8弯曲的概念和力学模型的简化课件.ppt

1、12 8.1 弯曲的概念和力学模型的简化弯曲的概念和力学模型的简化起重机大梁起重机大梁1.1.工程实例工程实例ABF3车削工件车削工件4火车轮轴火车轮轴562 2、弯曲的概念、弯曲的概念受力特点：受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴线）作用。偶（其矢量垂直于杆轴线）作用。以弯曲为主要变形的杆件通称为以弯曲为主要变形的杆件通称为梁梁。梁梁变形特点：变形特点：1 1、直杆的轴线在变形后变为曲线；、直杆的轴线在变形后变为曲线；2 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。7常见弯

2、曲构件截面常见弯曲构件截面3 3、平面弯曲的概念、平面弯曲的概念8对称弯曲对称弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线9平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。对称弯曲对称弯曲 平面弯曲的特例。平面弯曲的特例。纵向对称面纵向对称面MP1P2q10 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力

3、偶和分布载荷。11固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶3.支座简化支座简化124.梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁M 集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力悬臂梁 集中力集中力Pq 均布力均布力外伸梁138.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 一、弯曲内力：一、弯曲内力：举例举例已知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)(,0 ,00 ,014ABPYAXARBmmx求内力截面法xYMmlalPYQYACA ,0)(,0AYAQMRBPMQ 弯曲构件内力剪

4、力弯矩1.弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC152.剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.内力的正负规定:剪力Q:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()16剪力：左上右下为正剪力：左上右下为正弯矩：左顺右逆为正弯矩：左顺右逆为正17 例例1：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求内力。1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。图（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例题二、例

5、题qqLab1122qLQ1AM1图（b）x118L)axq Q22(axqMqLxFmiB0)(21,0)(22222-2截面处截取的分离体如图（c）)ax(qQqLY0222222)(21qLxaxqMxy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（c）19例例2 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 0yF 0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFA xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA20截面截面11 0yF 01CM01aFM)(1顺顺FaMFF1S

6、截面截面22 0yF 02CM02aFM)(2顺顺FaM02SFFFAFFFFA22SM1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA21截面截面3303aFaFMA)(3逆逆FaMFFFB24S截面截面4404aFMB)(24顺顺FaM03SFFFAFFFFA23S xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB422内力内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1 1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧

7、梁段分离体的静力平衡方程来确定。右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。剪力值剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和面形心的力矩代数和 xAF B11224433Me=3FaFA=3FFB=-2F231.内力方程：内力与截面位置坐标 x 间的函数关系式。2.剪力图和弯矩图：)(xQQ 剪力方程)(xMM 弯矩方程)(xQQ 剪力图的图线表示)(xMM 弯矩图的图线表示三、剪力方程和弯矩方程三、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图24 例例 求下列各图示梁

8、的内力方程并画出内力图。PY)x(QO解：求支反力)Lx(PMxY)x(MOO 写出内力方程PL MPYOO;PYOL根据方程画内力图M(x)xQ(x)Q(x)xPMO25解：写出内力方程根据方程画内力图qx)x(Q221qx)x(MLqM(x)xQ(x)Q(x)x qL26 BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用点受集中力作用。试写出剪力和弯试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lF

9、a/lFab/x1AC axlFbxFS110/axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/lxalxlFaxM222/3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例例27 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM/l FBy-M/l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/

10、3.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。lM/lMb/CMab例例28 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用 试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/lxqxqlxxM02/2/23.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 例例29四、四、剪力、弯矩与分布载荷间的关系剪力、弯矩与分布载荷间的关

11、系30载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1.q q0 0，F Fs s=常数，常数，剪力图为直线；剪力图为直线；M M(x(x)为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s(x x)为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x(x)为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向下（分布载荷向下（q q 0 0q0QQ0 x斜

12、直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=PxQC自左向右突变无变化斜直线xM增函数xM降函数xMxMxMxM曲线坟状盆状自左向右折角M1 M2自左向右突变与m反mMM2142梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲8.3 8.3 纯纯弯曲时的正应力弯曲时的正应力43从三方面考虑：从三方面考虑：一、变形几何关系一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验作纯弯曲试验:变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 静

13、力学关系静力学关系444546梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。一个角度。4748横截面上只有正应力。平面假设平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。两 个 推 论两 个 推 论两 个 概 念两 个 概 念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。49 ()y dddCL8TU3-2yzdxydy

14、y50二、物理关系二、物理关系 E Eyyzdxyy 再作单向受力假设再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。：假设各纵向纤维之间互不挤压。51三、静力学关系三、静力学关系dANAxAdMzAyAdMyAzAd 0 0 MyzyzM52NAxAd0EyAAd0y AAd0Sz 0中性轴过形心MzAyAd0z EyAAd0Iyz0MyAMzAdy EyAMAd1MEIzEyAMA2dzIyMyE Ey531MEIzM yIz中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：正应力计算公式：正应力计算公式：中性轴过截面形心中性轴过截面形心54zM 0M 0横截面上的应力分布图：横截面上的应力分布图：z55

15、横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力：ZtIyM1maxyyy12max当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：ZcIyM2max,maxmaxmaxctMWZmaxmaxM yIZCzyy1y2WIyzzmax抗 弯 截 面 模 量56IbhZ312IdZ464IDdDZ()()444464641,WbhZ26,WdZ332WDZ34321()578.4 8.4 横力横力弯曲时的正应力和强度计算弯曲时的正应力和强度计算 上式是在上式是在和和的基础上推的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截

16、面产生对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。面。M yIzlh 558二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件 利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度梁的强度 已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸截面尺寸 已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷maxmax MWZ59例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试

17、求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m1112120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM3060q=60kN/mAB1m2m1112120zykNm5.678/3608/22max qLM451233m10832.5101218012012bhIz34m1048.62/zzIWMPa7.6110832.56060 5121zIyM求应力1803061MPa6.921048.66041max1zWMm4.1941060832.5200

18、11MEIzMPa2.1041048.65.674maxmaxzWM求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11121201803062 例例2：图示外伸梁，受均布载荷作用：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用，材料的许用应力应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。10kN/m2m4m10020063解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m10kN/m2m4m45kN15kN)kN(sF202515M()kN m201125.tzMWmax20100102632.30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全64分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（

19、3 3）计算）计算maxM（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号zW 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重重材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7.61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5.9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。zWMmaxmax（2 2）例例365（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（3 3）根据）根据 zWMmaxmax计算计算 33663maxcm962m109621014045.910)507.6(MWz （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩

20、图解：解：36c36c工字钢工字钢3cm962zW66作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置例4 467mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：68（4 4）B B截面校核截面校核 ttMPa2.27Pa102.271064.710521046633ma

21、x,ccMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图kN.m5.2kN.m469（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图 ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,kN.m5.2kN.m470 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以以maxmax MWZ 作为梁设计的主要依据。因此应使作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可尽可能地小，使能地小，使WZ尽可能地大。尽可能地大。71一一.降低降低 M Mmaxmax 合理布置支座合理布置支座FFF72合理布置支座合理布置支座73合理布置载荷合理布置载荷F74二二.增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面75合理设计截面合理设计截面7662bhWZ左62hbWZ右合理放置截面合理放置截面77三、等强度梁三、等强度梁 b xh78