1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）.pdf

1、 1997 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分考试时间 120 分钟 第卷第卷（选择题共（选择题共 65 分）分） 一一选择题选择题:本大题共本大题共 15 小题；第小题；第(1)(10)题每小题题每小题 4 分分,第第(11)(15)题每小题题每小题 5 分分,共共 65 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1设集合 M=x0x0,给出下列不等式： f(b)f(a)g(a)g(b)； f(b)f(a

2、)g(b)g(a)； f(a)f(b) q,且1p， 1q设 nnn bac+=,Sn为数列 n c的前 n 项和求 1 lim n n n S S 22 （本小题满分 12 分） 甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时已 知汽车每小时的运输成本 （以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比、比例系数为 b；固定部分为 a 元 I把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域； II为了使全程运输成本 最小，汽车应以多大速度行驶？ 23 （本小题满分 12 分） 如图，在正方体

3、ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点 I证明 ADD1F； II求 AE 与 D1F 所成的角； III证明面 AED面 A1FD1； IV设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1的体积 11ED AF V 24(本小题满分 12 分) 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0),方程 f(x)x=0 的两个根 x1,x2满足 00， 所以)()(bc c a Sbv v a S+，且仅当 v=c 时等号成立， 也即当 v=c 时，全程运输成本 y 最小 综上知，为使全程运输成本 y 最小，当c b ab 时行驶速度应为 b ab v =；当 c b ab 时

4、行驶速度应为 v=c (23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推 理能力和空间想象能力，满分 12 分 解:()AC1是正方体， AD面 DC1 又 D1F面 DC1， ADD1F ()取 AB 中点 G，连结 A1G，FG因为 F 是 CD 的中点，所以 GF、AD 平行且相等， 又 A1D1、AD 平行且相等，所以 GF、A1D1平行且相等，故 GFD1A1是平行四边形，A1G D1F 设 A1G 与 AE 相交于点 H，则AHA1是 AE 与 D1F 所成的角，因为 E 是 BB1的中点， 所以 RtA1AGRtABE，GA1A=GAH，从而AHA1=

5、90，即直线 AE 与 D1F 所成 角为直角 ()由()知 ADD1F，由()知 AED1F，又 ADAE=A，所以 D1F面 AED又 因为 D1F面 A1FD1，所以面 AED面 A1FD1 ()连结 GE，GD1 FGA1D1，FG面 A1ED1， GEADEDAGEDAF VVV 111111 = AA1=2， SS GEA = 1 正方形ABB1A1 2 3 2 1 = GBEAGA SS 1 2 3 2 3 1 3 1 11111 11 = GEAGEADEDAF SDAVV (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数 学知识分析问题和解决问题

6、的能力满分 12 分 证明:()令 F(x)=f(x)x因为 x1，x2是方程 f(x)x=0 的根，所以 F(x)=a(xx1)(xx2) 当 x(0，x1)时，由于 x10，又 a0，得 F(x)=a(xx1)(xx2)0， 即 x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20 得 x1f(x)0 由此得 f(x)x1 ()依题意知 a b x 2 0 = 因为 x1，x2是方程 f(x)x=0 的根，即 x1，x2是方程 ax2+(b1)x+c=0 的根 a b xx 1 21 =+， a axax a xxa a b x 2 1 2 1)( 2 2121 0 + = + = 因为 ax

7、21，所以 22 11 0 x a ax x= (25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程 的能力满分 12 分 解法一:设圆的圆心为 P(a，b)，半径为 r，则点 P 到 x 轴，y 轴的距离分别为b， a 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90， 知圆 P 截 X 轴所得的弦长为r2， 故 r2=2b2， 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2，所以有 r2=a2+1 从而得 2b2a2=1 又点 P(a，b)到直线 x2y=0 的距离为 5 2ba d =， 所以 5d2=a2b2 =a2+4b24ab a2+4b22(a2+b2) =2

8、b2a2=1， 当且仅当 a=b 时上式等号成立，此时 5d2=1，从而 d 取得最小值 由此有 = = 12 , 22 ab ba 解此方程组得 = = ; 1 , 1 b a 或 = = . 1 , 1 b a 由于 r2=2b2知2=r 于是，所求圆的方程是 (x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2 解法二:同解法一，得 5 2ba d = dba52= 得 222 5544dbdba+= 将 a2=2b21 代入式，整理得 015542 22 =+ddbb 把它看作 b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即 =8(5d21)0， 得 5d21 5d2有最小值 1，从而 d 有最小值 5 5 将其代入式得 2b24b+2=0解得 b=1 将 b=1 代入 r2=2b2，得 r2=2由 r2=a2+1 得 a=1 综上 a=1，b=1，r2=2 由ba2=1 知 a，b 同号 于是，所求圆的方程是 (x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2