习题课二重积分的计算课件.ppt
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- 关 键 词:
- 习题 二重积分 计算 课件
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1、 二重积分的计算方法是累次积分法,化二重二重积分的计算方法是累次积分法,化二重积分为累次积分的步骤是:积分为累次积分的步骤是:作出积分区域的草图作出积分区域的草图选择适当的坐标系选择适当的坐标系选定积分次序,定出积分限选定积分次序,定出积分限1。关于坐标系的选择。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑两个方面来考虑一、主要内容一、主要内容被积函数呈被积函数呈 )(),(22xyfyxf 常用极坐标常用极坐标其它以直角坐标为宜其它以直角坐标为宜2。关于积分次序的选择。关于积分次序的选择选序原则选序原则能积分,少分片,计算简能积分,
2、少分片,计算简3。关于积分限的确定。关于积分限的确定二重积分的面积元二重积分的面积元 )(rdrdddxdyd 为正为正确定积分限时一定要保证下限小于上限确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形积分区域为圆形、扇形、圆环形看图定限看图定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先选序,后定限先选序,后定限直角坐标系直角坐标系。先。先 y 后后 x,过任一过任一x a,b,作平行于作平行于 y 轴的直线轴的直线穿过穿过D的内部的内部从从D的下边界曲线的下边界曲线)(1xy 穿入穿入 内层积分的下限内层积分的下限从上边界曲线从上边界曲线)(2xy 穿出穿出内层积分的上
3、限内层积分的上限。先。先 x 后后 y过任一过任一 y c,d 作平行于作平行于 x 轴的直线轴的直线定限定限左边界左边界 )(1yx 内层积分的下限内层积分的下限右边界右边界 )(2yx 内层积分的上限内层积分的上限则将则将D分成若干个简单区域分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算,结果相加分片计算,结果相加极坐标系极坐标系积分次序一般是积分次序一般是 后先r过极点过极点O作任一极角作任一极角 为为 ),(的射线的射线从从D的边界曲线的边界曲线)(1 r穿入穿入从从)(2 r穿出穿出。如。如D须分片须分片)(1 r内下限内下限)(2 r内上
4、限内上限具体可分为三种情况具体可分为三种情况)()(,21 rrr 极点在极点在D的边界上的边界上)()(,21 rrr 是边界在极点处的切线的极角是边界在极点处的切线的极角 ,)(1 r绝大多数情况下为绝大多数情况下为0极点在极点在D的内部的内部)(0,20 rr 化累次积分后化累次积分后外限是常数外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘极坐标系下勿忘 r极点在极点在D的外部的外部4。关于对称性。关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的,利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的,它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的,不它与利用奇偶性
5、来简化定积分的计算是一样的,不过重积分的情况比较复杂,在运用对称性是过重积分的情况比较复杂,在运用对称性是要兼顾要兼顾被积分函数和积分区域两个方面,被积分函数和积分区域两个方面,不可误用不可误用对对 DdxdyyxfI),(若若D关于关于 x 轴对称轴对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D关于关于 y 轴对称轴对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),(),(1 xDyxyxD若若D关于关于原点原点
6、对称对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0,0,),(3 yxDyxD DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(称为关于积分变量的轮换对称性称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于奇函数关于对称域的积分等于0,偶函数关,偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍,完全类似于倍,完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的对称区间上奇偶函数的定积分的性质性质简述为简述为“你你对称,我对称,我奇偶奇偶”、
7、简单地说就是、简单地说就是若若 D 关于关于直线直线 y=x 对称对称5 关于二重积分的换元法关于二重积分的换元法f(x,y)在在D上连续上连续 变换变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将将 uov 平面上的闭区域平面上的闭区域D1 变成变成 xoy 平面的闭区域平面的闭区域D(1)x=x(u,v),y=y(u,v)在在D1上具有连续的一阶偏导数上具有连续的一阶偏导数(2)在)在D1上上0),(),(),(vyuyvxuxvuyxvuJdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD 1),(),(),(),(的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状,的形状,于积分区域于积分
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