4隐函数和高阶导数课件.ppt

1、第三节高阶导数高阶导数 第三三章 高阶导数的概念高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：变速直线运动定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为依次类推,分别记作则称设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)1(nnxan

2、n依次类推,nnany!)(233xa例例1.思考思考:设,)(为任意常数xy?)(nynnxnx)1()2)(1()()(问可得nx)1(,e3xaay 例例2.设求解解:特别有:解解:!)1(n规定 0!=1思考思考:,exay.)(ny,exaay,e2xaay xannaye)(xnxe)(e)(例例3.设,)1(lnxy求.)(ny,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,)1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1(!)1(2)1(1x,例例4.设,sin xy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(

3、2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n例例5设sin(),yaxb求().ny解解令,axbt利用复合函数求导法则可得sin();2yaaxb2sin(2);2yaaxb一般地,()sin().2nnnyaaxb类似可得cos()cos().2nnnaxbaaxb例例6设4cos,yx求().ny解解因为421cos211cos4cos()(12cos2)242xxxx1(34cos2cos4)8xx所以()1(04cos(2)2cos(4)4)822nnnnnyxx1232cos(2)2cos(4).22

4、nnnnxx例例7设1,yaxb求().ny解解21();()ayaxbaxb2232;()()aayaxbaxb233426;()()aayaxbaxb一般地,()1(1)!.()nnnnn ayaxb例例8设(0,0),axbyadbcccxd求().ny解解21,abcadydccxc利用例7的结果可得()21(1)!.()nnnbcadnydcxc例例9设ln(1),yx求().ny解解1,1yx 利用例7的结果可得1()(1)(1)!.(1)nnnnyx例例9.设bxyxasine解解:bxayxasine)cossin(exbbxbaxa求为常数,),(ba.)(nybxbxaco

5、se)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay)sin(ebxaxa222)()(nnbayxabae22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(enbxxa)cos(ebxbxa例例10.设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(fxxx06lim200)0(fxxx012lim200)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存在

6、._n2又0 x,24x0 x,12x阶数规律 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C为常数)()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn)1(规律规律规律规律vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证()()()0()Cnnkn kknkuvuv例例11.,e22xxy 求.)20(y解解:设,e22xv

7、ux则xkku2)(e2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼茨公式,得)20(yx220e22xx219e220 x2!219202x220e2)9520(2xxx218e2)20,2,1(k)20,3(k0!2)1()1(nynn)(nyn例例12.设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼茨公式求 n 阶导数)1(2xx22令,0 x得)0()1()0()1()1(nnynny),2,1(n由,0)0(y得,0)0(y,0)0()4(y,)0()12(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!

8、)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由,1)0(y得)0(!)2()1()0()12(ymymm目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程确定的函数的导数 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐

9、函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(注意 y=y(x)(含导数 的方程)y目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求由方程03275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddxxy0确定的隐函数目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程

10、为323y43)2(x即03843 yx目录 上页 下页 返回 结束 sin()yxy解解:设隐函数为sin(),yxy求.y将两端对x求导,cos()()cos()(1)yxy xyxyy即cos().1 cos()xyyxy 再将上式两端对x求导,得2sin()(1)cos().yxyyyxy 解得2sin()(1).cos()1xyyyxy将y代入,得2sin()cos()(1)cos()11cos()xyxyyxyxy 得3sin()cos()1xyxy例例3.目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4设0,0,yxxyxy求d.dyx解解两边都是幂指函数，yxxy两边取对数，得lnln

11、.yxxy两边对x求导,得lnln,yxyxyyyx即(ln)(ln)dyy xyyydxx yxx故对目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(

12、tt)(t)()()()()(3ttttt ytxytdd)dd(ddtxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得目录 上页 下页 返回 结束)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例5.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty注意注意:对谁求导?目录 上页 下页 返回 结束 例例6.抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为

13、,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则2212tgtvyyxO目录 上页 下页 返回 结束 yxO抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出(即 t=0)时,倾角为12arctanvv达到最高点的时刻高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向2vt g22vt g,2gvt 0ddty目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率三、

14、相关变化率)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率目录 上页 下页 返回 结束 例例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h=500m 时,1tan22tan1sec,2sec2tdd140500

15、12114.0)minrad/(目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002已知d100m min,dxt.ddtx500,m500 x求目录 上页 下页 返回 结束 试求当容器内水Rhxhr例例8.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的VhR231)(231xhrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd)scm(25dd3tV)scm(100dd2Rtx体积为 V,则Rxr目录 上页 下页 返回 结束 作业作业