231离散型随机变量的均值课件5.ppt
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- 231 离散 随机变量 均值 课件
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1、2.3.1 2.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值A 一般地一般地,设离散型随机变量设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为x x1 1,x x2 2,x xi i,取每一个值取每一个值x xi i(i i1 1,2 2,)的概率的概率P(P(x xi i)p pi i,则称下表则称下表为随机变量为随机变量的概率分布的概率分布.由概率的性质可知由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布都具有任一离散型随机变量的分布都具有下述两个性质:下述两个性质:x1x2xiPp1p2pi按按3:2:1的比例混合,混合糖果的比例混合,混合糖果中每一粒糖果的质量都相等中每一粒糖果的质量都相等.定价
2、为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理问题情景问题情景18元元/kg24元元/kg36元元/kgm千克混合糖果的总价格为千克混合糖果的总价格为321182436666mmm18元元/kg24元元/kg36元元/kg情景探究情景探究按按3:2:1混合以下糖果混合以下糖果 181824362436P XP XP X 平均价格为平均价格为32118243666632118243623/.666mmmmkg元元362418PX362616一一.离散型随机变量的均值或数学期望离散型随机变量的均值或数学期望 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 X X 的概率分布为的概率分布为
3、XP1x2x3xnx1p2p3pnp 1122nnXEXxpxpxp 均均值值则则称称为为随随机机变变量量的的或或,它它反反映映了了离离散散型型随随机机变变量量取取值值的的平平数数学学期期望望均均水水平平.1.定义定义2.2.性质性质 已知随机变量已知随机变量X X,其均值为其均值为E E(X X).).若若Y YaXaXb b,其中其中a a,b b为常数为常数,则则Y Y也是随机变量也是随机变量.并且随机变量并且随机变量Y Y的均值为:的均值为:E E(Y Y)=E E(aXaXb b)aEaE(X X)b b 1122112212()()().()(.)(.)().nnnnnE Yaxb
4、 paxb paxb pa x px px pb pppaE Xb pnxnpkxkp2x2p1x1PXpnaxn+bpkaxk+bp2ax2+bp1ax1+bPY随机变量随机变量X X的分布列为的分布列为:随机变量随机变量Y Y=aXaX+b b的分布列为:的分布列为:随机变量随机变量Y Y的数学期望是:的数学期望是:()()E aXbaE Xb即例例1.1.在篮球比赛中在篮球比赛中,罚球命中罚球命中1 1次得次得1 1分分,不中得不中得0 0分。如分。如果某运动员罚球命中的概率为果某运动员罚球命中的概率为0.70.7,那么他罚球那么他罚球1 1次的得次的得分分X X的均值是多少?的均值是多
5、少?X10P0.7 0.3()1 0.70 0.30.7.E X 解解:据题意据题意,X,X的分布列为的分布列为故他罚球故他罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是的均值是0.70.7一般地一般地,如果随机如果随机变量变量X X服从两点分服从两点分布布,那么那么E E(X X)=)=?X01P1 pp()10(1).E Xppp 若若X X服从两点分布服从两点分布,则则E E(X X)=)=p.p.二二.两点分布的均值两点分布的均值如果如果XB(n,p),那么,那么E(X)=?三三.二项分布的均值二项分布的均值若若XB(n,p),则则E(X)=np.注注:(1).:(1).随机变量的均值是常数
6、随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着而样本的平均值是随着样本的不同而变化的样本的不同而变化的.因此因此,样本的平均值是随机变量样本的平均值是随机变量;(2).若,都是离散型随机变量,则 E(a+)=aE()+E()0.40.132.45.81212,XB(20 0.9)(20,0.25)XXXB和则,1X2X1X2XE(5E(5 )5E5E()()5 518189090,1X2X1X2X1122()iinnE Xx px px px pP1xix2x1p2pipnxnpX()()E aXbaE XbpEX ()E Xnp如果如果XB(n,p),那么,那么E(X)=?1110.nkknkn
7、knpCp qnp 若若XB(n,p),则,则E(X)=np.111(1)101()nnkkn kkknknnkkE XkC p qnpCpq ()1(0 1 2)n kkknP XkC ppkn ,11.kknnkCnC 这这里里用用到到,请请自自己己证证明明则则E(X)p若若XH(N,M,n)则则E(X)nMN若若XB(n,p)则则E(X)np若若XB(1,p)各种不同概率模型下的数学期望各种不同概率模型下的数学期望例例1 甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量的随机变量X与与Y,且且X,Y的分布列为的分布列为:问:甲、乙两名射手谁的射击水平
8、高问:甲、乙两名射手谁的射击水平高?X123P0.3 0.1 0.6Y123P0.3 0.4 0.3()1 0.32 0.13 0.62.3E X ;()1 0.32 0.43 0.32.0.E Y 所以,甲射手比乙射手的射击水平高所以,甲射手比乙射手的射击水平高.解:解:例题讲解例题讲解设在一组数据设在一组数据x1,x2,xn中,各数据与它们的中,各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是:平均数的差的平方的平均值是:叫做这组叫做这组数据的方差数据的方差.2222121()()()nSxxxxxxn 方差说明了这组数据的波动情况方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义离散型随机变
9、量的方差定义对于离散型随机变量对于离散型随机变量X的概率分布如下表:的概率分布如下表:(其中其中pi0,i1,2,n;p1p2pn1)Xx1x2xnPp1p2pn(xi E(X)2 描述了描述了xi(i=1,2,n)相对于均值相对于均值E(X)的偏离程度,故的偏离程度,故(x1E(X)2 p1(x2E(X)2 p2.(xnE(X)2pn称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的方差方差,记为,记为D(X).其算术平方根为其算术平方根为X的的标准差标准差:记为记为()D X().X 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的的稳定与波动稳定与波动,集中
10、与分散集中与分散的程度的程度.离散型随机变量的方差定义离散型随机变量的方差定义定义深析定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别?012P0.40.20.4 012P0.10.80.1甲工人:甲工人:乙工人:乙工人:例例1 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件相等,所得次品数分别是加工的零件相等,所得次品数分别是 、,分布,分布列如下列如下:试求随机变量试求随机变量 、的期望和方差的期望和方差.解:解:1122()9()0.4()9()0.8.EDED ,;,从上可知,从上可知,.所以,在射所以,在
11、射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得环数的平击之前,可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近,均在均值很接近,均在9环左右,但射手甲所得的环数环左右,但射手甲所得的环数比较集中,得比较集中,得9环较多,而射手乙所得环数比较分环较多,而射手乙所得环数比较分散,得散,得8环和环和10环的次数要多些环的次数要多些.1212()()()()EEDD ,例题讲解例题讲解例例2 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,分布列如下表:分布列如下表:射手甲射手甲 射手乙射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平击水平.0
12、.4100.290.48概率概率p击中环数击中环数 2 20.2100.690.28概率概率p击中环数击中环数 1 1 (3)1()(1)XBpD Xpp若若,则则;2(2)()()D aXba D X;212221122()()()()()niiinnD XxE XpxE XpxE XpxE Xp 重要结论:重要结论:(4)()(1).XB npD Xnpp若若,则则 2222212(1)1nXD xsxxxxn对对于于 取取各各个个值值的的概概率率相相同同时时,;公式推广公式推广例例2 一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成,每个选择个选择题构成,每个选择题有题有4个选项,其中仅有一
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