三次样条插值课件.ppt
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- 三次 样条插值 课件
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1、第二章 插值法引例引例2.7.1 三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念一一 背景背景二、样条函数的定义二、样条函数的定义 例例2.13 定理定理2.8(3 次样条插值函数存在唯一)次样条插值函数存在唯一)2.7.2 三弯矩法三弯矩法边界条件边界条件1(固支边界)(固支边界)边界条件边界条件2(简支边界)(简支边界)边界条件边界条件3(周期边界)(周期边界)例例2.14,2.15 2.7.3 m关系式关系式2.7.4 三次样条插值函数的性质三次样条插值函数的性质2.7 三次样条插值三次样条插值第二章 插值法引例引例:y=sin x 在区间在区间0,上的插值逼近上的插值逼近 1.1.二次插
2、值二次插值 0123400.20.40.60.812.两点埃尔米特插值两点埃尔米特插值 0123400.20.40.60.813.分段埃尔米特插值分段埃尔米特插值x 0 /2 Sin x 010Cos x 101x 0 Sin x 00Cos x 11 第二章 插值法高次插值出现龙格现象高次插值出现龙格现象L-插值(牛顿插值(牛顿插值)插值)Hermite插值插值 分段分段插值插值但分段线性插值在节点处不一定光滑但分段线性插值在节点处不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但导数值导数值不容易提取(找到)不容易提取(找到)为得到光滑度更高、应用方便的插值函数为得到光滑度更高、应用方便的插值函
3、数,我们引入我们引入样条样条插值函数插值函数。“样条样条”名词来源于工程中船体、汽车、飞机等名词来源于工程中船体、汽车、飞机等的外形设计:给出外形曲线上的一组离散点的外形设计:给出外形曲线上的一组离散点(样点样点),如,如(xi,yi),i=0,1,2,n,将有弹性的将有弹性的细长木条细长木条或或钢条钢条(样条样条)在样点上在样点上固定,使其在其它地方自由弯曲,这样样条所表示的曲线,固定,使其在其它地方自由弯曲,这样样条所表示的曲线,称为称为样条曲线样条曲线(函数函数)。一一 背景背景2.7.1 三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念第二章 插值法-50500.51x=-5:5;y=1.
4、/(1+x.2);plot(x,y,x,y,o)-50500.51x=-5:5;y=1./(1+x.2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,b,x,y,ro)被插值函数被插值函数:211)(xxf -5 x 53/18第二章 插值法x=0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0;y=0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0;n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx
5、,yy,x,y,o)第二章 插值法相同数据相同数据3 3次样条插值与次样条插值与Lagrange插值效果比较插值效果比较Cubic Spline Interpolation Lagrange Interpolation第二章 插值法 下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函数数 在数学上,在数学上,三次样条曲线三次样条曲线表现为近似于一条分段的三次表现为近似于一条分段的三次多项式,它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。多项式,它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。二、样条函数的定义二、样条函数的定义 定义定义 2.8 (三三次样条函数)次样条
6、函数))(xSb在每一个小区间在每一个小区间1,jjxx上上是次数是次数 1,1,0 nj3 多项式。多项式。baCxSa,)()(2,即具有连续的一阶,二阶导数。,即具有连续的一阶,二阶导数。满足下述条件:满足下述条件:,:10bxxxan )(xS如果函数如果函数 设有对设有对a,b的剖分的剖分的一个的一个3次样条函数。次样条函数。)(xS为关于剖分为关于剖分 则称则称第二章 插值法定义定义2.8*给定区间给定区间a,b上的一个分划上的一个分划:a=x0 x1 xn=b已知已知 f(xj)=yj (j=0,1,n),如果如果 ,),(,),(,),()(1212101nnnxxxxSxxx
7、xSxxxxSxS满足满足:(1)S(x)在在 xj,xj+1上为三次多项式上为三次多项式;(2)S”(x)在区间在区间a,b上连续上连续;(3)S(xj)=yj (j=0,1,n).则称则称 S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.第二章 插值法注:注:三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑,不需要知道,不需要知道 f 的导数值(除了在的导数值(除了在2个端点可能需个端点可能需要);而要);而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)第二章 插值法 132
8、1,(0,1,1),4iiiiiiiiiiiiiiS xSxix xSxa xb xc xdxx xina b c dnS xn首先指出单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条插值函数的。这是因为:由条件(1),三次样条插值函数是一个分段三次多项式,若用表示它在第 个区间上的表达式,则这里有四个待定系数,子区间共有 个.要确定需要确定个待定系数。个方程。可得待定系数应满足的可,由条件上连续即个子区间的连接点上连续,只要它们在各间在整个插值区及其导数次多项式另一方面,要求分段三243,2,121nxxxbaxSxSxSn第二章 插值法插值条件插值条件:S(xj)=yj (j=0,1,n)n+1个
9、个连续性条件连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S(xj+0)=S(xj-0)(j=1,n-1)S (xj+0)=S (xj-0)(j=1,n-1)3(n-1)个个共可建立方程共可建立方程(4n-2)个!个!方程数少于未知数个数方程数少于未知数个数?32000001321111123213211111,(),iiiiiinnnnnna xb xc xdxx xa xb xc xdxx xS xa xb xc xdxx xaxbxcxdxxx第二章 插值法 共有共有24 n个条件个条件,要唯一确定要唯一确定 ,还必须附加还必须附加2 2个条件个条件)(xS这两个条件常在插
10、值区间这两个条件常在插值区间a,ba,b 的边界点的边界点a,ba,b处给出,称处给出,称为为边界条件边界条件。边界条件的类型很多,常见的有:。边界条件的类型很多,常见的有:附加附加2个条件,个条件,有多种给法有多种给法.最常见的给法是最常见的给法是:(a)固支边界固支边界(b)简支边界简支边界 特别地特别地,(自然边界自然边界,三次自然样条三次自然样条););000,nnnSxfxMSxfxM00,nMM000,nnnSxfxm Sxfxm(1)(1)(2)(2)注:注:一般不取一端是一阶导数而另一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数一端是二阶导数。第二章 插值法)(c第第3种边界条件(周
11、期边界条件):种边界条件(周期边界条件):注意:上述注意:上述给出的给出的 个条件是问题本身隐含的,个条件是问题本身隐含的,和和共共 个独立条件须提供,故个独立条件须提供,故 节节点三次样插值点三次样插值问题只有问题只有 个自由度个自由度.(.(请与分段三次请与分段三次HermiteHermite插值比较插值比较!)!)3n 33n 1n 3n 0000000000()nnnnyf xbaSxSxbaSxSxSxSxf xyyS xS xS x 当是周期为的函数时,则要求及其导数均是以为周期的函数。扩充边界条件为:(由周期性知,从而必有故不必再提此要求)-此时称为周期样条函数 第二章 插值法)
12、,1,0(),(,(nixfxii 且且;10bxxxan (1)如果如果是定义在是定义在上函数且已知上函数且已知)(xfy 函数表函数表)(xf,ba 定理定理2.8(3 次样条插值函数存在唯一次样条插值函数存在唯一)唯一唯一3 3次样条插值函数次样条插值函数)(xS,且满足且满足)。)或或(或或(cba)()(xf,ba (2)给定边界条件给定边界条件)或或(或或(cba)(,则,则于于存在存在第二章 插值法例例 2.13 已知 f(1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求1,1 上的三次自然样条(满足自然边界条件).解解 设,)(1001222232112131xdxcxbxaxdxcx
13、bxaxS则有:S(-1)=a1+b1c1+d1=f(-1)=1,S(0)=d1=f(0)=0,S(1)=a2+b2+c2+d2=f(1)=1,S(0-0)=d1=S(0+0)=d2,S-(0)=c1=S+(0)=c2,S-(0)=b1=S+(0)=b2 由自然边界条件:S(0)=6a1+2b1=0,S(1)=6a2+2b2=0 解方程组,得 a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0第二章 插值法,)(1023210123212323xxxxxxxS问题的解-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.81x=-1,0,1;
14、y=1,0,1;f1=inline(0.5*x.3+1.5*x.2);f2=inline(-0.5*x.3+1.5*x.2);t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,o,t1,t2,p1,p2,r)Hold on,plot(t1,t2,t1,t2.2)y=x2第二章 插值法三次样条插值函数三次样条插值函数 可以有多种表达式,可以有多种表达式,有时用二阶导数值有时用二阶导数值表示时,使用更方便。表示时,使用更方便。在力学上解释为细梁在力学上解释为细梁在在 处的弯矩,并且得到的弯矩与相邻两个弯矩处的弯矩,并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关,
15、故称用有关,故称用 表示表示 的算法为的算法为三弯矩算法三弯矩算法。)(xS()(0,1,)iiSxMinMixiMi)(xS2.7.2 构造三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的三弯矩法三弯矩法 -三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数的二阶导数表示第二章 插值法是是三三次次样样条条因因为为)(xSj11,()(,),jjjjjjxx xhS xSxxx令1(,)jjjxSxx所以是在上一次函数,插插值值函函数数,),2,0,1j)(nMxSjj ,(,(令令由两点拉格朗日插值由两点拉格朗日插值可表示为可表示为,)(11 jjjjjjMhxxMhxxxS参数参数(2.46)对对上上
16、式积分式积分,得得22111()()(),22jjjjjjxxxxS xMMchh(2.47)(2.48)再积分再积分,得得331112()()(),66jjjjjjxxxxS xMMc xchh,1 jjxxxjjjjjxxhxxx 11,第二章 插值法 由条件由条件11)(,)(jjjjyxSyxS,确定积分常数,确定积分常数12,c c(2.49)(2.47)(2.48)21221111211(),61(),6jjjjjjjjjjS xh Mc xcyS xh Mc xcy22111()()(),22jjjjjjxxxxS xMMchh 331112()()(),66jjjjjjxxxx
17、S xMMc xchh,1 jjxxx111112111(),61().6jjjjjjjjjjjjjjjjyych MMhy xy xch x Mx Mh第二章 插值法 将将上式上式代入代入(2.48)得到得到三三次样条插值函数的表达式次样条插值函数的表达式331122111()()()66()(),66jjjjjjjjjjjjjjjjxxxxS xMMhhM hxxMhxxyyhh(2.50)由上讨论可知由上讨论可知,只要确定只要确定Mj(j=0,1,n)这这n+1个值个值,就就可定出三次样条插值函数可定出三次样条插值函数S(x)。为了确定为了确定Mj(j=0,1,n),对对S(x)求导得求
18、导得221111()()()226jjjjjjjjjjjjxxxxyyMMS xMMhhhh 1,jjxxx(2.51)1,jjxxx第二章 插值法13311112211111112211111111()()()()66()(),66()()()22 6,jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjS xxxxxS xMMhhMhxxM hxxyyhhxxxxS xMMhxxhyyMMhh 类似地可求出在区间上的表达式,从而得1,jjxxx(2.52)1,jjxxx第二章 插值法1111111()(0)(0),636 1,1,jjjjjjjjjjjjjjjS xS xS xhh
19、hhyyyyMMMhhjn利用在内接点的连续性,即可得 0,:(0)(0)njjMMS xS x为了求要用导数连续条件1111111(2.51):(0),36(2.52):(0),63jjjjjjjjjjjjjjjjhhyyS xMMhhhyyS xMMh由得由得(2.53)(2.54)(2.55)第二章 插值法1111111,636jjjjjjjjjjjjjhhhhyyyyMMMhh(2.55)(1,2,1)jn上式两边同乘以上式两边同乘以 ,即得方程即得方程 16jjhh11111111162jjjjjjjjjjjjjjjjjhhyyyyMMMhhhhhhhh11111111166,.jj
20、jjjjjjjjjjjjjjjjjjhhhhhhyyyydf xxxhhhh若记若记 (2.56)第二章 插值法1111111 2,1,1,6,.jjjjjjjjjjjjjjjjjjMMMdjnhhdf xx xhhhh其中所得方程可简写成所得方程可简写成10112121223212111222nnnnnnMMMdMMMdMMMd(2.58)即即 (2.57)个个方方程程1 n 三弯矩方程三弯矩方程第二章 插值法 这是一个含有这是一个含有n+1+1个未知数、个未知数、n-1-1个方程的线性方个方程的线性方程组程组.要完全确定要完全确定Mi(i=0,1,n)的值还需要补充两个的值还需要补充两个条
21、件条件,这两个条件通常根据实际问题的需要,根据插这两个条件通常根据实际问题的需要,根据插值区间值区间 a,b 的两个端点处的边界条件来补充。的两个端点处的边界条件来补充。第二章 插值法由由(2.53),得得0001100063fhyyMhMh 由由(2.54),得得1111136 nnnnnnnnhyyfMhMh(1)若若已知,已知,,)(,)(000nnnmfxSmfxS 11()36jjjjjjjjyyhhSxMMh11111()36jjjjjjjjyyhhS xMMh )(621111 nnnnnnnhyyfhMM)(620001010fhyyhMM 0d nd 则令则令j=0,令令j=
22、n,边界条件边界条件1(固支边界)(固支边界)-第二章 插值法001,1,nnjjM令得满足的方程组0011111111212212nnnnnnMdMdMdMd(2.59)对角占优的三对角带状矩阵第二章 插值法(2)若若nnnfMxSfMxS )(,)(000已知,已知,代入方程代入方程(2.58),只只需解需解n-1个方程个方程 nnnnnnnnnfdddfdMMMM112201112211222212222 (2.60)边界条件边界条件2(简支边界)(简支边界)-对角占优的三对角带状矩阵第二章 插值法 (3)对第三类边界条件:对第三类边界条件:),0()0(0 nxSxS)0()0(0 n
23、xSxS 0M,nM 11001101110)(3166 nnnnnnnhyyhyyMhhMhMh两边同除以两边同除以得得,610 nhh)(62110011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh(j=n)1111111 (0),(2.53)36 (0),(2.54)63jjjjjjjjjjjjjjjjhhyyS xMMhhhyyS xMMh由和可得(j=n)(j=0)边界条件边界条件3(周期边界)(周期边界)-第二章 插值法)(62110011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh)(61100110 nnnnnhyyhyy
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