( 2 P ，0) 由 |AM|=17，|AN|=3 得 (xA 2 P )22PxA=17， (xA 2 P )22PxA=9 由、两式联立解得 xA= P 4 ，再将其代入式并由 p0 解得 = = 1 4 A x p 或 = = 2 2 A x p 因为AMN 是锐角三角形，所以 2 P xA，故舍去 = = 2 2

15、A x p P=4，xA=1 由点 B 在曲线段 C 上，得 xB=|BN| 2 P =4 综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x (1x4，y0) 解法二：如图建立坐标系，分别以 l1、l2为 x、y 轴，M 为坐标原点 作 AEl1，ADl2，BFl2，垂足分别为 E、D、 F 设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0) 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3， yA=|DM|= 22 DAAM=22，由于AMN 为锐角三角形，故有 xN=|AE|+|EN|=4 =|ME|+ 22 AEAN=4 XB=|BF|=|BN|=6 设点 P (x，y)是曲线段 C 上

16、任一点，则由题意知 P 属于集合 (x，y)|(xxN)2+y2=x2，xAxxB，y0 故曲线段 C 的方程 y2=8(x2)(3x6，y0) (23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平 面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间 的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能 力及运算能力满分 12 分 注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分 解：()作 A1DAC，垂足为 D，由面 A1ACC1面 ABC，得 A1D面 ABC， A1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角 AA1A1C，AA1=A1C， A1AD=45为所求 ()作 DEAB，垂足为 E，连 A1E，则由 A1D

17、面 ABC，得 A1EAB A1ED 是面 A1ABB1与面 ABC 所成二面角的平面角 由已知，ABBC，得 EDBC又 D 是 AC 的中点，BC=2，AC=23， DE=1，AD=A1D=3，tgA1ED= DE DA1 =3 故A1ED=60为所求 () 作 BFAC，F 为垂足，由面 A1ACC1面 ABC，知 BF面 A1ACC1 B1B面 A1ACC1， BF 的长是 B1B 和面 A1ACC1的距离 在 RtABC 中，22 22 =BCACAB， 3 62 = = AC BCAB BF为所求 (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查 建

18、立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识满分 12 分 解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y= ab k ，其中 k0 为比例系数，依题 意，即所求的 a，b 值使 y 值最小 根据题设，有 4b2ab2a=60(a0，b0)， 得 a a b + = 2 30 (0a30， 于是 a aa k ab k y + = 2 30 2 2 64 32 + + = a a k + + = 2 64 234 a a k () 2 64 2234 + + a a k 18 k = 当 a2= 2 64 +a 时取等号，y 达最小值 这时 a=6，a=10(舍去) 将 a=6 代入式

19、得 b=3 故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 解法二：依题意，即所求的 a，b 的值使 ab 最大 由题设知 4a2ab2a=60 (a0，b0) 即 a2bab=30 (a0，b0) a2b2ab， 22abab30， 当且仅当 a=2b 时，上式取等号 由 a0，b0，解得 0ab18 即当 a=2b 时，ab 取得最大值，其最大值 18 2b2=18解得 b=3，a=6 故当 a 为 6 米，b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳， 推理能力以

20、及用数学归纳法进行论证的能力满分 12 分 解：()设数列工bn的公差为 d，由题意得 b1=1， 10b1 d2 ) 110(10 =100 解得 b1=1， d=2 bn=2n1 ()由 bn=2n1，知 Sn=lg(11)lg(1 3 1 )lg(1 12 1 n ) =lg(11)(1 3 1 ) (1 12 1 n )， 2 1 lgbn1=lg12 +n 因此要比较 Sn与 2 1 lgbn1的大小，可先比较(11)(1 3 1 ) (1 12 1 n )与12 +n 的大小 取 n=1 有(11)112+， 取 n=2 有(11)(1 3 1 )112+ 由此推测(11)(1 3

21、 1 ) (1 12 1 n )12 +n 若式成立，则由对数函数性质可判定： Sn 2 1 lgbn1 下面用数学归纳法证明式 (i)当 n=1 时已验证式成立 (ii)假设当 n=k (k1)时，式成立，即 (11)(1 3 1 ) (1 12 1 k )12 +k， 那么，当 n=k1 时， (11)(1 3 1 ) (1 12 1 k )(1 1) 1(2 1 +k ) 12 +k(1 12 1 +k ) = 12 12 + + k k (2k2) 12 12 + + k k (2k2)232 +k2 = 12 38484 22 + + k kkkk = 12 1 +k 0， 12 12 + + k k (2k2) 32 +k=()112+k 因而 (11)(1 3 1 ) (1 12 1 k )(1 12 1 +k )1) 1(2+k 这就是说式当 n=k1 时也成立 由(i)， （ii）知式对任何正整数 n 都成立 由此证得：Sn 2 1 lgbn1