1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）.pdf

1、 19931993 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟 第卷第卷( (选择题共选择题共 6868 分分) ) 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1717 小

2、题；每小题小题；每小题 4 4 分，共分，共 6868 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 (1)函数 f (x)=sinx+cosx 的最小正周期是 ( ) (A) 2 (B) 22 (C) (D) 4 (2)如果双曲线的焦距为 6，两条准线间的距离为 4，那么该双曲线的离心率为 ( ) (A) 2 3 (B) 2 3 (C) 2 6 (D) 2 (3)和直线 3x4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为 ( ) (A) 3x+4y5=0 (B) 3x+4y+5=0 (C) 3x+4y5=0 (D

3、) 3x+4y+5=0 (4)极坐标方程 cos53 4 =所表示的曲线是 ( ) (A) 焦点到准线距离为 5 4 的椭圆 (B) 焦点到准线距离为 5 4 的双曲线右支 (C) 焦点到准线距离为 3 4 的椭圆 (D) 焦点到准线距离为 3 4 的双曲线右支 (5) 5 3 xy =在1，1上是 ( ) (A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数 (D) 减函数且是偶函数 (6) 52 15 lim 2 2 + nn n n 的值为 ( ) (A) 5 1 (B) 2 5 (C) 5 1 (D) 2 5 (7) 集合 24 | 42 |Zk k xxNZk

4、 k xxM+=+=， ，则 ( ) (A) M=N (B) NM (C) NM (D) =NM (8)sin20cos70+sin10sin50的值是 ( ) (A) 4 1 (B) 2 3 (C) 2 1 (D) 4 3 (9)参数方程 () += += sin1 2 1 2 sin 2 cos y x ()20表示 ( ) (A) 双曲线的一支，这支过点 2 1 1， (B) 抛物线的一部分，这部分过 2 1 1， (C) 双曲线的一支，这支过点 2 1 1， (D) 抛物线的一部分，这部分过 2 1 1， (10)若 a、b 是任意实数，且 ab，则 ( ) (A) a2b2 (B)

5、1 a b (C) lg(ab)0 (D) ba 2 1 2 1 (11)一动圆与两圆 x2+y2=1 和 x2+y28x+12=0 都外切，则动圆圆心轨迹为 ( ) (A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线的一支 (D) 抛物线 (12)圆柱轴截面的周长 l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( ) (A) 3 6 l (B) 3 29 1 l (C) 3 4 l (D) 3 4 2 l (13)(x+1)4(x1)5展开式中 x4的系数为 ( ) (A) 40 (B) 10 (C) 40 (D) 45 (14)直角梯形的一个内角为 45，下底长为上底长的 2 3 ，这个梯形绕下底所在的直线旋

6、 转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)，则旋转体的体积为 ( ) (A) 2 (B) 3 24+ (C) 3 25+ (D) 3 7 (15)已知 a1，a2，a8为各项都大于零的等比数列，公式 q1，则 ( ) (A) a1+ a8 a4+ a5 (B) a1+ a80，a1) ()求 f (x)的定义域； ()判断 f (x)的奇偶性并予以证明； ()求使 f (x)0 的 x 取值范围 (25)(本小题满分 12 分) 已知数列 () () . 1212 8 53 28 31 18 222222 ， + nn n Sn为其前 n 项和计算得 . 81 80 49 48 25 24 9

7、8 4321 =SSSS， 观察上述结果，推测出计算 Sn的公式，并用数学 归纳法加以证明 (26)(本小题满分 12 分) 已知：平面平面=直线 a ，同垂直于平面，又同平行于直线 b 求证：()a； ()b (27)(本小题满分 12 分) 在面积为 1 的PMN 中，tgPMN= 2 1 ，tgMNP=2建立适当 的坐标系，求以 M，N 为焦点且过点 P 的椭圆方程 (28)(本小题满分 12 分) 设复数()+=0sincosiz， ( ) 4 4 1 1 z z + =，并且 3 3 =， 2 arg ， 求 19931993 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一

8、考试 数学试题数学试题( (理工农医类理工农医类) )参考解答及评分标准参考解答及评分标准 说明：说明： 1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细 则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基本

9、知识和基本运算一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题每小题 4 4 分，满分分，满分 6868 分分 (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分分 (18) 6 322+ (19)k|k| 3 1 (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30 三、解答题三、解答题 (24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的

10、性质、不等式的性质和解法等基本知识及运 算能力满分 12 分 解 ()由对数函数的定义知0 1 1 + x x 1 分 如果 + 01 01 x x ，则10，故等价于 1+x1x，又等价于 x0故对 a1，当 x(0，1)时 有 f(x)0 9 分 ()对 0a1，loga0 1 1 + x x 等价于 00，故等价于1x0故对 0a0 12 分 (25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法满分 10 分 解 () () ()Nn n n Sn + + = 2 2 12 112 4 分 证明如下： ()当 n=1 时， 9 8 3 13 2 2 1 = =S，等式成立 6 分 ()设

11、当 n=k 时等式成立，即 () () . 12 112 2 2 + + = k k Sk 7 分 则 () () ()2 2 1 3212 18 + + += + kk k SS kk () () () () ()2 22 2 3212 18 12 112 + + + + + = kk k k k ()()() () ()2 2 22 3212 1832 112 + + = kk kkk () ()()() () ()2 2 222 3212 18323212 + + = kk kkkk () ()() () ()2 2 222 3212 123212 + + = kk kkk () ()2

12、 2 32 132 + + = k k () () 2 2 112 1 112 + + = k k 由此可知，当 n=k+1 时等式也成立 9 分 根据()()可知，等式对任何 nN 都成立 10 分 (26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和 逻辑思维能力满分 12 分 证法一()设=AB，=AC在内任取一点 P 并于内作直线 PMAB， PNAC 1 分 ， PM 而 a， PMa 同理 PNa 4 分 又 PM，PN， a 6 分 ()于 a 上任取点 Q， 过 b 与 Q 作一平面交 于直线 a1，交于直线 a2 7 分 b， ba1 同理 ba2

13、 8 分 a1，a2同过 Q 且平行于 b， a1，a2重合 又 a1，a2， a1，a2都是、的交线，即都重合于 a 10 分 ba1， ba 而 a， b 12 分 注：在第部分未证明 ba 而直接断定 b的，该部分不给分 证法二()在 a 上任取一点 P，过 P 作直线 a 1 分 ，P， a 同理 a 3 分 可见 a是，的交线 因而 a重合于 a 5 分 又 a， a 6 分 ()于内任取不在 a 上的一点，过 b 和该点作平面与交于直线 c同法过 b 作平面 与交于直线 d 7 分 b，b bc，bd 8 分 又 c，d，可见 c 与 d 不重合因而 cd 于是 c 9 分 c，c

14、，=a， ca 10 分 bc，ac，b 与 a 不重合(b，a)， ba 11 分 而 a， b 12 分 注：在第部分未证明 ba 而直接断定 b的，该部分不给分 (27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力满分 12 分 解法一如图，以 MN 所在直线为 x 轴，MN 的垂直平分线 为 y 轴建立直角坐标系， 设以 M， N 为焦点且过点 P 的椭圆方 程为1 2 2 2 2 =+ b y a x ，焦点为 M (c，0)，N (c，0) 1 分 由 tgM= 2 1 ，tg=tg(MNP)=2，得直线 PM 和直线 PN 的方程分别为 y= 2 1 (x+c

15、)和 y=2(xc)将此二方程联立，解得 x= 3 5 c，y= 3 4 c，即 P 点坐 标为( 3 5 c， 3 4 c) 5 分 在MNP 中，|MN|=2c，MN 上的高为点 P 的纵坐标，故 . 3 4 3 4 2 2 1 2 cccS MNP = 由题设条件 SMNP=1， c= 2 3 ，即 P 点坐标为 3 32 6 35 ， 7 分 由两点间的距离公式 () 3 152 3 32 2 3 6 35 22 2 2 = + +=+=ycxPM， () 3 15 3 32 2 3 6 35 22 2 2 = + =+=ycxPN 得 () 2 15 2 1 =+=PNPMa 10

16、分 又 b2=a2c2=3 4 3 4 15 =，故所求椭圆方程为 1 315 4 22 =+ yx 12 分 解法二同解法一得 2 3 =c，P 点的坐标为 3 32 6 35 ， 7 分 点 P 在椭圆上，且 a2=b2+c2 1 3 32 2 3 6 35 2 2 2 2 2 = + + b b 化简得 3b48b23=0 解得 b2=3，或 b2= 3 1 (舍去) 10 分 又 a2=b2+c2=3+ 4 15 4 3 = 故所求椭圆方程为1 315 4 22 =+ yx 12 分 解法三同解法一建立坐标系 1 分 P=PMN， () ()4 3 2 1 21 2 1 2 1 = +

17、 = + = tgMNtg tgMNtg tgP P 为锐角 sinP= 5 3 ，cosP= 5 4 而 SMNP= 2 1 |PM| |PN|sinP=1， |PM| |PN|= 3 10 4 分 |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c，由余弦定理， (2c)2=|PM|2+|PN|22|PM| |PN|cosP =(|PM|+|PN|)22|PM| |PN|(1+cosP) =(2a)223 10 23 10 5 4 ， c2=a23，即 b2=3 7 分 又 sinM= 5 1 ，sinN= 5 2 ，由正弦定理， P MN M PN N PM sinsinsin =， P MN M

18、N PNPM sinsinsin = + + 即 5 3 2 5 1 5 2 2ca = + ， a=5c 10 分 a2=b2+c2=3+ 5 2 a a2= 4 15 故所求椭圆方程为1 315 4 22 =+ yx 12 分 (28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力满分 12 分 解法一 ()() 4 4 sincos1 sincos1 i i + + = ()() 4sin4cos1 4sin4cos1 i i + = 2 分 2cos2sin22cos2 2cos2sin22sin2 2 2 i i + + = ()4cos4sin2tgi+= 5

19、分 3 3 2tg4cos4sin2tg=+=i 3 3 2tg= 6 分 因0，故有 ()当 3 3 2tg=时，得 12 =或 12 7 =，这时都有 += 6 sin 6 cos 3 3 i， 得 26 arg =，适合题意 10 分 ()当 3 3 2tg=时，得 12 5 =或 12 11 =，这时都有 += 6 11 sin 6 11 cos 3 3 i， 得 26 11 arg =，不适合题意，舍去 综合()、()知 12 =或 12 7 = 2 分 解法二 4sin4cos 4 iz+= 记4=，得( )( )sincos 4 4 izz= sincos1 sincos1 i i + + = 2 分 () cossin cos1 sin i+ + = () cossin 2 tgi+= 5 分 3 3 =， 2 arg ， = 0cos 2 tg 0sin 2 tg 3 3 2 tg 8 分 当成立时，恒成立，所以应满足 () = 04cos 3 3 2tg 0 ，或() = 04cos 3 3 2tg 0 ， 10 分 解()得 12 =或 12 7 =()无解 综合()、() 12 =或 12 7 = 12 分