D96多元函数微分学的几何应用解读课件.ppt

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数引例引例:已知空间曲线已知空间曲线 的参数方程的参数方程:()(),()xtyttzt )(),(),()(),(ttttfzyxr记 的的向量方程向量方程(),rf tt MrxzyO 对对 上的动点上的动点M,即即 是是此方程确定映射此方程确定映射3R,:f,称此映射为一元向量称此映射为一

2、元向量值函数值函数.，显然OMr r的终点的终点M 的轨迹的轨迹,此此轨迹称为向量值函数的轨迹称为向量值函数的终端曲线终端曲线.要用向量值函数研究曲线的要用向量值函数研究曲线的连续性连续性和和光滑性光滑性，就需要引进向，就需要引进向量值函数的极限、连续量值函数的极限、连续和和导数的概念导数的概念.的的向量形式向量形式,()()()(),rxiy jzkf tt it jt k 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:给定数集给定数集 D R,称映射称映射nDfR:为为一元向量一元向量值函数值函数(简称向量值函数简称向量值函数),记为记为Dttfr),(定义域定义域自变量自变量因变量因变量向量值

3、函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关连续和导数密切相关,进行讨论进行讨论.123()(),(),(),f tf tftf ttD设则极限：极限：连续：连续：导数：导数：严格定义见严格定义见P93)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(321tftftftfttfttftftt)()(lim)(0000因此下面仅以因此下面仅以 n=3 的情形为代表的情形为代表目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数

4、运算法则:(P94)设设vu,是可导向量值函数是可导向量值函数,)(t是可导函数是可导函数,则则OCtdd)1()()()2(ddtuctuct)()()()()3(ddtvtutvtut)()()()()()()4(ddtuttuttutt)()()()()()()5(ddtvtutvtutvtut)()()()()()()6(ddtvtutvtutvtutC 是常向量是常向量,c 是任一常数是任一常数,)()()()7(ddtuttut目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在在 R3中中,设设Dttfr),(的终端曲线为的终端曲线为 ,MxzyOr

5、)(0tf tr)(),(00ttfONtfOMN)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示终端曲线在表示终端曲线在t0处的处的切向量切向量,其指向与其指向与t 的增长方的增长方向一致向一致.)(0tf,则则0)(0 tf设设r目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设设)(tfr 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有则有)()(tftv)(tva)(tf ).(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft求例例1.设设速度向量：速度向量：加速度向量：加速度向量：解：解：ktjtittftttt4

6、444lim)sinlim()coslim()(limkji42222)(4f目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设空间曲线设空间曲线 的向量方程为的向量方程为 求曲线求曲线 上上对应于对应于解解:20t)62,34,1()(22tttttfrR,ttttf)6442()(的点处的单位切向量的点处的单位切向量.R,t故所求单位切向量为故所求单位切向量为)31,32,32()2()2(ff)2,4,4()2(f222)2(44)2(f其方向与其方向与 t 的增长方向一致的增长方向一致另一与另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为的增长方向相反的单位切向量为)31,32,32(=6目录 上页 下

7、页 返回 结束 例例3.一人悬挂在滑翔机上一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺受快速上升气流影响作螺求求旋式上升旋式上升,其位置向量为其位置向量为),sin3,cos3(2tttr(1)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻 t 的速率的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解解:(1)2,sin3,cos3(ttva)2,cos3,3sin()(ttttrv222)2()cos3()sin3()()2(ttttr249t0av(3)由由即即,04sincos9coss

8、in9ttttt,0t得即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.TM置置.空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限位为此点处割线的极限位)(),(),()(ttttf：给定光滑曲线给定光滑曲线 在在()(),(),()ftttt 点法式可建立曲线的法平面方程点法式可建立曲线的法平面方程利用利用时，不同时为，则当0点点M(x,y,z)处的切向量及法平面的处

9、的切向量及法平面的法向量法向量均为均为点向式可建立曲线的切线方程点向式可建立曲线的切线方程目录 上页 下页 返回 结束 1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况,),(,)(,)(ttztytx：因此因此曲线曲线 在点在点 M 处的处的000zzyyxx)(0t)(0t)(0t,),(0000ttzyxM对应上的点设则则 在点在点M 的导向量为的导向量为)(00 xxt)()(00yyt0)(00zzt法平面方程法平面方程 0000()(),(),()ftttt M)(0tf 不全)(),(),(000ttt给定光滑曲线给定光滑曲线为为0,切线方程切线方程目录 上页 下页 返回 结

10、束 例例4.求曲线求曲线32,tztytx在点在点 M(1,1,1)处的切线处的切线 方程与法平面方程方程与法平面方程.,3,2,12tztyx解：解：,10t点点(1,1,1)对应于对应于故点故点M 处的切向量为处的切向量为)3,2,1(T因此所求切线方程为因此所求切线方程为 111zyx123法平面方程为法平面方程为)1(x)1(2y0)1(3z即即632zyx)()(:xzxy思考思考:光滑曲线光滑曲线的切向量有何特点的切向量有何特点?),1(T答答:)()(:xzxyxx切向量切向量目录 上页 下页 返回 结束 时，当0),(),(zyGFJ2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑

11、曲线光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxyxydd曲线上一点曲线上一点000(,)M xy z,且有且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ 可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(,)(,100 xxT目录 上页 下页 返回 结束 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0

12、zz或或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(目录 上页 下页 返回 结束 0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF(自己验证自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求曲线求曲线0,6222zyxzyx在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(切线方程切线方程121zyx解法解法1 令令,6222zyxGzyxF则则即即0202

13、yzx切向量切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0,6(T目录 上页 下页 返回 结束 06222zyxzyx法平面方程法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1目录 上页 下页 返回 结束 切线方程切线方程121zyx即即0202yzx法平面方程法平

14、面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即即0 zx点点 M(1,2,1)处的处的切向量切向量011)1,0,1(T目录 上页 下页 返回 结束 0),(:zyxF三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点对应点 M,)(,)(,)(000ttt切线方程为切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为不全为0.则则 在在,)(,)(,)(:tztytx且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.上

15、过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上.)(,)(,)(000tttTMT目录 上页 下页 返回 结束 MT证证:在在 上上,)(,)(,)(:tztytx0)(,)(,)(tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得得)(,)(,)(000tttT),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令nT 切向量由于曲线由于曲线 的任意性的任意性,表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量n的平面上的平面上,从而切

16、平面存在从而切平面存在.n目录 上页 下页 返回 结束)(),(0000 xxzyxFx曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量:法线方程法线方程 000zzyyxx)(),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz 切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 过过M点且垂直于切平面的直线点且垂直于切平面的直线 称为曲面称为曲面 在点在点 M 的的法线法线.MTn目录 上页 下页 返回 结束)(,(000 xxyxfx曲面曲面时时,),(yxfz zyxfzyxF)

17、,(),(则在点则在点),(zyx故当函数故当函数),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令令有在点),(000zyx特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程法向量法向量)1),(),(0000yxfyxfnyx目录 上页 下页 返回 结束 法向量法向量2211cosyxff将将),(,),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：用用,表示表示法向量的方向角法向量的方

18、向角,并假定法向量方向并假定法向量方向分别记为分别记为则则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上的向上的,即使得它与即使得它与z轴的正向所成的角轴的正向所成的角为锐角为锐角,)1,),(,),(0000yxfyxfnyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求球面求球面14222zyx在点在点(1,2,3)处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程.解解:令令14),(222zyxzyxF所以球面在点所以球面在点(1,2,3)处有处有:切平面方程切平面方程)1(2x01432zyx即即法线方程法线方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量法向量)2,2,2(zyx

19、n)6,4,2()3,2,1(n即即321zyx(可见法线经过原点，即球心可见法线经过原点，即球心)目录 上页 下页 返回 结束 例例7.确定正数确定正数 使曲面使曲面zyx222zyx在点在点),(000zyxM解解:二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切,故故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点又点 M 在球面上在球面上,32202020azyx故于是有于是有000zyx2a相切相切.333a与球面与球面,),(0000001yxzxzyn),(0002zyxn 21/nn,因此有因此有20y20z2目录 上页

20、下页 返回 结束 1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt1)参数式情况参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0)(00zzt)(,)(,)(000tttT目录 上页 下页 返回 结束 切线方程切线方程法平面方程法平面方程000(,)(,)(,)(,)(,)(,)MMMxxyyzzF GF GF Gy zz xx y空间光滑曲线空间光滑曲线00(,):(,)F x y zG x y zMzyGF),(),(切向量切向量2

21、)一般式情况一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面空间光滑曲面0),(:zyxF曲面曲面 在点在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)(),()(),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况隐式情况.的的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(,),(,

22、),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面空间光滑曲面),(:yxfz)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2)显式情况显式情况.法线的法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量)1,(yxffn目录 上页 下页 返回 结束 29Thanks P103 题题3;4;8;.作业作业目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如果平面01633zyx与椭

23、球面相切,提示提示:设切点为,),(000zyxM则223yx.求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)目录 上页 下页 返回 结束 证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点,),(000zyxM则通过此0zz 作业作业 P99 2，4，6，7，10，11，12)(0 xxxzM)(0yyyzM2.设 f(u)可微,第七节 证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证:曲面上任一点的法向量,1F,)()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒(n(l,0nl目录 上页 下页 返回 结束 2.求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0)1()1(9)1(16zyx024916zyx即与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl