亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理课件.ppt

1、矢量分析（2）教师姓名：宗福建单位：山东大学微电子学院2018年3月13日数量场的等值线：比如地形图上的等高线，气象图上的等温线、等压线等。方向导数的定义 设M0为数量场 u=u(M)中的一点，从M0出发引一条射线L，在L上点M0的临近取一动点M，记M0M的长度为，若当MM0时，的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿L方向的方向导数。00()()u Mu MuM M方向导数的定义 方向导数是函数u(M)在一个点处沿某一方向对距离的变化率。在直角坐标系中，u=u(x,y,z),Cos,Cos,Cos为L方向上的方向余弦，则coscoscoscoscoscoslijkuuuulxyz方向导数

2、的定义coscoscoscoscoscos()lijkuuuulxyzuuuijk lxyz 定义梯度uuuGijkxyzuG ll 梯度在给定点处为一固定矢量。梯度在某一方向上的投影等于函数在该方向上的方向导数。梯度的方向就是函数方向导数最大的方向，其模也等于该最大变化率的数值。引入哈米顿(Hamilton)算子()ijkxyzgrad uu 2(1)0,()(2)(),()(3)()(4)()(5)()(6)()()cccuc u cuvuvuvu vv uuv uu vvvf ufuu 为常量为常量通量的定义：设有矢量场A(M)，沿某一有向曲面S的曲面积分 叫做矢量场A(M)正向穿过曲面

3、S的通量。()nssxyzsA dsA dSA dydzA dxdzA dxdy 散度的定义：(P18-19)0limsVyxzA dSdivAVAAAAxyz ()()()()()sVdivAAABABuAuAu Ad AA uuduA dSA dV 130lim()sVssA dSAVA dSA dVVA dSV 141.5矢量的环量、旋度矢量的环量、旋度矢量a沿闭合曲线C的线积分称为a的环路积分环路积分（环流量）：Cl da闭合曲线C，及其包围的面元S，n 为S 的右旋单位法向矢量。S 趋于0，环积分也趋于0，其比的极限为矢量矢量a 的的旋度旋度在n 上的投影。nCSnSl daarot

4、n0lim)(矢量场矢量场 的旋度也是矢量场。的旋度也是矢量场。如果场内如果场内rota=0 总是成立，则该矢量场无旋。总是成立，则该矢量场无旋。空间中一点环流状态15因此旋度在z轴投影（分量）：yaxaSl daarotxyzCSzz0lim)(zS指面元法向沿z轴同理可得x,y轴分量旋度表达式：旋度表达式：zxyyzxxyzeyaxaexazaezayaarot)()()(1.5矢量的环量、旋度矢量的环量、旋度(P22-23)16用哈密顿算符表示：zxyyzxxyzzzyyxxzyxeyaxaexazaezayaeaeaeaezeyexaarot)()()()()(用行列式表示：zyxzy

5、xaaazyxeeea1.5矢量的环量、旋度矢量的环量、旋度()lSrotAAA dlA dS 180lim()sSlA dlAsA dlA dSsA dls ()()()()()()0()0cAcAABABuAuAuAA BBAABd AA uuduuA ()yxzxyzijkxyzgraduuijkuxyzAAAdivAAxyzijkrotAAxyzAAA uAA 是一个矢量性微分算子，因此它在计算时具有矢量性和微分性双重性质作用在一个数性或矢性函数上时，其方式仅有三种：，222222xyzxyzAAAAxyz 定义：拉普拉斯算子为了使用方便，引入(1)(),()(2)(),()(3)()

6、(4)()(5)()(6)()cuc u cucAcA AcAcAuvuvABABABAB 为常量，为数性函数为矢性函数(7)(),()(8)(),()(9)()(10)(),()(11)()(12)()()()()()ucu c cuucuc cuuvu vv uuAuAu A AuAuAuAA BABABBAB 为常矢量，为数性函数为常矢量，为数性函数为矢性函数A 2(13)()()()(14)()()()()()(15)()(16)()0(17)()0(18)()()A BBAABA BBAABBAABuuuuAAAA ,(19)(20)3(21)0(22)()()(23)()()rxi

7、y jzk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，则有：3,(24)()0(25)()0(26)(),()(27)(),()sVlSrxiy jzk rrf r rrrA dSA dVA dlA dS 若，则有：奥氏公式斯托克斯公式222222111()11()1()()11()rzzrzrzrrzeeerrzrrrrrzfffrfrrrzfffffeerzzrfrferrr 坐标：（r,z）222222222211sin111()(sin)sinsin111()(sin)sinsin11(sin)sinsinrrrreeerrrrrrrrrffr ffrrrrffffer 坐标：（r

8、,）()1()rrferfrferr 30拉普拉斯运算拉普拉斯运算 和格林定理和格林定理2符号：拉普拉斯算符拉普拉斯算符标量场标量场u 的拉普拉斯运算的拉普拉斯运算：uu2)(直角坐标系中直角坐标系中：2222222zuyuxuu311.8 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 和格林定理和格林定理球坐标中拉普拉斯运算：22222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru柱坐标中拉普拉斯运算：2222221)(1zuuuu321.8 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 和格林定理和格林定理矢量场矢量场E的拉普拉斯运算的拉普拉斯运算：)()(2EEE在直角坐标系中：在直角坐标系中：xxxxxEzEyE

9、xEE22222222)(yyyyyEzEyExEE22222222)(zzzzzEzEyExEE22222222)(读证明P28331.8 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 和格林定理和格林定理格林第一恒等式：dSndVSV)(2格林第二恒等式：dSnndVSV)()(22两个标量场的关系。n：S的外法向由高斯定理得到P28341.6 无旋场与无散场无旋场与无散场 矢量场的散度和旋度分别反映了产生矢量场的两种不同性质矢量场的散度和旋度分别反映了产生矢量场的两种不同性质的源，而不同性质的源产生的矢量场具有不同的性质。的源，而不同性质的源产生的矢量场具有不同的性质。1.6.1 无旋场无旋场 如果矢量场如

10、果矢量场F的旋度处处为零，即矢量场的旋度处处为零，即矢量场F满足满足 ，则，则称该矢量场为称该矢量场为无旋场无旋场，这个场由散度源产生。，这个场由散度源产生。0F 重要的矢量公式重要的矢量公式 0u 标量场梯度的标量场梯度的旋度恒为零旋度恒为零 标量场的梯度为无旋场标量场的梯度为无旋场 无旋场总可以表示成一个标量场无旋场总可以表示成一个标量场u的梯度，而这个标量的梯度，而这个标量u称为称为无旋场的标量位无旋场的标量位 无旋场沿任意闭合回路的积分为零，其线积分与积分路径无无旋场沿任意闭合回路的积分为零，其线积分与积分路径无关，只与积分的起止点有关关，只与积分的起止点有关351.6.2 无散场无散

11、场 无散场也称为无源场。无散场也称为无源场。如果矢量场如果矢量场F的散度处处为零，即矢量场的散度处处为零，即矢量场F满足满足 ，则，则称该矢量场为称该矢量场为无散场无散场(无源场无源场)，这个场由旋涡源产生。，这个场由旋涡源产生。0F 重要的矢量公式重要的矢量公式 0 F 矢量场旋度的矢量场旋度的散度恒为零散度恒为零 矢量场的旋度为无散场矢量场的旋度为无散场 无散场总可以表示成某个矢量场无散场总可以表示成某个矢量场A的旋度，而这个矢量的旋度，而这个矢量A称称为无散场的矢量位为无散场的矢量位 无散场通过任意闭合面的通量为零无散场通过任意闭合面的通量为零36解：解：椭球族为一组同心椭球，可将其中的

12、各个椭球表面看作为椭球族为一组同心椭球，可将其中的各个椭球表面看作为等值面，所以其表面的法向与方程等值面，所以其表面的法向与方程u的梯度同向。的梯度同向。例例 方程方程 给出一个椭球族。求椭球给出一个椭球族。求椭球表面上任意点的法向单位矢量。表面上任意点的法向单位矢量。222222xyzuabc222222222222xyzxyzxyzxyzueeeeeexaybzcabc2222222222xyzuabc222222222222xyznxyzeeeuabceuxyzabc 37解：解：r r 对球表面的面积分为对球表面的面积分为例例 计算矢量计算矢量r r 对一个球心在原点、半径为对一个球心

13、在原点、半径为a的球表面的球表面的积分，并求的积分，并求 对球体积的积分。对球体积的积分。r 22300sin4rSSddSdaada rSr e 221 3r rrr r 在球坐标系中，得在球坐标系中，得2230003sin4aVdVrdrd da r SVddVrSr 显然有显然有1.7 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 一、亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界边界条件条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。亥姆霍兹定理的内容。

14、二、矢量场的分类二、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值根据矢量场的散度和旋度值是否为零是否为零进行分类：进行分类：调和场调和场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：和和 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为调和场。为调和场。0F0F()F r()F r注意：注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。39 有源无旋场有源无旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某 些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V 内，场内，场 为有

15、源无旋场。为有源无旋场。0F0F()F r()F r()0cF rdl 结论：结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源。有源无旋场也称无旋场也称保守场保守场。无源有旋场无源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某 些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V 内，场内，场 为无源有旋场也称为无源有旋场也称管形场管形场。()F r0F0FJ()F r讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理说明：式中说明：式中 为矢量场漩涡源密度。为矢量

16、场漩涡源密度。J40 有源有旋场有源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，在某些位置或整个空间内，内，在某些位置或整个空间内，有有 和和 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，内，场场 为有源有旋场。为有源有旋场。()F r0F0FJ()F r有源有旋场可分解一个有源有旋场可分解一个有源无旋场有源无旋场和和无源有旋场无源有旋场的叠加，即：的叠加，即：()()()isF rF rF r()()0iiF rF r()0()ssF rF rJ()()iF rF r ()()sF rF rJ)()()(rArrF可表示为可表示为411.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定

17、理：当矢量场的散度和旋度在空间的分布和边界条件确定后，矢量场就唯一确定了。且可表示为：)()()(rArurF其中：)(41)(41)(dSrrrFedVrrrFruSnV)(41)(41)(dSrrrFedVrrrFrASnV无旋无散42亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线研究电磁场的一条主线。已知已知矢量矢量F F的通量源密度的通量源密度 矢量矢量F F的旋度源密度的旋度源密度 场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J J 场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量A A唯一地确定）唯一地确定）,xxxyxz

18、xyxyyyzyxyzzxzyzzzABABABA BA BA BAABA BA BA BABBBA BA BA BAABBA 并矢：两个矢量 和 并列，他们之间不作任何运算，称为并矢。写为：把并矢看作一个量。一般来说：1112132122233132339100010001TTTTTTTTT张量：张量是具有 个分量的物理量，并矢是张量的一种特殊情况。称为单位张量。()()()xxyzxyzyzxxyzxyzyzxxyzyzAAA iA jA kAAAAABBB iB jB kBBBBBBA BAAABB 设则，(),()()xxyzyzxyxyzzxyxyzzBA BAAABBAABABBB

19、ABBABAAAB ()()11()()22xyxyzzxyxyzzAABABBBABBABAAABABABBAABBA ()()()()()()()()()()()()xxyxyzyzzxxyzyxyzzACAB CABBBCA B CACACABCCCABBBC A BAAB CA B CA C BAC BB C AB CA ()()()()()():C B AC BAABCDB CA D ()()()()()()()1()()sVsVf gf gfgf gfgTi Tj Tk TxyzrdS TdVTdSf gdVf g 1000101001xyzxxxxrxyzxyzyyyyxyzzz

20、zz 0002200201()().21!XXnnnnnXdfd ff Xxf Xxxdxdxd fxndx0000001()():.21()!XXnnXnf Xxf Xxfxxfxfn 52本章小结本章小结矢量代数规定矢量的加法、减法、和乘法法则，矢量微积分则包括矢量的微分和矢量的积分。在右手正交坐标系中，在空间任何一点，三个基矢量都是两两互相正交的，规定基矢量叉积的循环关系，遵从右手定则。两个矢量点积的结果为标量，而两个矢量叉积的结果为另外一个矢量。利用联系两个坐标系的坐标变换关系，可以将一个坐标系中表示的矢量，转换到另外一个坐标系中去表示。矢量微积分中基本的微分函数是梯度、散度和旋度。标

21、量函数的梯度是矢量，其幅值等于该标量函数每单位距离最大的增长速率，其方向在沿着最大增长的方向。53本章小结本章小结矢量场的散度是通过封闭曲面流出到封闭体之外的每单位体积的净通量的一个测度。散度定理将矢量场的体积分，转换成该矢量场的通量沿包围该体积的曲面的面积分。矢量场的旋度是矢量场在每单位面积S上环量的一个测度，这里S选用环量最大的那个方向。斯托克斯定理将矢量场旋度的面积分，转换成该矢量沿包围该曲面的路径的线积分。亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。教材第32-33页 习题1.21，1.23，1.24，1.3155谢谢！