北京市丰台区2023年高三上学期期末数学试题及答案.pdf

1、高三数学 第1 页（共 6 页）丰台区 20222023 学年度第一学期期末练习 高 三 数 学 2023.01 第一部分 （选择题 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知全集U=R，集合|10Axx=，则UA=（A）(1)(0+),（B）(1(0+),（C）(1)0+),（D）(10+),2已知复数i(1 i)z=+，则在复平面内，复数z对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3在42()xx的展开式中，常数项为（A）-24 （B）24 （C）-48 （D）48 4已知向量

2、(2)=,a，(1)=,b，则“2=”是“/a b”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 5下列函数是偶函数，且在区间(0 1),上单调递增的是（A）21yx=（B）tanyx=（C）cosyxx=（D）eexxy=+6 已知抛物线2:2C ypx=(0)p 过点 A(12),，焦点为 F.若点(0)B m,满足AFBF=,则m的值为（A）2 （B）21+（C）2 或1 （D）21+或12 考 生 须 知 1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的

3、“条形码粘贴区”贴好条形码。2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。4.本练习卷满分共 150 分,作答时长 120 分钟。高三数学 第2 页（共 6 页）7已知函数2()3log2(1)f xxx=，则不等式()0f x 的解集是（A）(1 4),（B）(1)(4)+,（C）(0 1)(4)+,（D）(0 4),8设双曲线222

4、2:1(00)xyCabab=,的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐近线，与另一条渐近线交于点 P，与双曲线 C 交于点 Q，若 Q 为线段 FP 的中点，则双曲线 C 的离心率为（A）12 （B）22 （C）2 （D）4 55 9如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是边长为 3 的 正方形，PD平面 ABCD，点 M 为底面上的动点，M 到 PD 的距离记为 d，若 MC=2d，则点 M 在底面正方形内 的轨迹的长度为（A）2 （B）23 （C）5 （D）34 10市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销

5、售额）的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”.有 A，B，C 三个企业都生产某产品，2022 年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%.经调查，2022 年第二季度 A，B，C 三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与 2022 年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A 企业该产品的“稳定市场占有率”为（A）45%

6、（B）48%（C）50%（D）52%第二部分 （非选择题 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.函数1()121xf xx=+的定义域是_.12.在等差数列na中，公差d不为 0，19a=，且1a，4a，5a成等比数列，则d=_；高三数学 第3 页（共 6 页）当n=_时，数列na的前 n 项和nS有最大值.13.已知集合()|0Ax yxymx y=R,，22()|220Bx yxyxyx y=+=R,，若AB为 2 个元素组成的集合，则实数 m 的取值范围是_.14.已知函数()sin()(0)6f xx=+，若(6)()2ff=，且()f x在区间()6

7、 2,上有最小值无最大值，则=_ 15.已知函数2()ln(1)()f xaxxa=R存在两个极值点1212()x xxx,，给出下列四个结论：函数()f x有零点；a 的取值范围是1()2+,；21x；2()0f x.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题 13 分）如图，已知正方体1111ABCDABC D中，点 E 是棱 BC 的中点.（）求证：1/BD平面1DC E；（）若点 F 是线段1BD的中点，求直线 DF 与平面1DC E所 成角的正弦值.高三数学 第4 页（共 6 页）17.（本小题 14 分）

8、在ABC中，2 sin2aBb=（）求A；（）若2 2b=，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC的面积 条件：10cos10C=；条件：2a=；条件：5sin5B=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.（本小题 14 分）非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000 名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成 6 组：10,20)，2

9、0,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70，并整理得到如下频率分布直方图：（）求 a 的值；（）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取 2 人，记取出的 2 人中年龄不超过 40 岁的人数为 X，用频率估计概率，求 X 的分布列及数学期望()E X；（）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为 m，若中位数的估计值为 n，写出 m 与 n 的大小关系.（结论不要求证明）高三数学 第5 页（共 6 页）19.（本小题 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=过点(2 0)A ,离心率为22.（）求椭圆

10、 E 的方程；（）设点 P(2)(0)m m,，直线 PA 与椭圆 E 的另一个交点为 C，O 为坐标原点,B 为椭圆 E的右顶点.记直线 OP 的斜率为1k,直线 BC 的斜率为2k,求证：12kk为定值.20.（本小题 15 分）已知函数()lnsinf xxx=+.（）求曲线()yf x=在点(1(1)f,处的切线方程；（）求函数()f x在区间1 e,上的最小值；（）证明函数()f x只有一个零点.高三数学 第6 页（共 6 页）21.（本小题 14 分）设为正实数，若各项均为正数的数列na满足：*n N，都有1nnaa+.则称数列na为()P数列.（）判断以下两个数列是否为(2)P数

11、列：数列 A：3，5，8，13，21；数列 B：2log 5，5，10.（）若数列 nb满足10b 且131nnbbnn+=+，是否存在正实数，使得数列 nb是()P数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.（）若各项均为整数的数列na是(1)P数列，且na的前 m(2)m项和123maaaa+为 150，求mam+的最小值及取得最小值时ma的所有可能取值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）高三数学答案 第1页（共 6 页）丰台区 20222023 学年度第一学期期末练习参考答案 高三数学 2023.01 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共

12、分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A D C A C B C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 1 0)(0)+,122；5 13(0 4),144 15 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题 13 分）（）证明：连接1CD，交1DC于点M，依题意知，四边形11CDDC为正方形，所以M是 线段1CD的中点，连接EM，因为E为棱BC的中点，所以1/EMBD，因为EM 平面1D

13、C E，1BD 平面1DC E，所以1/BD平面1DC E.5 分（）解：设正方体1111ABCDABC D的棱长为 1,以D为坐标原点，DA，DC，1DD 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0 0 0)D,，(11 0)B,，1(0 0 1)D,，1(0 11)C,，(0 1 0)C,，因为点F是线段1BD的中点，E为棱BC的中 点，所以1 1 1()2 2 2F,，1(1 0)2E,，zyxDBCAFED1C1B1A1MDBCAFED1C1B1A1高三数学答案 第2页（共 6 页）所以1 1 1()2 2 2DF=,，1(011)DC=,，1(1 0)2DE=

14、,.设()x y z,u=是平面1DC E的一个法向量，则 1010.2DCyzDExy=+=+=,uu 取1y=，则2x=，1z=.于是(1 21),u=是平面1DC E的一个法向量.设直线 DF 与平面1DC E所成角为，所以111222sincos3362DFDFDF=,uuu，所以直线DF与平面1DC E所成角的正弦值为23.13分 17.（本小题 14 分）解：（）在ABC中，由正弦定理sinsinabAB=，得sinsinaBbA=，因为2 sin2aBb=所以2 sin2bAb=，因为0b，所以2sin2=A，因为0A，所以4A=或34A=；7分（）若选择，在ABC中，0C，因为

15、10cos10C=，所以3 10sin10C=又因为4A=，ABC+=所以sin=sin()sincoscossin44BACCC+=+21023 105()()2102105=+=高三数学答案 第3页（共 6 页）55=，在ABC中，由正弦定理可得3 102 2sin106n5si5bCcB=，所以112sin2 266222ABCSbcA.14 分 若选择，在ABC 中，因为sinsinabAB=，所以sinsinbaAB=，因为=2a，=2 2b，2sin2A=，所以22 22sin12=B，因为(0)B,，所以2B=，所以222bac，所以2224cba=，所以2c=，所以112sin

16、2 222222ABCSbcA 18.（本小题 14 分）解：（）由题意10(0.0040.0120.0140.0240.028)1a+=所以018.0=a；3 分（）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过 40 岁”为事件 A，()10(0.0040.0120.014)0.3P A=+=，所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过 40 岁的概率为 0.3.X 可能取值为 0,1,2.49.07.0)0(202=CXP；42.07.03.0)1(12=CXP；09.03.0)2(222=CXP.所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 6.009.0242.0149.0

17、0)(=+=XE.11 分（或因为(2 0.3)X B,，所以6.03.02)(=XE）（）nm.14 分 19.（本小题 15 分）高三数学答案 第4页（共 6 页）解：（）由题意得222222acaabc=+,解得24a=，22b=.所以椭圆E的方程是22142xy+=.5 分（）因为(2 0)A ,，(2)Pm,，所以直线AP的方程为(2)4myx=+（0m）.由22(2)424myxxy=+=得2222(8)44320mxm xm+=，即22(2)(8)(216)0 xmxm+=.因为点A的横坐标为2，所以点C的横坐标为222168mxm=+，代入直线AP的方程可得点C的纵坐标为222

18、2168(2)488mmmymm=+=+，即2222168()88mmCmm+,.又点B的坐标为(2,0)，所以222282821628mmkmmm+=+，又因为12mk=，所以122()12mkkm=.即12kk为定值1.15 分 20.（本小题 15 分）解：（）由题意得，1()cosfxxx=+，所以(1)1cos1f=+，又(1)sin1f=，所以曲线()yf x=在点(1(1)f,处的切线方程为sin1(1cos1)(1)yx=+，即(1cos1)sin1cos1 1yx=+；4 分（）因为1()cosfxxx=+，因为1yx=和cosyx=均在区间因为1 e,上单调递减，所以()f

19、x在区间1 e,上单调递减，因为(1)1cos10f=+，11211(e)cosecos0ee3e2f=+=，高三数学答案 第5页（共 6 页）所以()0fx=在(1 e),上有且只有一个零点，记为0 x，所以01)xx,时，()0fx；0(exx,时，()0fx，所以()f x在区间01)x,上单调递增，在区间0(ex,上单调递减.因为(1)sin1(e)1sineff=+,，所以()f x在区间1 e,上的最小值为sin1.10 分（）函数()f x的定义域为|0 x x，由（）知，()f x在区间1 e,上的最小值sin10，又当(e)x+,时，()lnesin1sin0f xxx+=+

20、，所以()f x在区间1)+,上没有零点；当(0 1)x,时，1()cos0fxxx=+，所以()f x在区间(0 1),上单调递增，因为11()1sin0(1)sin10eeff=+=,，所以()f x在区间(0 1),上仅存在一个零点；综上所述，函数()f x有且仅有一个零点.15 分 21.（本小题 14 分）解：（）数列 A 是(2)P数列，数列 B 不是(2)P数列.3 分（）不存在正实数，使得数列 nb是()P数列.说明理由如下：假设存在正实数，使得数列 nb是()P数列.则1nnbb+，*nN.因为131nnbbnn+=+，所以1213131nnbbnnnnn+=+=+，当21n

21、时，1nnbb+，这与假设矛盾.所以不存在正实数，使得数列 nb是()P数列.7 分（）因为数列na是(1)P数列，则11nnaa+，所以12112(1)mmmaaaamm+所以11mmaa，2112mmmaaa，3213mmmaaa，231(2)maaam，121(1)maaam 高三数学答案 第6页（共 6 页）所以123(1)123(1)2mmmm maaaamamma+=即(1)1502mm mma 所以150122mmam+，所以15031150312302222mmmammm+=，所以mam+的最小值不小于 30.假设30mam+=，必有150313022mm+，解得25123m，

22、因为*mN，所以9101112m=,，当 m=9 时，ma=21，存在满足条件的数列123456789101415161718192021aaaaaaaaa=,；当 m=10 时，ma=20，存在满足条件的数列123456789106121314151617181920aaaaaaaaaa=,；当 m=11 时，ma=19，存在满足条件的数列12345678951011121314151617aaaaaaaaa=,10111819aa=,；当 m=12 时，ma=18，存在满足条件的数列1234567891078910111213141516aaaaaaaaaa=,11121718aa=,.以上都是=30mam+的充分条件.所以mam+的最小值为 30，此时ma的所有可能取值为 18，19，20，21.14 分