无穷级数课件.ppt

1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1nnu即即1nnunuuuu321称上式为称上式为无穷级数无穷级数，其中第其中第 n 项项nu一般项一般项,或通项。或通项。级数的前级

2、数的前 n 项和项和次相加次相加,简记为简记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 nkknuS1叫做级数的叫做级数的nuuuu321称为级数的称为级数的部分和。部分和。记作记作并称并称 S 为级数的为级数的和和,收敛收敛,则称无穷级数则称无穷级数,lim存在存在若若SSnn1nnuS,lim不存在不存在若若nnS则称无穷级数则称无穷级数发散发散.当级数收敛时当级数收敛时,称差值称差值21nnnnuuSSr称为级数的称为级数的余项余项.显然显然0nnrlim(又称几何级数又称几何级数)(020aqaqaqaaqannn(q 称为公比称为公比)12nnqaqaqaaSqnqaa1时，时，）当）当1

3、1q,lim0nnq由于由于部分和部分和机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数收敛级数收敛,SqaSnn1lim,时时）当）当12q级数发散级数发散.)()(;ln)(1111211nnnnnn解解:(1)12lnnSnnln)ln()ln(ln)ln(ln12312)ln(1n）n(所以级数所以级数(1)发散发散;技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求和求和23ln34lnnn1ln机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)(11431321211nnSn211111n）n(1所以级数所以级数(2)收敛收敛,其和为其和为 1.31214131111nn技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求求

4、和和机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质1.若级数若级数1nnu收敛于收敛于 S,1nnuS则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛,即即其和为其和为 c S.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,1nnuS1nnv则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛,其和为其和为.S说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散,则则)(nnnvu 1必发散必发散.但若二级数都发散但若二级数都发散,)(nnnvu 1不一定发散不一定发散.例如例如,)(nnu21取取,)(121nnv0nnvu而而(1)性质性质2 表

5、明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响不会影响级数的敛散性级数的敛散性.证证:将级数将级数1nnu的前的前 k 项去掉项去掉,1nnku的部分和为的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同数敛散性相同.当级数收敛时当级数收敛时,其和的关系为其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同极限状况相同,故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于收敛级数

6、加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和原级数的和.证证:设收敛级数设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列),2,1(mm为原级数部分和为原级数部分和序列序列),2,1(nSn的一个子序列的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论:若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但但1111发散发散.因此必有因此必有例如例如，用反证法可证用反证法可证例如例如机动 目录 上页 下

7、页 返回 结束 141141131131121121解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散,从而原级数发散.nn121机动 目录 上页 下页 返回 结束 设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.lim0nnu证证:1nnnSSu1nnnnnnSSulimlimlim0SS可见可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,)(11544332211nnn其一般项为其一般项为111nnunn)(不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散.nun,时时当当机动 目

8、录 上页 下页 返回 结束 0nnulim并并非非级数收敛的充分条件级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数nnn13121111虽然虽然，01nunnnlimlim但此级数发散但此级数发散.事实上事实上,假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S,则则02)(limnnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾!所以假设不真所以假设不真.21机动 目录 上页 下页 返回 结束;!)(11nnnnne解解:(1)令,!nnnnneu 则nnuu1nne)(11),(211n故故euuunn11从而从而,lim0nnu所以级数所以级数(1)发散发散.111)1()1(nnnn

9、e1111nnnne)(!)(nnnne!机动 目录 上页 下页 返回 结束;!)(122nnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)令,!nnnnnu2则nnnuu1lime21所以级数所以级数(2)收敛收敛.11112nnnn)(!)(nnnn!2nlimnnn112lim的充分必要条件是的充分必要条件是:定理：定理：收敛收敛级数级数1nnu,0,ZNuuupnnn21时，时，当当Nn,Zp对任意对任意有有证证:设所给级数部分和数列为设所给级数部分和数列为),(21nSn因为因为npnpnnnSSuuu21所以所以,利用数列利用数列),(21nSn的柯西收敛原理的柯西收敛原理即得本定

10、理的结论即得本定理的结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束.的敛散性的敛散性121nnpnnnuuu21解解:,Zp对任意对任意有有利用柯西收敛原理判别级数利用柯西收敛原理判别级数 22212111)()()(pnnn)()()(pnpnnnnn1121111)()()(pnpnnnnn1112111111pnn11n1机动 目录 上页 下页 返回 结束,0，取取N1当当 nN 时时,Zp对任意对任意都有都有nuuupnnn121由柯西审敛原理可知由柯西审敛原理可知,级数级数.收敛收敛121nn第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与

11、条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若,0nu1nnu定理定理 1.正项级数正项级数1nnu收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是部分和序列部分和序列nS有界有界.若若1nnu收敛收敛,收敛收敛则则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界,故故nS1nnu从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项正项级数级数.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”机动 目录 上页 下页 返回 结束,Zn,nnvku 都有都有设设,1nnu1nnv且

12、存在且存在,ZN对一切对一切,Nn 有有(1)若若强强级数级数1nnv则则弱弱级数级数1nnu(2)若若弱弱级数级数1nnu则则强强级数级数1nnv证证:设对一切设对一切和和令令nSn则有则有收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.分别表示分别表示弱弱级数和级数和强强级数的部分和级数的部分和,nnvku 是两个是两个正项级数正项级数,(常数常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨故不妨机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)若若强强级数级数1nnv则有则有nn lim因此对一切因此对一切,Zn有有nS由定

13、理由定理 1 可知可知,1nnu则有则有(2)若若弱弱级数级数1nnu,limnnS因此因此,limnn这说明这说明强强级数级数1nnv也发散也发散.knSnk也收敛也收敛.发散发散,收敛收敛,弱弱级数级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有则有pppn131211(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.解解:1)当当,1p而调和级数而调和级数11nn由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数11npnn1发散发散.发散发散,pn1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,1pp 级数级数11npn收敛收敛11npn若存在若存在,ZN对一切对一切,Nn,)(nun11,

14、)()(112pnupn.收敛收敛则则1nnu;发发散散则则1nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 11nn证明级数证明级数1)1(1nnn发散发散.证证:因为因为21111)()(nnn),2,1(11nn而级数而级数111nn21kk发散发散根据比较判别法可知根据比较判别法可知,所给级数发散所给级数发散.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,1nnu1nnv,limlvunnn则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0,收敛时收敛时且且1nnv;也收敛也收敛1nnu(3)当当 l=,发散时发散时且且1nnv.也发散也发散1nnu证证

15、:据极限定义据极限定义,0对对,ZN存在存在lvunn)(l设两正项级数设两正项级数满足满足(1)当当 0 l 时时,时时当当Nn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 nnnvluvl)()(,l取由由定理定理 2 可知可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;)(Nn),()(Nnvlunn利用利用(3)当当l=时时,ZN存在,时当Nn,1nnvu即即nnvu 由由定理定理2可知可知,若若1nnv发散发散,;也收敛也收敛则则1nnu(1)当当0 l 0,nnnnvvuu22,又因又因)(222nnvu)()(Nnvunn 2由比较判别法，可证。由比较

16、判别法，可证。都收敛都收敛,证明级数证明级数当当n N 时时2)(nnvu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数nnnnnuuuuu13211111)()(称为称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法判别法)若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数;),()2111nuunn,lim)02nnunnnu111)(收敛收敛,且其和且其和,1uS,210nun设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:)()()(nnnuuuuuuS21243212)()()(1222543212nnnuuuu

17、uuuS1u是单调递增有界数列是单调递增有界数列,nS212uSSnnlim又又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2 lim故级数收敛于故级数收敛于S,且且,1uS 0nu2故故S机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nnnnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 !)1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:对任意

18、项级数对任意项级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散,则称原级则称原级1111nnn)(,!)()(11111nnn11101nnnn)(1nnu收敛收敛,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛.均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛绝对收敛；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证:设设1nnunv),2,1(n根据比较判别法根据比较判别法显然显然,0nv1nnv收敛收敛,收敛收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛也收敛)(nnuu 21且且nv,nu收

19、敛收敛,令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束.)()(;sin)(1214121nnnnennn证证:(1),sin441nnn而而141nn收敛收敛,14nnnsin收敛收敛因此因此14nnnsin绝对收敛绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)令,nnenu2nnnuu1lim limn121nen)(nen2211nnenlim11e因此因此121nnnen)(121nnnen)(收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束;ln)()(1113nnnn;)()(1111npnn;sin)()(111112nnnn.!)()()(11

20、114nnnnn解解:(1)P 1 时时,绝对收敛绝对收敛;0 0,使使阿贝尔阿贝尔 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当 时时,0 xx 00nnxxM收敛收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛.也收敛也收敛,反之反之,若当若当0 xx 时该幂级数发散时该幂级数发散,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点1x01xx0 x满足不等式满足不等式0 xx 所以若当所以若当0 xx 满足满足且使级数收敛且使级数收敛,面的证明可知面的证明可知,级数在点级数在点故假设不真故假设不真.的的 x,原幂级数也原幂级数也发散发散.时幂级数发散时幂级数发散,则对

21、一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛,与所设矛盾与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕证毕机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 幂级数在幂级数在(,+)收敛收敛;由由Abel 定理可以看出定理可以看出,0nnnxa中心的区间中心的区间.用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R=0 时时,幂级数仅在幂级数仅在 x=0 收敛收敛;R=时时,0 R幂级数在幂级数在(R,R)收敛收敛;(R,R)加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径，在

22、在R,R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.Rx外发散外发散;在在(R,R)称为称为收敛区间收敛区间.ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xaaxaxannnnnnnn111limlim0nnnxa的系数满足的系数满足,limaannn1;R1;R.0R证证:1)若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当,1x原级数收敛原级数收敛;当当,1x原级数发散原级数发散.x即即x1时时,1)当当 0 时时,2)当当 0 时时,3)当当 时时,即即时时,则则 x1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

23、 结束结束 收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径2)若若,0则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛绝对收敛,3)若若,则对除则对除 x=0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散,.0R对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明:据此定理据此定理1nnnaaRlim因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径.R1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对端点对端点 x=1,1nnnaaRlimnxxxxnn 132132)(的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点对端点 x=1

24、,级数为交错级数级数为交错级数,1)1(11nnn收敛收敛;级数为级数为,11nn发散发散.,(11故收敛域为故收敛域为 limn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .!)(;!)(nnnnxnxn00211解解:(1)limlimnnnnaaR1!1n)1(limnn所以收敛域为所以收敛域为.),(2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n11limnn0所以级数仅在所以级数仅在 x=0 处收敛处收敛.规定规定:0!=1!)1(1n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 nnxnn2022)!(!)(求幂级数求幂级数的收敛半径的收敛半径.解解

25、:级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2!)1(!)1(2nn2!2nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x当当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为.21R21x即即142x当当21x即即)1(2nxnx2故直接由故直接由机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 121nnnnx)(求幂级数求幂级数的收敛域的收敛域.解解:令令,1 xt级数变为级数变为nnntn1211nnnaaRlimnnnnn2121)(lim

26、2当当 t=2 时时,级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;当当 t=2 时时,级数为级数为,)1(1nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;的收敛域为的收敛域为,)22，故故原级数的收敛域为原级数的收敛域为,212x).31，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以所以nnntn121因此级数因此级数nnnxa0的收敛半径的收敛半径,0R)(xS数数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,101nnnxna),(RRx则其和函则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续,且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项

27、求积分逐项求积分,运算前后运算前后收敛半径相同收敛半径相同:注注:逐项积分时逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1nnxn求幂级数求幂级数的和函数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发时级数发,),(时时故当故当11x1nnxnxS)(1nnxx)(xxx12)1(xx.)(xS11nnxnx1nnxx散散,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6.已知已知nnnxa00 xx 在在处条件收敛处条件收敛,问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半

28、径是多少?答答:根据根据Abel 定理可知定理可知,级数在级数在0 xx 收敛收敛,0 xx 时发散时发散.故收敛半径为故收敛半径为.0 xR 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.幂级数幂级数nnnnx0212)(求收敛半径求收敛半径?解：因为解：因为故原级数当故原级数当2x时级数收敛时级数收敛,2x时级数发散时级数发散,故故.2R机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 nnnxu)(lim212xnnn)(lim2xnnnxn2122)()()(limxuxunnn1解解:因因)(12121nnxn22xnnxn22,122x当当时，时，即

29、即22x,时时当当2x故收敛区间为故收敛区间为.),(22级数收敛级数收敛;一般项一般项nun不趋于不趋于0,nlim级数发散级数发散;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )1ln()(xxf展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:xxf11)()()(1110 xxnnnxxxxnnnd)()ln(0011,1)1(01nnnxn收敛域为收敛域为.(11，利用此题可得利用此题可得11)1(41312112lnnn11x11xx 1时，时，收敛收敛,于是于是机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x-1时，时，发散发散,3412 xx展成 x1 的

30、幂级数.解解:)3)(1(13412xxxx)3(21)1(21xx 14121xnnnnx)()(1210nnnnx)()(1410nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x 18141x机动 目录 上页 下页 返回 结束,展开成展开成 x-3 的幂级数的幂级数,解解:)(21523x0392192nnnnx)()(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )2ln()(32xxxf)(xf11322xx)ln()2ln()(13xxxf)()(3213292xx)()(23121932192xx0321121nnnnx)()()(51 x01132192

31、1nnnnnx)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xf)()(d)(33fxfxxfx1832ln)2ln(xx)(xfxxnxnnnnd)()(ln0311321921180111321921118nnnnnxn)()(ln)(51 x机动 目录 上页 下页 返回 结束,(511135219211nnnnnnx)()(5时，级数时，级数当当1132192118nnnnnxn)()(ln收敛收敛当当 x=1 时，级数发散，时，级数发散，故级数收敛域为故级数收敛域为一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶

32、级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十一章 FourierFourier级数级数 定理定理 2.设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn其中其中),(dcos)(101nxnxxfan),(dsin)(211nxnxxfbn机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 f(x)是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数,并满足并满足条件条件:1)连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点;2)至多只有有限个极值点至多只有有限个极值点,则则 f(x)的的Fourier级数收敛级数收

33、敛,并且并且102nnnnxbnxaasincos,)(xf,)()(2xfxf x 为间断点为间断点 x 为连续点为连续点简介简介 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 f(x)xoy上的表达式为上的表达式为),xxxxf0,00,)(将将 f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数.解解:xxfad)(10 xnxxfandcos)(122cos1nn2332设设 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,它在它在 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),2,1(k12 knkn2,0,2)12(2k),2,1(nxnxxfbndsin)(1nn 1

34、)1()(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 25251xxxf,)(),(20机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.周期为周期为2 的的奇、偶函数的奇、偶函数的Fourier级数级数定理定理4.对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f(x),其傅里叶其傅里叶级数级数为为周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f(x),其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数,),2,1,0(dcos)(20nxnxxfan),3,2,1(0nbn),2,1,0(0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的的表达式为表达式为 f(x)x,将将 f(x)展成展成Fourier级数级数.是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在上),)(xf解解:延拓延拓把把)(xf为周期为为周期为 2 的奇函数的奇函数,yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n因此因此nncos21)1(2nn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(xf12nnxnnsin)1(1xxx,),(,0