101微分方程的基本概念课件.pptx

1、第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程10.1 10.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念10.2 10.2 一阶微分方程一阶微分方程10.3 10.3 高阶微分方程高阶微分方程10.4 10.4 差分方程的基本概念差分方程的基本概念10.5 10.5 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程10.6 10.6 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程10.7 10.7 微分方程与差分方程在经济学中的应用微分方程与差分方程在经济学中的应用 微积分研究的对象是函数关系微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中但在实际问题中,往往往很难直接得到所研究变量之间的函数关系往很难

2、直接得到所研究变量之间的函数关系,但却比较但却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的关系容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的关系,从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程,即微即微分方程分方程.微分方程是数学联系实际微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途并应用于实际的重要途径和桥梁径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具是各个学科进行科学研究的强有力的工具.在自然科学在自然科学,生物科学以及经济与管理科学中的许多生物科学以及经济与管理科学中的许多问题都可以建立起微分方程的数学模型问题都可以建立起微分方程的数学模型.例如例如,

3、物体的物体的冷却、人口的增长、电子波的传播等冷却、人口的增长、电子波的传播等.微分方程是一门独立的数学学科微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系有完整的理论体系.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常见的微本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常见的微分方程求解方法分方程求解方法.本章还介绍差分方程的一些基本概念本章还介绍差分方程的一些基本概念及一阶、二阶常系数线性差分方程求解方法及一阶、二阶常系数线性差分方程求解方法.最后将简最后将简单地介绍微分方程和差分方程在经济学中的应用单地介绍微分方程和差分方程在经济学中的应用.10.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一一.引例引例

4、二二.微分方程的概念微分方程的概念一一.引例引例例例1 已知曲线通过点已知曲线通过点(0,1)且在该曲线上的任一点且在该曲线上的任一点(,)Mxy处的切线斜率为处的切线斜率为2,x求该曲线方程求该曲线方程.解解设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y=f(x),根据导数的几何意根据导数的几何意义知道义知道,未知函数未知函数 应满足关系式应满足关系式 d2 (10.1.1)dyxx并且满足下列条件并且满足下列条件(0)1y将方程将方程(10.1.1)两端积分两端积分,得得22 d(10.1.2)yx xxC 将将(0)1y代入方程代入方程,得得 C=1.故所求曲线方程为故所求曲线方程为21yx

5、例例2 某种商品的需求量某种商品的需求量 Q 对价格对价格 p 的弹性为的弹性为-1.5p.已知该商品的最大需求量为已知该商品的最大需求量为800(即即 p=0 时的需求量时的需求量),求求需求量需求量 Q 与价格与价格 p 的函数关系的函数关系.解解 设所求的函数关系为设所求的函数关系为 Q=Q(p)则由题意可知，它应满足则由题意可知，它应满足d1.5 (10.1.3)d(0)800 (10.1.4)pQpQpQ 由由（10.1.4），得，得 C=800.即得所求函数关系为即得所求函数关系为1.5800pQe 1.5(10.1.5)pQCe 将将(10.1.3)式整理积分，得式整理积分，得

6、上述两个例子上述两个例子,有一个共同特点：有一个共同特点：它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数导它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数导数的方程的求解问题数的方程的求解问题.数学上数学上,人们把这种方程称为微人们把这种方程称为微分方程分方程.定义定义10.1.1 含有未知函数的导数含有未知函数的导数(或偏导数或偏导数)的方程的方程,称为称为微分方程微分方程.当未知函数是一元函数时当未知函数是一元函数时,称为称为常微分方程常微分方程;当当未知函数是多元函数时未知函数是多元函数时,称为称为偏微分方程偏微分方程.微分方程有时也微分方程有时也简称简称方程方程.二二.微分方程的概念微分方程

7、的概念例如例如,方程方程 d,d2sin,230,yxyx yxyyyxy 等都是常微分方程等都是常微分方程.(4)20yx222222220,uuuuuaxyzxt 等都是偏微分方程等都是偏微分方程.而方程而方程 定义定义10.1.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数的阶数,称为微分方程的称为微分方程的阶阶.例如例如,方程方程 d,()()dyxyp x yq xxy 都是一阶微分方程都是一阶微分方程,223yyyx 为二阶微分方程为二阶微分方程.一般地一般地,n阶微分方程的形式为阶微分方程的形式为()(,)0nF x y yy 其中其中 F 是

8、是 x,y,y,y(n)的已知函数的已知函数,x 为自变量为自变量,y为未知函数为未知函数,且方程中一定含有且方程中一定含有 y(n).()(1)(,)nnyf x y yy 其中其中 f 是是 x,y,y,y(n-1)的已知函数的已知函数.n阶微分方程的另一种形式为阶微分方程的另一种形式为 如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导数如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导数都是一次的都是一次的,则称方程为则称方程为线性微分方程线性微分方程.线性微分方程线性微分方程的一的一般形式为般形式为:()(1)1()()()nnnyax yax yf x 其中其中 a1(x)、a n-1(x

9、)、a n(x),f(x)都是都是 x 的已知的已知函数函数.其他形式的微分方程其他形式的微分方程,统称为统称为非线性微分方程非线性微分方程.例如例如32sin,23yx yxyyyx 是线性微分方程是线性微分方程 32()20,0yyyyyy 是非线性微分方程是非线性微分方程 定义定义10.1.3 设函数设函数 y=(x)在区间在区间上有连续的上有连续的n阶导阶导数数,并且对任意的并且对任意的 x,均有均有 ()(,(),(),()0nF xxxx 则称函数则称函数 y=(x)为微分方程在区间为微分方程在区间上的上的解解.可以验证函数可以验证函数220是方程 的解xyeyy sin,cos0

10、都是方程 的解yx yxyy 定义定义10.1.4 若若n阶微分方程的解中阶微分方程的解中,含有含有n个独立任意常个独立任意常数，则称其为方程的数，则称其为方程的通解通解;若若n阶微分方程的解中不含有阶微分方程的解中不含有任意常数，则称其为方程的任意常数，则称其为方程的特解特解.220是方程 的特解.xyeyy 例如例如220是方程 的通解xyCeyy 12sincos0是方程 的通解yCxCxyy 确定确定n阶微分方程通解中阶微分方程通解中n个独立的任意常数时个独立的任意常数时,通通常附加如下条件：常附加如下条件：000(1)011,nnxxxxxxyyyyyy 011,其中 是给定的 个数

11、值.nyyyn 我们称这组条件为微分方程的我们称这组条件为微分方程的初始条件初始条件.微分方程满微分方程满足初始条件的求解问题称为足初始条件的求解问题称为初值问题初值问题.n阶微分方程的初阶微分方程的初值问题通常记作值问题通常记作000()(1)(1)011(,),nnnnxxxyf x y yyyyyyyy 微分方程解的图形是一条曲线微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的叫做微分方程的积积分曲线分曲线.初值问题的几何意义初值问题的几何意义,就是求微分方程的通就是求微分方程的通的那条积分曲线的那条积分曲线.00(,)xy过点过点例例3 验证验证 函数函数 y=C1cosx+C2 sinx+

12、x 是微分方程是微分方程的特解的特解.yyx 的通解的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 001,3xxyy 解解 求出所给函数的导数求出所给函数的导数 C1 cosx C2 sin x+C1cos x+C2 sin x+x x12sincos1yCxCx 12cossinyCxCx 所以把所以把与yy 代入原方程，得代入原方程，得于是函数于是函数 y=C1cos x+C2 sin x+x 是给定方程的解是给定方程的解.提问与解答环节提问与解答环节Questions And Answers谢谢聆听谢谢聆听 学习学习就是就是为了达到一定目的而努力去干为了达到一定目的而努力去干,是是为一个目标去为一个目标去战胜各种困难的过程战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和这个过程会充满压力、痛苦和挫折挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal