《高等数学》第四章不定积分课件.ppt

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二1高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二2微分法微分法:)?()(xF积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算第四章第四章 不定积分不定积分（Indefinite Integrals）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二3主主 要要 内内 容容第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分部积分法分部积分法第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型

2、函数的积分第五节第五节 积分表的使用积分表的使用返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二4第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第四章第四章 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、小结与思考题四、小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二5一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念(Primitive Function and the I

3、ndefinite Integral)定义定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数原函数.则称 F(x)为f(x)例如,sint的原函数有,cost,3cos t问问 题题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二6 定理定理1（原函数存在定理）（原函数存在定理）,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间

4、上有原函数初等函数在定义区间上有原函数返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二7,)()(的一个原函数是若xfxF的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)(C 为任意常数)内.证证:1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF)()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族().F xC即定理定理 2 返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二8)(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d

5、)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)(被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若,)()(xfxF则CxFxxf)(d)(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作定义定义 2 返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二9)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x的积分曲线积分曲线.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二10 xdd)1(x

6、xfd)()(xf二、二、基本积分表基本积分表从不定积分定义可知从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维xkd)1(k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x)1()ln()ln(xxx1返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二1121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(x

7、xdcsc2Cx cot返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二12xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二13.d3xxx解解:原式 =xxd34134Cx313例例2（补充题）（补充题）求.dcossin22xxx解解:原式=xxdsin21Cx cos21134xC例例1（课本（课本 例例5）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月

8、31日星期二14三、不定积分的性质三、不定积分的性质(Properties of the Indefinite Integral)xxfkd)(.1xxgxfd)()(.2推论推论:若,)()(1xfkxfinii则1()d()dniiif xxkf xxxxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二15.d)5(2xexx解解:原式=xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C例例3（补充题）（补充题）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二16.dtan2xx解解:原式=x

9、xd)1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例5（课本（课本 例例8）求221d.(1)xxxxx解解:原式=22(1)d(1)xxxxx例例4（补充题）（补充题）求21d1xx1dxxln xarctan xC返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二17解：解：()df x x 1 d,1,xxx(2)d,1x xx 2122,12,1,xxCxxCx221211limlim2xxxxCxC121,2CC22,1,122()d,1.xxxfCxxxCx返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二18内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函

10、数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式,积分性质积分性质返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二19课后练习课后练习习题习题4-1 1（偶数题）；（偶数题）；3思考与练习思考与练习1.若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1212xC返回返回上页上页下页下

11、页目录目录2023年1月31日星期二20)(xf是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln102.若返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二21)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx3.若返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二22422222

12、dd(1);(2);(3)d.(1)sincos1xxxxxxxxx提示提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x4.求下列积分求下列积分:42(1)1(3)1xx222(1)(1)11xxx22111xx 返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二23解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1)1(2(1)xxeexeexxd)1(2Cxeexx2215.求不定积分返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二2422221d1d1

13、xxBxxAxxx求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA6.已知返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二25复复习习引入引入(Introduction)在上在上次次课中课中，我们，我们学习学习了了“不定积分的概念不定积分的概念和和性质性质”给出了给出了“基本积分公式表基本积分公式表”。但但是是，对于形如对于形如2sin2 d;x x21d;xx这样这样的积分的积分，利用不定积分的性质利用不定积分的性质和和基本积分公式表基本积分公式表我们就无能我们就无能为为力了。力了。为为此，此，返回返回上

14、页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二26第二节第二节 换元积分法换元积分法(1)(1)第四章第四章 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法（Integration by Substitution）三、小结与思考题三、小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二27第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(设,)()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有基本思基本思路路 返回返回上页上页下页下页目录

15、目录2023年1月31日星期二28一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法定理定理1,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()()d()()xfx()duf u)(xu(也称配配元法元法,凑凑微分法微分法)返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二292sin2 d.x x提示：提示：令令2ux例例1 求cos2xC 例例2 求1d1 2xx提示：提示：令令1 2ux 1ln|1 2|2xC 例例3（补充题）（补充题）求()d(1.)maxbmx 解解:令,bxau则,ddxau 故原式原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC返回返回

16、上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二3022 exxdx例例4 求答案答案：2exC例例5 求tan dcot dx xx x和例例6 求22d.xax答案答案：1arctanxCaa例例7（补充题）（补充题）求22d(0).xaax解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例8（课本（课本 例例7）求22d.xxa答案答案：1ln2xaCaxa返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二31xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxd

17、n1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常用的几种常用的几种配配元形式元形式:返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二32xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21(dxxxxln21xlnd解解:原式=xln2121)ln21(dxCx ln21ln21例例9（补充题）（补充题）求求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二33.d3xxe

18、x解解:原式=xexd23)3d(323xexCex332例例11（补充题）（补充题）求.dsec6xx解解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例10（补充题）（补充题）求自自学课本学课本例例1819返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二34.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结两法结果果一一样样例例12（补充题）（补充

19、题）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二35.dsecxx解法解法1 例例13（课本（课本 例例14）求求（与课本解法不一（与课本解法不一样样）xxsin11sin1121xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二36xxtansecxxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或

20、xxdcscCx2tanln(课本课本 例例13)解法解法 2 返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二37222d)(2123xax.d)(23223xaxx解解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC例例14（补充题）（补充题）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二38)2cos2cos21(241xx.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341

21、xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例15（补充题）（补充题）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二39.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin

22、321C例例16（补充题）（补充题）求求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二40 xxexex111xexexxxdd xexxd)1(.d)1(1xexxxx解解:原式=xexxxxd)1()1(xexe)1(1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1(1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln分分析析:例例17（补充题）（补充题）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二41内容小结内容小结常用常用简化技巧简化技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降低幂次降低幂次:(3)统统一函数一函数:利用三角公式

23、利用三角公式;配配元方法元方法(4)巧妙巧妙换元或换元或配配元元等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二42课后练习课后练习习题习题4-2 1；2（1）（18）思考与练习思考与练习1.下列下列各各题求积方法有何不题求积方法有何不同同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxxd4)4(

24、2224d)5(xxxxd441241xx2121xd24d)6(xxx2)2(4x)2(dx返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二43xxxd)1(110.)1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3)1(d10 xxx10)x)1(d10 xxx)1(1010 xx)1(d10 xxx)1(d1011xxx101x10d x10110(x10dx1012.求求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二44.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解:原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfx

25、fd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf3.求求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二45xxxd11)132)1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52)1(2 x)1d(x2212xx Cx21arcsin54.求下列积分:返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二46求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法,xx22sin2sin1原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)1

26、11(22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得5.返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二47第二节第二节 换元积分法换元积分法(2)(2)第四章第四章 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法（Integration by Substitution）三、小结与思考题三、小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二48二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则用第二类换元积分

27、法第二类换元积分法.难求，uufd)(返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二49CxF)()()()(ttft)(tx是单调可导函数,且,0)(t)()(ttf具有原函数,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf,)(t令)()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct)(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式定理定理2 设返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二50.)0(d22axxa解解:令,),(,sin22ttax则taaxa

28、22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例1（课本（课本 例例21）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二51.)0(d22aaxx解解:令,),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C例例2（课本（课本 例例22）求返回

29、返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二52.)0(d22aaxx解解:,时当ax 令,),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa例例3（课本（课本 例例23）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二53,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1

30、aCCCaxx22ln返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二54被积函数含有22ax 时,除采用1shch22tt采用双双曲代换曲代换：taxsh消去根式,所得结果一致.例如例如，taxch或22ax 或三角代换外,还可利用公式：说说明明:中中,令令221d(0)xxaa shxta221dxxachdchattatdttC arshCxa2ln1.xxaaCcddhxatt22ln.xxaCaa返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二55原式21)1(22ta221a.d422xxxa解解:令,1tx 则txtdd21原式ttd12122 2(1)d t

31、ta t,0时当x42112tta Cata2223)1(23当当 x 0 时时,类似可得同样结果.Cxaxa32223)(23)1(d22ta例例4（补充题）（补充题）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二56例例5（补充题）（补充题）求1d(1)nxx x 令令tx1 21dd,xtt 1(1)dnx xx211111dntttt 1d1nnttt 1ln|1|ntCn1ln 11.nCnx 解：解：返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二571.第二类换元法常第二类换元法常见见类型类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xx

32、fndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch第四节第四节讲讲小结小结:返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二58xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln(7)分母中因子次数较高时,可试用倒倒代换代换,d)()6(xafx令xat 2.常用基本积分公式的常用基本积分公式的补充补充 返回返回上页上页下页下

33、页目录目录2023年1月31日星期二59xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二60.32d2 xxx解解:原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC(补充公式补充公式(20)例例7（补充题）（补充题）求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(补充补充 公式公式(23)例例6（课本（课本 例例25）求返回返回上页上页

34、下页下页目录目录2023年1月31日星期二612d.2xxx解解:原式=22)()()(d21x(补充公式补充公式(22)3221x21arcsin3xC例例9（补充题）（补充题）求2d.e1xx解解:原式2de1 exx arcsinexC(补充公式补充公式(22)例例8（课本（课本 例例27）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二62课后练习课后练习习题习题4-2 2（19）（22）思考与练习思考与练习1.下列积分下列积分应应如何换元如何换元才才使积分使积分简便简便?xxxd1)1(25xex1d)2(令21xt令xet1)2(d)3(7xxx令xt1返回返回上页上页

35、下页下页目录目录2023年1月31日星期二63,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解:两边求导,得)(5xfx,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1(d)1(212221tt)1(d)1(212221tt23)1(312tCt21)1(2(代回原变量代回原变量)2.已知返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二643.求不定积分.d1)1(122xxx分子分母同除以解解:令,sintx,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1(cos2ttdsin112t2costttandtan211

36、2tttand)tan2(112221Ct)tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二65新新课课引入引入(Introduction)在在前前一节一节，我们，我们利用利用复合复合函数的求函数的求到到法则得法则得到了到了“换元积分法换元积分法”。但但是是，对于形如对于形如e d;xxxln d;xx xsin d;xx x的积分用的积分用直接积分法直接积分法或或换元积分法换元积分法都都无无法法计计算算.注注意意到，到，这些这些积分的被积函数都有积分的被积函数都有共同共同的特的特点点都是两种不都

37、是两种不同同类型函数的类型函数的乘乘积积。这就启发我们把这就启发我们把两个两个这就这就是是另另一个基本的积分方法：一个基本的积分方法：分部积分法分部积分法.函数函数乘乘积的微分法则积的微分法则反过来反过来用于求用于求这这类不定积分类不定积分，返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二66vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v 容易求得;xvuxvudd)2比容易计算.:)d(的原则或及选取vvu由导数乘法公式：返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二67第三节第三节 分部积分法分部积分法

38、 第四章第四章（Integration by Parts）sind.xx x例例1 求解解:令,xu sin,vx 则,1 ucosvx 原式(cos)xx(cos)dxxcossinxxxC 另另解解:令sin,ux,vx 则cos,ux 22xv 原式2sin2xx2cosd2xx x返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二68.dlnxxx解解:令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式=xx ln212xxd21Cxxx2241ln21例例2 求（课本（课本 例例3）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二69.darctanxxx解解:令,

39、arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111(212xx arctan212Cxx)arctan(21例例3 求（课本（课本例例4）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二70.dsinxxex解解:令,sin xu xev,则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev,则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式=Cxxex)cos(sin21说说明明:也可设veux,为三角函数,但两次所设类型必须一致.例例4 求（课本

40、（课本例例7）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二71:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积,按“反反对对幂指幂指三三”的顺序,前者为 后者为u.v例例5（补充题）（补充题）求.darccosxx解解:令,arccosxu 1 v,则,211xuxv 原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx 21反反:反反三角函数三角函数对对:对数函数对数函数幂幂:幂幂函数函数指指:指指数函数数函数三三:三角函数三角函数解题解题技巧技巧:（自自学课本学课本例例56）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星

41、期二72.dcoscosln2xxx解解:令,coslnxu xv2cos1,则,tan xuxvtan原式=xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan例例6（补充题）（补充题）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二73.dxex解解:令,tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet(2Cxex)1(2,tu tev)teC令例例7（课本课本 例例10）求返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二74.)(d22nnaxxI解解:令,)(122naxu,1 v则,)(2122n

42、axxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22例例8 求（课本（课本 例例9）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二75递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI2

43、2221212)(21说说明明:返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二76分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)例例43)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.说说明明:返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二77)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说说明明:此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxx

44、dcos2sin2cos2例例9 已知（补充题）（补充题）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二78.d xI23)1(2x解法解法1 先先换元后分部换元后分部令,arctanxt 即,tantx 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan例例10 求（补充题）（补充题）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二79xeIxdarctan23)1(2xxexIarctan2d11xxex

45、xexarctan2arctan2d111)1(11arctan2xexxICexxIxarctan2121xexarctan211xd 23)1(2xxexarctan解法解法2 用分部积分法用分部积分法返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二80本节小结本节小结分部积分公式分部积分公式xvuvuxvudddu vv u1.使用原则使用原则:xvuvd易易求求出出,易易积分积分2.使用使用经验经验:“反反对对幂指幂指三三”,前前 u 后后v3.题目类型题目类型:分部分部化简化简;循环循环解解出出;递递推公式推公式返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二81

46、课后练习课后练习习题习题4-3 （偶数题）（偶数题）思考与练习思考与练习1.下下述述运算运算错错在在哪里哪里?应应如何如何改正改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.xxsinsindCx sinln返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二822.求不定积分求不定积分.d1xexexx解解：方法方法1(先先分部分部,再再换元换元)xexexxd1)1(d1xxeexx2)

47、1(dxe12xexxexd12令,1xeu则uuuxd12d2uuud122212xex112u12xexCuu)arctan(44Ceexx1arctan414返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二83方法方法2(先先换元换元,再再分部分部)令,1xeu则,)1ln(2ux故xexexxd1uuuuuud12)1ln()1(222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(22uuu4Cu arctan412xexCeexx1arctan4141uuuxd12d2返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二843.求求xxId)ln(

48、sin解解:令令,lnxt 则则texexttdd,tteItdsinttetettdcossinIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二854.证明证明递递推公式推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证：证：xxxInnd)1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注：0IIn或或1I0I,Cx1ICx cosln返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二86第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的

49、积分 第四章第四章 基本积分法基本积分法:直接积分法直接积分法;换元积分法换元积分法;分部积分法分部积分法 初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分（见见本节第一本节第一段段）一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可二、可化化为有理函数的积分为有理函数的积分举举例例本节内容本节内容:（Integration of several kinds of Special Functions）返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二87一、一、有理函数的积分有理函数的积分(Integration of Rational Function)两个多项式的两个多项式的商商表示的函数

50、表示的函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(有理函数的定义：有理函数的定义：返回返回上页上页下页下页目录目录2023年1月31日星期二88假假定分定分子子与分与分母之母之间间没没有公有公因因式式,)1(mn 这这有理函数是有理函数是真真分式分式；,)2(mn 这这有理函数是有理函数是假假分式分式；有理函数有有理函数有以以下性质：下性质：1）利用多项式）利用多项式除除法法,假假分式可分式可以化以化成一个多项式成一个多项式和和一个一个真真分式分式之和之和.例如例如，我们我们可可将将1123 xxx.112 xx化化为多项式与为多项式与真真分式分式之和之