1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）.pdf

1、 1998 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试 120 分钟 第卷第卷(选择题共选择题共 65 分分) 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 15 小题；第小题；第 110 题每小题题每小题 4 分，第分，第 11 15 题每小题题每小题 5 分，共分，共 65 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1) sin600的值是 ( ) (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 2 3 (D)

2、2 3 (2) 函数 y=a|x|(a1)的图像是 ( ) (3) 曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为 ( ) (A) x2(y2)2=4 (B) x2(y2)2=4 (C) (x2)2y2=4 (D) (x2)2y2=4 (4) 两条直线 A1xB1yC1=0，A2xB2yC2=0 垂直的充要条件是 ( ) (A) A1A2B1B2=0 (B) A1A2B1B2=0 (C) 1 21 21 = BB AA (D) 1 21 21 = AA BB (5) 函数 f(x)= x 1 ( x0)的反函数 f 1(x)= ( ) （A） （B） （C） （D） 1 1 1 (A) x(x0

3、) (B) x 1 (x0) (C) x(x0) (D) x 1 (x0) (6) 已知点 P(sincos，tg)在第一象限，则在)20，内的取值是 ( ) (A) ( 4 3 2 ，)( 4 5 ，) (B) ( 24 ，)( 4 5 ，) (C) ( 4 3 2 ，)( 2 3 4 5 ，) (D) ( 24 ，)( ， 4 3 ) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) (A) 120 (B) 150 (C) 180 (D) 240 (8) 复数i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是 ( ) (A) 2 1 2 3 i (B) 2

4、 1 2 3 i (C) 2 1 2 3 +i (D) 2 1 2 3 i (9) 如果棱台的两底面积分别是 S，S，中截面的面积是 S0，那 么 ( ) (A) 2SSS+= 0 (B) S0=S S (C) 2 S0=SS (D) SSS= 2 2 0 (10) 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如 下图所示，那么水瓶的形状是 ( ) h V H 0 (11) 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护 士不同的分配方法共有 ( ) (A) 90 种 (B) 180 种 (C) 270 种 (D)

5、540 种 (12) 椭圆 312 22 yx +=1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y 轴 上，那么|P F1|是|P F2|的 ( ) (A) 7 倍 (B) 5 倍 (C) 4 倍 (D) 3 倍 (13) 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 6 1 ，经过这 3 个点 的小圆的周长为 4，那么这个球的半径为 ( ) (A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3 (14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 ( ) (A) arccos 2 15 (B) arcsin 2 15 (C) arccos 2

6、51 (D) arcsin 2 51 (15) 在等比数列an中，a11，且前 n 项和 Sn满足 n limSn= 1 1 a ，那么 a1的取值范围是 ( ) (A)(1，) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2) 第卷第卷(非选择题共非选择题共 85 分分) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题；每小题小题；每小题 4 分，共分，共 16 分分把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 16设圆过双曲线1 169 22 = yx 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到 双曲线中心的距离是_ 奎屯 王新敞 新疆 17(x2)10(x21)的展开式中 x

7、10的系数为_（用数字 作答） 奎屯 王新敞 新疆 18如图，在直四棱柱 A1B1C1 D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有 A1 CB1 D1(注：填上你认为正确的一 种条件即可，不必考虑所有可能的情形 奎屯 王新敞 新疆) 19关于函数 f(x)=4sin(2x 3 )(xR)，有下列命题: 由 f(x1)= f(x2)=0 可得 x1x2必是的整数倍； y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x 6 )； y=f(x)的图像关于点( 6 ，0)对称； y=f(x)的图像关于直线 x= 6 对称 其中正确的命题的序号是_ 奎屯 王新敞 新疆 (注：把你认为正确的

8、命题的序号都 填上) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题；共小题；共 6969 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (20)(本小题满分 10 分) 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，设 ac=2b，AC= 3 求 sinB 的 值 以下公式供解题时参考： sinsin =2sin 2 + cos 2 ， sinsin=2cos 2 + sin 2 ， coscos=2cos 2 + cos 2 ， coscos=2sin 2 + sin 2 . (21)(本小题满分 11 分) 如图，直线 l1和 l2相

9、交于点 M，l1 l2，点 Nl1以 A， B 为端点的曲线段 C 上的任 一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且 |BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程 (22)(本小题满分 12 分) 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米 的无盖长方体沉淀箱， 污水从A孔流入， 经沉淀后从B孔流出 设 箱体的长度为 a 米，高度为 b 米已知流出的水中该杂质的质 量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比现有制箱材料 60 平方米问 当 a，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数 最小(A、B 孔的面积忽略不

10、计) (23)(本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABCA1 B1 C1的侧面 A1 ACC1与底面 ABC 垂直，ABC=90，BC=2，AC=23，且 AA1 A1C， AA1= A1 C 求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小； 求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小； 求顶点 C 到侧面 A1 ABB1的距离 (24)(本小题满分 12 分) 设曲线 C 的方程是 y=x3x，将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动 t、s 单位长度后得曲 线 C1 写出曲线 C1的方程； 证明曲线 C 与 C1关于点 A( 3 t ， 2 s )对称； 如果曲线 C 与

11、 C1有且仅有一个公共点，证明 s= 4 3 t t 且 t0 (25)(本小题满分 12 分) 已知数列bn是等差数列，b1=1，b1b2b10=145 求数列bn的通项 bn； 设数列an的通项 an =loga(1 n b 1 )(其中 a0，且 a1)，记 Sn是数列an的前 n 项和试比较 Sn与 3 1 logabn+1的大小，并证明你的结论 1998 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考答案数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题（本题考查基本知识和基本运算 ）一、选择题（本题考查基本知识和基本运算 ） 1 D 2 B 3 B

12、 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 B 11D 12A 13B 14B 15D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算 ）二、填空题（本题考查基本知识和基本运算 ） 16 3 16 17179 18ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件例如 ABCD 是正方形，菱形等 19， 三、解答题三、解答题 20本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三 角公式进行恒等变形的技能及运算能力 解：由正弦定理和已知条件 a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB. 由和差化积公式得 2sin 2 CA+ cos 2 CA =2sinB. 由 A+B

13、+C= 得 sin 2 CA+ =cos 2 B ， 又 AC= 3 得 2 3 cos 2 B =sinB， 所以 2 3 cos 2 B =2sin 2 B cos 2 B . 因为 0 2 B 0） ， （xAxxB，y0） ，其中 xA，xB分别为 A，B 的横坐标，p=|MN|. 所以 M（ 2 p ，0） ，N（ 2 p ，0）. 由|AM|= 17 ，|AN|=3 得 （xA+ 2 p ）2+2pxA=17， （xA 2 p ）2+2pxA=9. 由，两式联立解得 xA = p 4 .再将其代入式并由 p0 解得 = = = = . 2 , 2 ; 1 , 4 AA x p x

14、p 或 因为AMN 是锐角三角形，所以 2 p xA，故舍去 = = 2 2 A x p 所以 p=4，xA =1. 由点 B 在曲线段 C 上，得 xB =|BN| 2 p =4. 综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x（1x4，y0）. 解法二：如图建立坐标系，分别以 l1、l2为 x、y 轴，M 为坐标原点 作 AE l1，AD l2，BF l2，垂足分别为 E、D、F. 设 A（xA，yA） 、B（xB，yB） 、N（xN，0）. 依题意有 xA =|ME|=|DA|=|AN|=3， yA =|DM|=22 22 = DAAM， 由于AMN 为锐角三角形，故有 xN =|ME|+|EN

15、| =|ME|+ 22 AEAN=4 xB =|BF|=|BN|=6. 设点 P（x，y）是曲线段 C 上任一点，则由题意知 P 属于集合 （x，y）|（xxN）2+y2=x2，xAxxB，y0. 故曲线段 C 的方程为 y2=8（x2） （3x6，y0）. 22本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建 立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识 解法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y= ab k ，其中 k0 为比例系数.依题意， 即所求的 a，b 值使 y 值最小. 根据题设，有 4b+2ab+2a=60（a0，b0） ， 得 b= a a

16、 + 2 30 （00） ， 即 a+2b+ab=30（a0，b0）. 因为 a+2b2ab2， 所以 ab22+ab30， 当且仅当 a=2b 时，上式取等号. 由 a0，b0，解得 0 3 113+， 取 n=2 有（1+1） （1+ 4 1 ） 3 123+， 由此推测（1+1） （1+ 4 1 ）（1+ 23 1 n ）313 +n . 若式成立，则由对数函数性质可断定： 当 a1 时，Sn 3 1 loga bn+1. 当 0313 +k（1+ 13 1 +k ） = 13 13 3 + + k k （3k+2）. 因为() 3 3 3 3 4323 13 13 + + + + kk k k ()()() ()2 23 13 134323 + + = k kkk () 0 13 49 2 + + = k k ， 所以 13 13 3 + + k k （3k+2）(). 11343 3 3 +=+kk 因而（1+1） （1+ 4 1 ）（1+ 23 1 k ） （1+ 13 1 +k ）(). 113 3 +k 这就是说式当 n=k+1 时也成立. 由（） ， （）知式对任何正整数 n 都成立. 由此证得： 当 a1 时，Sn 3 1 loga bn+1. 当 0a1 时，Sn 3 1 loga bn+1.