1959年普通高等学校招生全国统一考数学试题含答案.pdf

1、 1959 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1甲、已知 lg2=0.3010,lg7=0.8451,求 lg35 奎屯 王新敞 新疆 解：原式=2lg10lg7lg 2 107 lg 2 70 lg+= = =0.8451+1-0.3010=1.5441. 乙、求 i i + 1 )1 ( 3 的值. 解：. 2 1 )1 (2 1 22 1 331 1 331 32 = + + = + = + + = + + = i i i i i ii i iii 原式 丙、解不等式. 352 2 xx 解：原式移项得, 0352 2 xx 原不等式的解为. 3 2 1

2、 x 丁、求165cos的值 奎屯 王新敞 新疆 解：)3045cos(15cos)15180cos(165cos= . 4 26 ) 2 1 2 2 2 3 2 2 ( )30sin45sin30cos45(cos + =+= += 戊、不在同一平面的三条直线cba,互相平行，A、B 为b上两定点， 求证另两顶点分别在ca及上的四面体体积为定值 奎屯 王新敞 新疆 证：因为 A、B 为直线b上 两定点，而直线b直线c，所 以， 不论点 C 在直线c的什么位 置上，ABC 的面积均为一定 值 （同底等高的三角形等积） 奎屯 王新敞 新疆又 D a h A B b O c C 因直线a平行于直线

3、 cb,，所以，直线a平面（已知cba,不在同一平面内） ，因此，不 论点 D 在直线a的什么位置上，从点 D 到平面的距离h为一定值， 故 四面体 ABCD 的体积=定值高底面积= hS ABC 3 1 3 1 己、圆台上底面积为 2 25 cm，下底直径为cm20，母线为cm10，求 圆台的侧面积 奎屯 王新敞 新疆 解：设此圆台上底半径为 r，下底半径为 R，由已知条件 ,25 2 =r所以 r=5(cm).又下底半径 R=10cm，母线,10cml = 圆台侧面积=l（R+r)=10 （10+5）=150（cm 2). 2已知ABC 中，B=60 0，AC=4，面积为 3，求 AB 和

4、 BC. 解：设 AB=c，BC=a，则有 += = ),(60cos24 )(360sin 2 1 222 余弦定理 两边夹角求面积公式 acca ac . 37, 37 . 32,12)( ,72,28)(, ,16 4 2 2 22 = = =+=+ =+ = ca caca caca acca ac 由 由解之 即 故所求 AB，BC 之长为 += = = += . 37 , 37 ; 37 , 37 BC AB BC AB 3已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的 3 倍等于第三 个数的 2 倍，如果第二个数减去 2，则成等比数列，求这三个数 奎屯 王新敞 新疆 解：设所求之三数为

5、daada+,则根据题意有 = = = = = = += +=+ . 4 5 ; 1 , 4 5 : 44 54 ).)()2( ),(2)(3 2 2 1 1 2 2 d a d a da da dadaa daada 解得化简后得 故所求三数为. 9 , 5 , 1 4 9 , 4 5 , 4 1 或 4已知圆 O 的两弦 AB 和 CD 延长相交于 E，过 E 点引 EFCB 交 AD 的延长线于 F，过 F 点作圆 O 的切线 FG，求证：EF=FG. 证：FG 为O 的切线，而 FDA 为O 的割线， FG 2=FDFA 又EFCB， 1=2.而2=3， 1=3， EFD=AFE 为

6、公共角 EFDAFE， , FA EF EF FD =即 EF 2=FDFA 由，可得 EF 2=FG2 EF=FG. 5已知 A、B、C 为直线l上三点，且 AB=BC=a;P 为l外一点，且 APB=90 0，BPC=450，求 （1）PBA 的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长; （3）P 点到l的距离. C G 2 F O D 1 A 3 E B 解：过 P 点作 PDAB 交 AB 于点 D（如图） （1）过点 B 作 BEAP 交 PC 于 点 E 则PBE=90 0， PEB=450， PB=BE. CPACEB , 2 2 = a a BE PA 因 PB=BE， . 2, 2=PBAtg PB PA 又,sec1 22 PBAPBAtg=+PBA 为锐角， , 51sec 2 =+=PBAtgPBA . 5 52 cossin , 5 5 5 1 cos = = PBAPBAtgPBA PBA （2）. 5 5 cosaPBAABPB= （3）, 5 52 sin, 5 5 =PBAaPB. 5 2 sinaPBAPBPD= 综上，所求为（1）PBA 的正弦、余弦、正切分别是2 ,5 5 1 ,5 5 2 （2）PB 的长为;5 5 1 a （3）P 点到l的距离为. 5 2 a P 450 E A a D B a C