1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）.pdf

1、 1994 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共 150 分，考试时间 120 分钟 第卷第卷(选择题共选择题共 65 分分) 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 15 小题小题；第第(1)(10)题每小题题每小题 4 分分，第第(11)(15)题每小题题每小题 5 分分， 共共 65 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1) 设全集 I=0，1，2，3，4，集合 A=0，1，2，3，集合 B=2，3，4，

2、则BA ( ) (A) 0 (B) 0，1 (C) 0，1，4 (D) 0，1，2，3，4 (2) 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( ) (A) (0，+) (B) (0，2) (C) (1，+) (D) (0，1) (3) 极坐标方程 = 4 cos所表示的曲线是 ( ) (A) 双曲线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 圆 (4) 设是第二象限的角，则必有 ( ) (A) 2 ctg 2 tg (B) 2 ctg 2 tg (C) 2 cos 2 sin (D) 2 cos 2 sin (5) 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分

3、裂一次(一个分裂为两个)经过 3 小时，这种 细菌由 1 个可繁殖成 ( ) (A) 511 个 (B) 512 个 (C) 1023 个 (D) 1024 个 (6) 在下列函数中，以 2 为周期的函数是 ( ) (A) y=sin2x+cos4x (B) y=sin2xcos4x (C) y=sin2x+cos2x (D) y=sin2xcos2x (7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为 ( ) (A) 323 (B) 283 (C) 243 (D) 203 (8) 设 F1和 F2为双曲线 4 2 x y2=1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F

4、1PF2=90 ， 则F1PF2的面积是 ( ) (A) 1 (B) 2 5 (C) 2 (D) 5 (9) 如果复数 z 满足z+i+zi=2，那么z+i+1的最小值是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 5 (10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有 ( ) (A) 1260 种 (B) 2025 种 (C) 2520 种 (D) 5040 种 (11) 对于直线 m、n 和平面、，的一个充分条件是 ( ) (A) mn，m，n (B) mn，=m，n (C) mn，n，m (D) mn，

5、m，n (12) 设函数 f(x)=1 2 1x(1x0)，则函数 y=f 1(x)的图像是 ( ) (13) 已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是 ( ) (A) 9 16 (B) 3 8 (C) 4 (D) 9 64 (14) 函数 y=arccos(sinx) 3 2 3 x的值域是 ( ) (A) 6 5 6 ， (B) 6 5 0 ， (C) 3 2 3 ， (D) 3 2 6 ， (15) 定义在(，+)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和，如果 f(x)=lg(10x+

6、1)，x(，+)，那么 ( ) (A) g(x)=x，h(x)=lg(10x+10 x+2) (B) g(x)= 2 1 lg(10x+1)+x，h(x)= 2 1 lg(10x+1)x (C) g(x)= 2 x ，h(x)=lg(10x+1) 2 x (D) g(x)= 2 x ，h(x)=lg(10x+1)+ 2 x 第卷第卷(非选择题共非选择题共 85 分分) 二、填空题二、填空题 (本大题共本大题共 5 小题小题，共共 6 个个空格空格；每空格每空格 4 分分，共共 24 分分把答案填在题中横把答案填在题中横 线上线上) (16) 在(3x)7的展开式中，x5的系数是 奎屯 王新敞

7、新疆 (用数字作答) (17) 抛物线 y2=84x 的准线方程是 ， 圆心在该抛物线的顶点且与其 准线相切的圆的方程是 奎屯 王新敞 新疆 (18) 已知 sin +cos = 5 1 ，(0，)，则 ctg的值是_ 奎屯 王新敞 新疆 (19) 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥顶点到直线 AB 的距离为3， AB 和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为_ 奎屯 王新敞 新疆 (20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1， a2，an，共 n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其他 近似值比较，a 与

8、各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1，a2，an推出的 a= 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 5 小题小题，共共 61 分分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) (21) (本小题满分 11 分) 已知 z=1+i (1)设=z2+3z4，求的三角形式； (2)如果i zz bazz = + + 1 1 2 2 ，求实数 a，b 的值 (22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=tgx，x(0， 2 )若 x1，x2(0， 2 )，且 x1x2，证明 2 1 f(x1)+f(x2)f( 2 21 xx +

9、) (23) (本小题满分 12 分) 如图，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点 (1)证明 AB1平面 DBC1； (2)假设 AB1BC1，求以 BC1为棱，DBC1与 CBC1为面的 二面角的度数 (24) (本小题满分 12 分) 已知直线 l 过坐标原点，抛物线 C 顶点在原点，焦点在 x 轴 正半轴上若点)0 , 1(A和点 B(0，8)关于 l 的对称点都在 C 上， 求直线 l 和抛物线 C 的方程 (25) (本小题满分 14 分) 设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有 的自然数 n，an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比

10、中项 (1)写出数列an的前 3 项； (2)求数列an的通项公式(写出推证过程)； (3)令()N += + + n a a a a b n n n n n 1 1 2 1 ，求().lim 21 nbbb n n + 1994 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答 一、选择题一、选择题(本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算) 1 C 2 D 3 D 4 A 5 B 6 D 7 B 8 A 9 A 10 C 11C 12B 13D 14B 15C 二、填空题二、填空题(本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算

11、) 16189 17x=3，(x2)2+y2=1 18 4 3 19 3 22 20() n aaa n + 21 1 三、解答题三、解答题 21本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力 解：(1)由 z1+i，有 =z2+3z4 =(1+i)2+3()i+14 =2i+3(1i)4=1i， 的三角形式是 + 4 5 sin 4 5 cos2i (2)由 z=1+i，有 ()() ()()111 11 1 2 2 2 2 + + = + + ii biai zz bazz = () () i iaba2+ () ()ibaa+=2 由题设条件知(a+2)(a+b)i=1i 根据复

12、数相等的定义，得 =+ =+ 1)( 12 ba a 解得 = = . 2 , 1 b a 22本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力 证明： tgx1+tgx2= 2 2 1 1 cos sin cos sin x x x x + 21 2121 coscos sincoscossin xx xxxx+ = () 21 21 coscos sin xx xx + = () ()() 2121 21 coscos sin2 xxxx xx + + = x1，x2(0， 2 )，x1x2， 2sin(x1+x2)0，cos x1cosx20，且 0tg 2 21 xx + ， 即 2

13、 1 f(x1)+f(x2)f( 2 21 xx + ) 23本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想 象能力和逻辑推理能力 (1)证明： A1B1C1ABC是正三棱柱， 四边形 B1BCC1是矩形 连结 B1C 交 BC1于 E，则 B1E=EC连结 DE 在AB1C 中，AD=DC，DEAB1 又 AB1平面 DBC1，DE平面 DBC1，AB1平面 DBC1 (2)解：作 DFBC，垂足为 F，则 DF面 B1BCC1，连结 EF，则 EF 是 ED 在平面 B1BCC1上的射影 AB1BC1， 由(1)知 AB1DE，DEBC1，则 BC1EF，DEF 是二面角的平面角 设 AC=

14、1，则 DC= 2 1 ABC 是正三角形，在 RtDCF 中， DF=DCsinC= 4 3 ，CF=DCcosC= 4 1 取 BC 中点 GEB=EC，EGBC 在 RtBEF 中， EF2=BF GF，又 BF=BCFC= 4 3 ，GF= 4 1 ， EF2= 4 3 4 1 ，即 EF= 4 3 tgDEF=1 4 3 4 3 = EF DF DEF=45 故二面角为 45 24本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何 的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力 解法一：依题设抛物线 C 的方程可写为 y2=2px (p0)， 且 x 轴和 y 轴不是所求直线，又 l 过

15、原点，因而可设 l 的方程为 y=kx (k0) 设 A、B分别是 A、B 关于 l 的对称点，因而 AAl，直线 AA 的方程为 ()1 1 +=x k y 由、联立解得 AA与 l 的交点 M 的坐标为 + + 11 1 22 k k k ， 又 M 为 AA的中点，从而点 A的坐标为 x A= 1 1 1 1 1 2 2 2 2 + =+ + k k k ， y A= 1 2 0 1 2 22 + =+ + k k k k 同理得点 B的坐标为 x B= 1 16 2 +k k ， y B= () 1 18 2 2 + k k 又 A、B均在抛物线 y2=2px(p0)上，由得 1 1

16、2 1 2 2 2 2 2 + = + k k p k k ，由此知 k1， 即 1 2 4 2 = k k p 同理由得 () 1 16 2 1 18 2 2 2 2 + = + k k p k k 即 () ()kk k p 1 12 2 2 2 + = 从而 1 2 4 2 k k = () ()kk k 1 12 2 2 2 + ， 整理得 k2k1=0 解得. 2 51 2 51 21 = + =kk， 但当 2 51 =k时，由知0 5 5 = A x， 这与 A在抛物线 y2=2px(p0)上矛盾，故舍去 2 51 2 =k 设 2 51+ =k，则直线 l 的方程为xy 2 5

17、1+ = 将 2 51+ =k代入，求得 5 52 =p 所以直线方程为 xy 2 51+ = 抛物线方程为 xy 5 54 2 = 解法二：设点 A、B 关于 l 的对称点分别为 A(x1、y1)、B(x2，y2)，则 |OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8 设由 x 轴正向到 OB的转角为，则 x2=8cos，y2=8sin 因为 A、B为 A、B 关于直线 l 的对称点，而BOA 为直角，故BOA为直角，因此 x1=cos 2 =sin，y1=sin 2 =cos， 由题意知 x10，x20，故为第一象限角 因为 A、B都在抛物线 y2=2px 上，将、代入得 cos2=2psi

18、n，64sin2=2p8cos 8sin3=cos3， 2sin=cos， 解得 5 2 cos 5 1 sin=， 将 5 2 cos 5 1 sin=，代入 cos2=2psin得 5 52 sin2 cos 2 = p， 抛物线 C 的方程为xy 5 54 2 = 因为直线 l 平分BOB，故 l 的斜率 += += 4222 1 tgtgk 2 51 sin1 cos 2 cos1 2 sin + = = + + = 直线 l 的方程为xy 2 15 + = 25本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析 问题与解决问题的能力 解：(1)由题意，当 n=1

19、时有 1 1 2 2 2 S a = + ，S1=a1， 1 1 2 2 2 a a = + ， 解得 a1=2 当 n=2 时有 2 2 2 2 2 S a = + ，S2=a1+ a2，a1=2 代入，整理得 (a22)2=16 由 a20，解得 a2=6 当 n=3 时有 3 3 2 2 2 S a = + ，S3=a1+ a2+ a3，将 a1=2，a2=6 代入，整理得 (a32)2=64 由 a30，解得 a3=10 故该数列的前 3 项为 2，6，10 (2)解法一：由(1)猜想数列an有通项公式 an =4n2 下面用数学归纳法证明数列 an 的通项公式是 an =4n2 (n

20、N) 当 n=1 时，因为 412=2，又在(1)中已求出 a1=2，所以上述结论成立 假设 n=k 时结论成立，即有 ak=4k2由题意，有 k k S a 2 2 2 = + ， 将 ak=4k2 代入上式，得 2k= k S2，解得 Sk=2k2 由题意，有 1 1 2 2 2 + + = + k k S a ，Sk+1=Sk+ak+1， 将 Sk=2k2代入，得 2 1 2 2 + +k a =2(ak+1+2k2)，整理得 2 1+k a4 ak+1+416 k2=0 由 ak+10，解得 ak+1=2+4k所以 ak+1=2+4k=4(k+1)2 这就是说，当 n=k+1 时，上述

21、结论成立 根据、，上述结论对所有的自然数 n 成立 解法二：由题意，有()NnS a n n = + 2 2 2 ，整理得 Sn= 8 1 (an+2)2， 由此得 Sn+1 = 8 1 (an+1+2)2， an+1= Sn+1Sn = 8 1 (an+1+2)2(an+2)2， 整理得(an+1+ an)( an+1an4)=0， 由题意知 an+1+an0，an+1an=4 即数列 an 为等差数列，其中 a1=2，公差 d=4an =a1+(n1)d=2+4(n1)， 即通项公式为 an =4n2 (3)解：令 cn=bn1，则 += + + 2 2 1 1 1 n n n n n a a a a c + + + =1 12 12 1 12 12 2 1 n n n n 12 1 12 1 + = nn ， b1+b2+bnn=c1+c2+cn = + + + 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 nn 12 1 1 + = n ()1 12 1 1limlim 21 = + =+ n nbbb n n n