1981年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题含答案.pdf

1、 1981 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学（文科） 一 （本题满分一 （本题满分 6 6 分）分） 设A表示有理数的集合， B表示无理数的集合， 即设A=有理数， B=无 理数，试写出：1.AB, 2.AB. 解：1.AB=实数,2.AB= 奎屯 王新敞 新疆 二 （本题满分二 （本题满分 8 8 分）分） 化简： 3 2 4 2 22 2 2 27 2 )( )(3 aba ba ba ba ba + 解：原式= 2 )( 3 8 bab 奎屯 王新敞 新疆 三 （本题满分三 （本题满分 6 6 分）分） 在 A、B、C、D 四位候选人中， （1）如果

2、选举正、副班长各一人，共 有几种选法？写出所有可能的选举结果： （2）如果选举班委三人，共 有几种选法？写出所有可能的选举结果 奎屯 王新敞 新疆 解：1.选举种数 P4 2=12（种）所有可能的选举结果： AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC 奎屯 王新敞 新疆 2.选举种数 C4 3=4（种）所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、BCD 奎屯 王新敞 新疆 四 （本题满分四 （本题满分 1010 分）分） 求函数 f(x)=sinx+cosx 在区间（-，）上的最大值 奎屯 王新敞 新疆 解： . 2)(,)( ),(,2,2)(), 4 sin

3、(2)( 值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是 恰好区间为周期以为振幅以所以 xfxf xfxxf += 五 （本题满分五 （本题满分 1010 分）分） 写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明 奎屯 王新敞 新疆 答：. sinsinsin c C b B a A = 证：引 AD 垂直 BC 于 D;引 BE 垂直 CA 的延长线于 E 奎屯 王新敞 新疆 设ABC 的面积为 S，则 ;sin 2 1 )180sin( 2 1 2 1 Abc AbcBEACS = = BacADBCSsin 2 1 2 1 =又 CabADBCSsin 2 1 2 1 = CabBacAbc

4、Ssin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = 将上式除以, 2 1 abc得：. sinsinsin c C b B a A = 六 （本题满六 （本题满 1010 分）分） 已知正方形 ABCD 的相对顶点 A（0，-1）和 C（2，5） ，求顶点 B 和 D 的坐标 奎屯 王新敞 新疆 解：设 AC 中点为 M（x,y）,则有 )2, 1 (),(. 2 2 51 , 1 2 20 MyxMyx= + = + = 又设 AC 斜率为 k，则 k=3 奎屯 王新敞 新疆因此得 BD 的斜率为 3 11 = k 奎屯 王新敞 新疆 故有直线 BD 的方程：(1) ) 1( 3 1 2=

5、xy 又以 M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为 (2) 10)2() 1( 22 =+yx B a D c E A C b 解方程（1） 、 （2）得 B、D 的坐标为（4，1）及（-2，3） 奎屯 王新敞 新疆 （注：用复数法解亦可 奎屯 王新敞 新疆） 七 （本题满分七 （本题满分 1717 分）分） 设 1980 年底我国人口以 10 亿计算 奎屯 王新敞 新疆 （1）如果我国人口每年比上年平均递增 2%，那么到 2000 年底将达 到多少？ （2）要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递 增率最高是多少？ 下列对数值可供选用： lg1.0087=0.00

6、377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 解：1.所求人口数 x（亿）是等比数列 10,101.02,10（1.02） 2，的第 21 项，即 x=10（1.02） 20, 两边取对数，得 lgx=1+20lg1.02=1.17200, x=14.859（亿) 2设人口每年比上年平均递增率最高是 y%，按题意得 10（1+y%) 2012， （1+y%) 20

7、1.2. 根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 20lg(1+y%)lg1.2. 即 lg(1+y%)0.00396. 1+y%1.0092,y%0.0092. 答：略 奎屯 王新敞 新疆 八 （本题满分八 （本题满分 1515 分）分） ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过 A、C、B1三点作一截面，求证： 截面 ACB1对角面 DBB1D1 奎屯 王新敞 新疆 证：设 AC、BD 交于 O 点 奎屯 王新敞 新疆 作截面 ACB1、对角面 BB1D1D 以及 它们的交线 OB1的图形 奎屯 王新敞 新疆由于 AC1 是正四棱柱，所以 ABCD 是正方 形，故 ACBD;

8、又 BB1底面 ABCD，故 BB1AC 奎屯 王新敞 新疆AC对角面 BB1D1D 奎屯 王新敞 新疆 已知 AC 在截面 ACB1内，故有 截面 ACB1对角面 BB1D1D 奎屯 王新敞 新疆 九 （本题满分九 （本题满分 1818 分）分） 1设抛物线 y 2=4x 截直线 y=2x+k 所得的弦长为 53，求 k 的值 奎屯 王新敞 新疆 2以本题（1）得到的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点做成三角形 奎屯 王新敞 新疆当这三角形的面积为 9 时，求 P 的坐标 奎屯 王新敞 新疆 解：设直线与抛物线的交点为 P1（x1,y1),P2(x2,y2).解方程组： xkx kxy

9、xy 4)2( 2 4 2 2 =+ += = 得 D1 C1 A1 B1 D C O A B Y y=2x+k P2 y2=4x O X P1 22 2 1212 22 121212 2 2 12 22 1212 22 1212 44(1)0 1,. 4 ()()4 (1)41 2 . 4 ,2, ()4()4(1 2 ). ()()3 5, (1 2 )4(1 2 )45,:4. xkxk k xxkx x xxxxx x k kk P Pyxk yyxxk xxyy kkk += += = =+ = = =+ = += += 即 故有 又因在直线上 故 根据题设条件 即解得 2设 x 轴上一点 P 的坐标为 （a,0）又点 P 到直线 P1P2的距离为 h，则有 5 |42| = a h 奎屯 王新敞 新疆 依题意得PP1P2的面积关系： . 1, 5 |,42|6, 5 |42| 53 2 1 9 = = = aa a a 即