1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题含答案.pdf
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1、 1983 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 (这份试题共九道大题,满分 120 分) 一 (本题满分一 (本题满分 10 分)本题共有分)本题共有 5 小题,每小题都给出代号为小题,每小题都给出代号为 A,B, C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的的四个结论,其中只有一个结论是正确的 奎屯 王新敞 新疆把正确结论的代号写把正确结论的代号写 在题后的圆括号内在题后的圆括号内 奎屯 王新敞 新疆每一个小题:选对的得每一个小题:选对的得 2 分分;不选,选错或者选出不选,选错或者选出 的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内) ,一律得的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号
2、内) ,一律得 0 分分 奎屯 王新敞 新疆 1两条异面直线,指的是 ( D ) (A)在空间内不相交的两条直线 奎屯 王新敞 新疆 (B)分别位于两个不同平面内的两条直线 奎屯 王新敞 新疆 (C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 奎屯 王新敞 新疆 (D)不在同一平面内的两条直线 奎屯 王新敞 新疆 2方程 x 2-y2=0 表示的图形是 ( A ) (A)两条相交直线 (B)两条平行直线 (C)两条重合直线 (D)一个点 3三个数 a ,b ,c 不全为零的充要条件是 ( D ) (A)a ,b ,c 都不是零 (B)a ,b ,c 中最多有一个是零 (C)a ,b ,c 中只
3、有一个是零(D)a ,b ,c 中至少有一个不是零 4设, 3 4 =则)arccos(cos的值是 ( C ) (A) 3 4 (B) 3 2 (C) 3 2 (D) 3 5 3 . 0 2 2 2, 3 . 0log,3 . 0这三个数之间的大小顺序是 ( C ) (A)3 . 0log23 . 0 2 3 . 02 (B) 3 . 0 2 2 23 . 0log3 . 0 (C) 3 . 02 2 23 . 03 . 0log (D) 23 . 0 2 3 . 023 . 0log 二 (本题满分二 (本题满分 1212 分)分) 1在同一平面直角坐标系内,分别画出两个方程, xy= y
4、x=的图形,并写出它们交点的坐标 奎屯 王新敞 新疆 2在极坐标系内,方程=cos5表示什么曲线?画出它的图形 奎屯 王新敞 新疆 解: 1.图形如左图所示 奎屯 王新敞 新疆 交点坐标是:O(0,0) ,P(1,-1) 2曲线名称是:圆 奎屯 王新敞 新疆 图形如右所示 奎屯 王新敞 新疆 三 (本题满分三 (本题满分 1212 分)分) 1已知xey x 2sin =,求微分dy 奎屯 王新敞 新疆 2一个小组共有 10 名同学,其中 4 名是女同学,6 名是男同学 奎屯 王新敞 新疆要从 小组内选出 3 名代表,其中至少有 1 名女同学,求一共有多少种选法 奎屯 王新敞 新疆 解:1.d
5、xxexedxxedy xxx 2sin)()2(sin)2sin(+= .)2sin2cos2()2sin2cos2(dxxxedxxexe xxx = 2)(100 3 4 1 6 2 4 2 6 1 4 种=+CCCCC 或:)(10020120 3 6 3 10 种=CC 四 (本题满分四 (本题满分 1212 分)分) 计算行列式(要求结果最简) : Y 2 1 1 O X P O X ( ,0) + cos2cossin sin)sin(cos cos)cos(sin 2 5 解: 把第一列乘以sin加到第 2 列上, 再把第三列乘以)cos(加到第 2 列上,得 0 cos0si
6、n sin0cos cos0sin cos2cos2cossin sin)sin()sin(cos cos)cos()cos(sin = = + =原式 五 (本题满分五 (本题满分 1515 分)分) 1证明:对于任意实数 t,复数ittz|sin|cos|+=的模| zr = 适合 4 2r 奎屯 王新敞 新疆 2当实数 t 取什么值时,复数ittz|sin|cos|+=的幅角主值适合 4 0 ? 1证:复数ittz|sin|cos|+=(其中 t 是实数)的模| zr =为 . |sin|cos|) |sin|() |cos|( 22 ttttr+=+= 要证对任意实数 t,有 4 2r
7、,只要证对任意实数 t, 2|sin|cos|+tt成立 奎屯 王新敞 新疆 对任意实数 t,因为1|sin|cos| 22 =+tt,所以可令 |,sin|sin|,cos|costt=且) 2 , 0( ,于是 . 2) 4 sin(2sincos|sin|cos| +=+=+tt 2因为复数ittz|sin|cos|+=的实部与虚部都是非负数,所以 z 的 幅角主值一定适合 2 0 奎屯 王新敞 新疆从而 . 10 4 0 tg 显然0|= zr 奎屯 王新敞 新疆因为 . 111|010, | |cos| |sin| =tgttgtgtgt t t tg所以 由于 ).( 44 11,
8、 22 为任意整数 的解是因此并且它的周期是内是增函数在 kktk tgtttgty + = 这就是所求的实数 t 的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 六 (本题满分六 (本题满分 1515 分)分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,S 在底面上的射影 N 位于底面的高 CD 上;M 是侧棱 SC 上的一点,使截面 MAB 与底面所成的角等 于NSC,求证 SC 垂直于截面 MAB 奎屯 王新敞 新疆 证:因为 SN 是底面的垂线,NC 是斜线 SC 在底面上的射影, ABNC,所以 ABSC(三垂线定理) 连结 DM 奎屯 王新敞 新疆因为 ABDC,ABSC, 所以AB垂直于DC和SC所决定的
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