1994年普通高等学校招生全国统一考数学试题含答案（文）.pdf

1、 1994 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第卷第卷(选择题共选择题共 65 分分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 15 小题；第小题；第 110 题每小题题每小题 4 分，第分，第 1115 题每小题题每小题 5 分，共分，共 65 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 奎屯 王新敞 新疆 (1) 设全集 I=0，1，2，3，4，集合 A=0，1，2，3，集合 B=2，3，

2、4，则BA= ( ) (A) 0 (B) 0，1 (C) 0，1，4 (D) 0，1，2，3，4 (2) 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( ) (A) (0，+) (B) (0，2) (C) (1，+) (D) (0，1) (3) 点(0，5)到直线 y=2x 的距离是 ( ) (A) 2 5 (B) 5 (C) 2 3 (D) 2 5 (4) 设是第二象限的角，则必有 ( ) (A) 22 ctgtg (B) 22 ctgtg (C) 2 cos 2 sin (D) 2 cos 2 sin (5) 某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂

3、一次(一个分裂为两个).经过 3 个小时，这 种细菌由 1 个可繁殖成 ( ) (A) 511 个 (B) 512 个 (C) 1023 个 (D) 1024 个 (6) 在下列函数中，以 2 为周期的函数是 ( ) (A) y=sin2x+cos4x (B) y=sin2xcos4x (C) y=sin2x+cos2x (D) y=sin2xcos2x (7) 已知正六棱台的上，下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为 ( ) (A) 323 (B) 283 (C) 243 (D) 203 (8) 设F1和F2为双曲线1 4 2 2 = y x 的两个焦点， 点P 在双曲线上且满足

4、F1PF2=90， 则F1PF2的面积是 ( ) (A) 1 (B) 2 5 (C) 2 (D) 5 (9) 如果复数 Z 满足|Z+i|+|Zi|=2，那么|Z+i+1|最小值是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 5 (10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有 ( ) (A) 1260 种 (B) 2025 种 (C) 2520 种 (D) 5040 种 (11) 对于直线 m、n 和平面、，的一个充分条件是 ( ) (A) mn，m，n (B) mn，=m，n (C) mn，n，m (

5、D) mn，m，n (12) 设函数 f(x)=1 2 1x(1x0)，则函数 y= f 1(x)的图像是 ( ) (13) 已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是 ( ) (A) 9 16 (B) 3 8 (C) 4 (D) 9 64 (14) 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图像关于直线= 8 对称，那么 a= ( ) (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D) 1 (15) 定义在(， +)上的任意函数 f(x)都可表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x) 之和.如果 f(x)=lg(10x+1)，x(，

6、+)，那么 ( ) (A) g(x)=x，h(x)=lg(10x +10x +2) (B) g(x)= 2 1 lg(10x +1)+x h(x)= 2 1 lg(10x +1)x (C) g(x)= 2 x ，h(x)=lg(10x +1) 2 x (D) g(x)= 2 x ，h(x)=lg(10x +1)+ 2 x 第卷第卷(非选择题共非选择题共 85 分分) 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 5 小题，共小题，共 6 个空格：每空格个空格：每空格 4 分，共分，共 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) (16) 在(3x)7的展开式中，x5的系数是_(用数字作答

7、) 奎屯 王新敞 新疆 (17) 抛物线 y2=84x 的准线方程是_， 圆心在该抛物线的顶点且与其准线相 切的圆的方程是_ 奎屯 王新敞 新疆 (18) 已知 sin+cos= 5 1 ，(0，)，则 ctg的值是_ 奎屯 王新敞 新疆 (19) 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥项点到直线 AB 的距离为3， AB 和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为_ 奎屯 王新敞 新疆 (20) 在测量某物理量的过程中， 因仪器和观察的误差， 使得 n 次测量分别得到 a1， a2， ， an，共 n 个数据.我们规定所测量的“量佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与

8、各数据的差的平方和最小.依此规定，从 a1，a2，an推出的 a=_ 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 5 小题，共小题，共 61 分；解答应写出文字说明、证明过程或推分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤演步骤) (21) (本小题满分 11 分) 求函数x x xxxx y2sin 2cos cos3cossin3sin 2 33 + + =的最小值. (22) (本小题满分 12 分) 以知函数 f(x)=logax(a0 且 a1，xR+)，若 x1，x2R+，判断( )() 21 2 1 xfxf+与 + 2 21 xx f的大小，并加以证明. (23)

9、 (本小题满分 12 分) 如图，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点. (1) 证明 AB1平面 DBC1； (2) 假设 AB1BC1，BC=2，求线段 AB1在侧面 B1BCC1上的射影长. (24) (本小题满分 12 分) 已知直角坐标平面上点 Q(2，0)和圆 C：x2+y2=1，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数(0).求动点 M 的轨迹方程，说 明它表示什么曲线. (25)（本小题满分 14 分） 设数列an的前 n 项和为 Sn，若对于所有的自然数 n，都有 () 2 1n n aan S + =，证明an 是等差数列. 1994 年普通高

10、等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题数学试题(文史类文史类)参考解答及评分标准参考解答及评分标准 一、选择题一、选择题(本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算) 1C 2D 3B 4A 5B 6D 7B 8A 9A 10C 11C 12B 13D 14D 15C 二、填空题二、填空题(本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算.每空格每空格 4 分，共分，共 24 分分) 16189 17x=3，(x2)2+y2=1 18 4 3 19 3 22 20 n aaa n + 21 三、解答题三、解答题 21本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求

11、三角函数最小值的方法及运算能力， 满分 11 分. 解：因为 sin3xsin3x+cos3xcos3x =(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x = 2 1 (cos2xcos4x)sin2x+(cos2x+cos4x)cos2x 4 分 = 2 1 (sin2x+cos2x)cos2x+(cos2xsin2x)cos4x = 2 1 (cos2x+cos2xcos4x) 6 分 = 2 1 cos2x(1+cos4x) =cos32x 8 分 所以 x x x y2sin 2cos 2cos 2 3 += =cos2x+sin2x =2sin(2x+ 4 ).

12、当 sin(2x+ 4 )=1 时，y 取最小值2. 11 分 22本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分 12 分. 解：f(x1)+(x2)=logax1+ logax2=loga(x1x2) x1，x2R+， x1x2 2 21 2 + xx (当且仅当 x1= x2时取“=”号). 2 分 当 a1 时，有 loga(x1x2)loga 2 21 2 + xx 5 分 2 1 loga(x1x2)loga + 2 21 xx ， 2 1 ( logax1+ logax2)loga + 2 21 xx ， 即 2 1 f(x1)+f(x2) f + 2 21 x

13、x (当且仅当 x1= x2时取“=”号) 7 分 当 0a0. 2 分 因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2|ON|2=|MO|21. 4 分 设点 M 的坐标为(x，y)，则() 2 2 22 21yxyx+=+ 5 分 整理得(21)(x2+y2 )42x+(1+42)=0. 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P.故这个方程为所求的轨迹方程. 8 分 当=1 时，方程化为 x= 4 5 ，它表示一条直线，该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点( 4 5 ， 0)， 当1时， 方程化为(x 1 2 2 2 )2+y2= () 2 2 2 1 31 + 它表示圆， 该圆圆

14、心的坐标为( 1 2 2 2 ， 0)，半径为 1 31 2 2 + 12 分 25本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分 14 分. 证法一：令 d=a2a1. 下面用数学归纳法证明 an=a1+(n1)d(nN). (1)当 n=1 时上述等式为恒等式 a1= a1. 当 n=2 时，a1+(21)d= a1+( a2a1)= a2，等式成立. 5 分 (2)假设当 n=k(k2)时命题成立，ak=a1+(k1)d.由题设，有 Sk= () 2 1k aak+ ，Sk+1= ()() 2 1 11+ + k aak ，又 Sk+1= Sk +ak+1 (k+1) ()

15、() 1 111 22 + + + + = + k kk a aakaa 9 分 把 ak = a1+(k1)d 代入上式，得 (k+1)( a1+ ak+1)=2ka1+k(k1)d+2ak+1. 整理得(k1)ak+1=(k1)a1+k(k1)d. k2， ak+1= a1+kd.即当 n=k+1 时等式成立. 由(1)和(2)，等式对所有的自然数 n 成立，从而an是等差数列 14 分 证法二：当 n2 时，由题设， ()() 2 1 11 1 + = n n aan S， () 2 1n n aan S + =. 所以 an= SnSn1= () 2 1n aan+ ()() 2 1 11 + n aan 6 分 同理有 an+1= ()() 2 1 11 + n aan () 2 1n aan+ . 8 分 从而 an+1an= ()() 2 1 11 + n aan n(a1+an)+ ()() 2 1 11 + n aan ， 12 分 整理得 an+1an= anan1= a2a1 从而an是等差数列. 14 分