第2章维纳滤波和卡尔曼滤波课件.ppt

1、15315:38:3612023年1月23日星期一第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 维纳维纳(Weiner)(Weiner)滤波器的离散时域解滤波器的离散时域解 2.3 2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的z z域解域解 2.4 2.4 维纳预测维纳预测 2.5 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman(Kalman)滤波滤波 15315:38:3622023年1月23日星期一2.1 引引 言言 2.1 引引 言言 随机信号处理讨论的滤波问题随机信号处理讨论的滤波问题：就是一个估计问题，或者说是从噪声中提取信号噪声中提取信号、抑制噪声抑制噪声。本章介绍维纳(

2、Wiener)滤波器和卡尔曼(Kalman)滤波器。通常可以将观测数据x(n)表示为信号s(n)与噪声v(n)之和。x(n)=s(n)+v(n)（2.1.1）()s n()x n()v n15315:38:3632023年1月23日星期一滤波的目的滤波的目的：利用滤波系统h(n)取出有用信号s(n)，s(n)又称为期望信号期望信号，h(n)就是估计器。主要问题主要问题：设计滤波器h(n)，使滤波器输出y(n)是s(n)的一个最佳估计。采用不同的最佳准则，估计结果可能不同。这样的滤波，通信中称为波形估计波形估计；自动控制中，称为动态估计动态估计。)()()()(nhnxnsny2.1 引引 言言

3、 h(n)x(n)s(n)v(n)y(n)(ns15315:38:3642023年1月23日星期一三种估计形式三种估计形式：(1)预测问题：已知x(n-1),x(n-2),x(n-m)，估计s(n+N),N0(2)过滤或滤波：已知x(n-1),x(n-2),x(n-m)，估计s(n)(3)平滑或内插:已知x(n-1),x(n-2),x(n-m)，估计s(n-N),N1维纳滤波维纳滤波WF与卡尔曼滤波与卡尔曼滤波KF：属于过滤或预测问题过滤或预测问题，采用最小均方误差准则(MMSE)为最佳准则。MMSE:Minimum Mean Square Error。)()()(nsnsne误差)()(E)

4、(E22nsnsne均方误差2.1 引引 言言 15315:38:3652023年1月23日星期一维纳滤波器与卡尔曼滤波器比较：维纳滤波器与卡尔曼滤波器比较：名称名称已知数据已知数据需要计算需要计算计算结果计算结果适用适用条件条件求解方法求解方法提出提出年代年代维纳滤波器x(n-1),x(n-2),.相关函数H(z)或h(n)平稳解析形式40年代卡尔曼滤波器前一个估计值和最近的观察状态方程量测方程状态变量估计值平稳或非平稳递推算法60年代2.1 引引 言言 15315:38:3662023年1月23日星期一2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 2.2 维纳滤波器的离散形

5、式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法维纳滤波器时域求解的方法考虑到系统的因果性，即h(n)=0，nhj，设hj=aj+jbj为复数，考虑复变量求导问题。222|()|()|()|j,0jjjE e nE e nE e njhab定义求导符号：jjjjab（2.2.）维纳滤波的极小值问题变为：0|)(|2neEj（2.2.8）2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:3682023年1月23日星期一展开(2.2.8)式:：2*|()|()()()()()()()()j()j()jjjjjjE e nE e n e ne n

6、e ne ne nEe ne ne ne naabb(2.2.9)分别计算(2.2.9）每一项：*()()(),j()()()(),j()jjjje ne nx njx njabe ne nx njx njab 0)()()(jjjnxhndne2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解()()j()h na nb n15315:38:3692023年1月23日星期一整理上面结果，得：)()(2|)(|*2nejnxEneEj（2.2.14)因此，使均方误差最小的充要条件描述如下：Ex*(n-j)e(n)=0 j=0,1,2,（2.2.15）结论结论：均方误差达到最小值的充要

7、条件是误差信号与任一进入均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计器的输入信号正交估计器的输入信号正交。这就是著名的正交性原理正交性原理。正交性原理的重要意义正交性原理的重要意义：它提供了一个简便的数学方法，来判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36102023年1月23日星期一 假定滤波器工作于最佳状态，相应滤波器输出yopt(n)与估计误差为eopt(n)，则有 0)()(*optnenyEopt(2.2.17)最佳状态下的信号关系最佳状态下的信号关系(向量和几何表示向量和几何表示)：)()()(op

8、toptnnneyd|2opt22dopteEy2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 上式假定输入和期望信号为0均值。eopt(n)d(n)yopt(n)15315:38:36112023年1月23日星期一2.2.2 维纳维纳霍夫霍夫(Wiener-Hopf)方程方程重写正交性原理公式(2.2.15):0)()()()(0*mmnxmhndknxE0),()()(0*kkmrmhkrmxxdx对上式取共轭，利用 ryx(-k)=r*xy(k)可得维纳霍夫方程维纳霍夫方程:0),()()()()(0kkrkhmkrmhkrxxmxxxd(2.2.20)2.2 维纳滤波器的

9、离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36122023年1月23日星期一特殊情况下的维纳霍夫方程特殊情况下的维纳霍夫方程：h(n)是长度为M的因果序列，或h(n)是长度为M的FIR滤波器。0),()()()()(10kkrkhmkrmhkrxxMmxxxd(2.2.21)上式取M个k值，得M个方程：k=0：h0rxx(0)+h1rxx(1)+hM1rxx(M-1)=rxd(0)k=1：h0rxx(1)+h2rxx(0)+hM1rxx(M-2)=rxd(1)k=M-1：h0rxx(M-1)+h1rxx(M-2)+hM1rxx(0)=rxd(M-1)2.2 维纳滤波器的离散形

10、式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36132023年1月23日星期一维纳霍夫方程维纳霍夫方程(Wiener-Hopf)的矩阵形式：的矩阵形式：)1()1()0()0()2()1()2()0()1()1()1()0(110MrrrhhhrMrMrMrrrMrrrxdxdxdMxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxRhR(2.2.23)维纳滤波器的最佳解：维纳滤波器的最佳解：xdxxRRh1(2.2.24)存在问题存在问题：求维纳滤波器的时域因果解，需要矩阵求逆，计算量大(M3)，不是一个有效的方法。2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315

11、:38:36142023年1月23日星期一clc;close all;clear all;%信号产生%观测点数N=2000;n=linspace(0,1200,N);%信号d=2*sin(pi*n/128+pi/3);%噪声（方差1.25）v=sqrt(1.25)*randn(N,1);%观测样本值x=d+v;2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36152023年1月23日星期一%设计维纳滤波器tic%观测信号自相关C,lags=xcorr(x,N,biased);%自相关矩阵R_xx，N 阶滤波器R_xx=toeplitz(C(N+1:end);%

12、x,d 互相关函数R_xdR_xd=xcorr(d,x,N,biased);R_xd=R_xd(N+1:end);%维纳-霍夫方程Wopt=inv(R_xx)*R_xd;2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36162023年1月23日星期一%滤波y=filter(Wopt,1,x);%误差En=d-y;%结果figure,plot(n,d,r:,n,y,b-);legend(维纳滤波信号真值,维纳滤波估计值);title(期望信号与滤波结果对比);xlabel(观测点数);ylabel(信号幅度);figure,plot(n,En);title(维纳

13、滤波误差曲线);xlabel(观测点数);ylabel(误差幅度);toc2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36172023年1月23日星期一2.2.3 估计误差的均方值估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，可以得到 122*0111*000|()|()|()()()()()()()()()()MkMMMkkiE e nE d nh k E x nk d nh k E x nk dnh k h i E x nk x ni(2.2.25)2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:

14、38:36182023年1月23日星期一进一步化简得到*T111122*00002*T*T11T21*T|()|()()()()()()()()()(*)()()MMMMdxdxdxxkkkidxdxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxdE e nh k rkh k rkh k h i r ikhRRhhR hhRRhRR RR RR说明说明：均方误差与h(n)是一个二次函数关系，因此存在极小值。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取得最小值。optxddxdxxxddneEhRRRRT*21T*2min2)()(|)(|2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315

15、:38:36192023年1月23日星期一例2.2.1 设y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪声，方差22=0.1。期望信号x1(n)的信号模型如图2.2.2（a）所示，其中白噪声v1(n)的方差21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信号模型如图2.2.2（b）所示，b1=-0.9458。假定v1(n)与v2(n)、x1(n)与y(n)不相关，并都是实信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波器是一长度为2的FIR滤波器。2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36202023年1月23日星期一图 2.2.2 输入信

16、号与观测数据的模型 2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36212023年1月23日星期一 解解 这个问题属于直接应用维纳-霍夫方程的典型问题，其关键在于求出观测信号的自相关函数和观测信号与期望信号的互相关函数。图 2.2.3 维纳滤波器的框图 H1(z)H2(z)v1(n)x1(n)x(n)y(n)v2(n)2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36222023年1月23日星期一根据题意，画出维纳滤波器的框图，如图2.2.3所示。用H1(z)和H2(z)分别表示x1(n)和x(n)的信号模型，输入信号x(n

17、)可以看作是v1(n)通过H1(z)和H(z)级联后的输出，H1(z)和H(z)级联后的等效系统用H(z)表示，输出信号y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求输出信号的自相关函数矩阵Ryy和输出信号与期望信号的互相关矩阵Ryd是解决问题的关键。相关函数矩阵由相关函数值组成，已知x(n)与v2(n)不相关，那么)()()(22mrmrmrvvxxyy2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36232023年1月23日星期一(1)求出期望信号的方差。根据图2.2.2(a)，期望信号的时间序列模型所对应的差分方程为 x1(n)=v1(n)-b0 x1(

18、n-1)这里，b0=0.8458,由于x1(n)的均值为零，其方差与自相关函数在零点的值相等。22021212111021212111)1()1()(2)()()0(xxxbnxbnxnvbnvEnxER9486.0)8458.0(127.0122021221bxd2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36242023年1月23日星期一(2)计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已信号模型，就可以求出自相关函数。这里，信号模型为12111()()()(10.8458)(10.9458)H zH

19、z Hzzz对应的差分方程为 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n)式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值为零，因此 x(n)的均值为0。方程两边同乘以x*(n-m)，并取数学期望，得 rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx(m-2)=0 m0(1)rxx(0)+a1rxx(1)+a2rxx(2)=21 m=0(2)2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36252023年1月23日星期一对方程（1）取m=1,2，得到 rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0(3)rxx(2)+a1r

20、xx(1)+a2rxx(0)=0(4)方程（2）、（3）、（4）联立求解，得 5.08.011.01)1(1)1.0()8.01(27.08.018.01)1(11)0(2122212221222aaraaaarxxxxx15.05.01)0()1()1()0(xxxxxxxxxxrrrrR2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36262023年1月23日星期一v2(n)是一个零均值的白噪声，它的自相关函数矩阵呈对角形，且，22)0(22vvr1.0001.0)0()1()1()0(2222222222vvvvvvvvvvrrrrR因此，输出信号的自相

21、关Ryy为 1.15.05.01.1)0()0()1()1()1()0()0()1()1()0(22222222vvxxvvxxvvxxvvxxyyyyyyyyyyrrrrrrrrrrrrR2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36272023年1月23日星期一(3)计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。由于两个信号都是实信号，故 ryd(m)=Ey(n)d(n-m)=Ey(n)x1(n-m)=E(x(n)+v2(n)x1(n-m)=Ex(n)x1(n-m)m=0,1 根据图2.2.2系统H2(z)的输入与输出的关系,有 x1(n)-b1x(n-1)

22、=x(n)x1(n)=x(n)+b1x(n-1)这样 ryd(m)=Ex(n)x1(n-m)=Ex(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m)=rxx(m)+b1rxx(m-1)2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36282023年1月23日星期一将m=0,m=1代入上式,得 ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.94580.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+b1rxx(0)=0.5-0.94581=-0.4458 因此，输出信号与期望信号的互相关为 4458.05272.0)1()0(ydydydrrR求出输出自相关的逆矩

23、阵,并乘以Ryd,可得维纳最佳解Wopt:1122(0)(1)(0)(1)1.14560.52081(0)(1)(1)(0)(1)(0)0.5208 1.1456yyrrrrRrrrrrr2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36292023年1月23日星期一7853.08360.0458.05272.01456.15428.05208.01456.11ydyyoptRRW把Wopt代入（2.2.27）式，可计算出维纳滤波器达到最佳状态时均方误差，即均方误差有最小值E|e(n)|2min，22*Tminopt|()|()0.94860.83600.52

24、720.44580.15790.7583dydE e nRW2.2 维纳滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 15315:38:36302023年1月23日星期一2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 不考虑滤波器因果性的维纳霍夫方程可以写为)()()()()(krkhmkrmhkrxxmxxxd设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换：Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)()()(zSzSzHxxxsopt不考虑因果性维纳滤波器(2.3.2)15315:38:36312023年1月23日星期一进一步简化进一步简

25、化(2.3.2)：考虑期望信号和噪声不相关，rsv(m)=0 Sxs(z)=S(s+v)s(z)=Sss(z)+Svs(z),Sxs(z)=Sss(z)，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)()()()()()(zSzSzSzSzSzHvvssssxxxsopt物理意义物理意义：噪声=0信号全部通过；信号=0噪声全部抑制(2.3.5)Hopt(ej)PSS(ej)Pvv(ej)02.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 频谱频谱噪声)(信号)(jvvjssePeP15315:38:36322023年1月23日星期一 讨论：讨论：(1)不考虑因果性的维纳滤波器Z域解非常简单。(2)

26、如果考虑因果性，维纳滤波器在Z域不能直接求解。Bode和Shannon提出了白化滤波器的方法较好的解决了这个问题。白化滤波器白化滤波器：对于具有有理谱的随机信号x(n)可用MA模型描述，并且B(z)已知，可以设计出逆滤波器B-1(z)。如果逆滤波器输入为x(n)，则逆滤波器输出为白噪声。B(z)(n)x(n)B1(z)(n)x(n)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 白化滤波器15315:38:36332023年1月23日星期一 维纳滤波器求解思路维纳滤波器求解思路：用白噪声作为待求滤波器G(z)的输入，假设1/B(z)为x(n)白化滤波器传输函数，那么维纳滤波器传输函数可以表

27、示为)()()(zBzGzH(2.3.7)因此维纳滤波器的求解转化为G(z)的求解。(n)x(n)G(z)y(n)s(n)(1zB2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 下面分两种情况讨论：非因果系统和因果系统非因果系统和因果系统。15315:38:36342023年1月23日星期一kknkgngnnsny)()()()()()(2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解 依据前面讨论的思路，下面的问题就是求解满足下列条件的g(n)或G(z)，其中 为白噪声。)(nG(z)或g(n)(n)()(nsny2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:3

28、8:36352023年1月23日星期一kskskrkrkgrknkgnsEneE222ss22|)()()0()()()(|)(|(2.3.9)计算均方估计误差计算均方估计误差：使均方误差为最小的充要条件是：0)()(krkgs-k(2.3.10)g(n)的最佳值：2)()(krkgsopt-k(2.3.11)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 222*22*()()()()()()()()()()()()()(0)()()()(kkrkksswwskkE e nEs ng k w nkEs nEg k g r w nk w nkEg k w nk s ng k w nk s

29、nrg kg k rkg *)()wskk rk15315:38:36362023年1月23日星期一G(z)的最佳值：2)()(zSzGsopt(2.3.12)非因果维纳滤波器的最佳解为)()(1)()()(2optoptzBzSzBzGzHs(2.3.13)考虑s(n)=s(n)*(n)和x(n)=(n)*b(n)，由相关卷积定理得：rxs(m)=rs(m)*b(-m)(2.3.14)Sxs(z)=Ss(z)B(z-1)()()(1zBzSzSxss(2.3.15)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36372023年1月23日星期一 综合上面的结果，并考虑

30、x(n)的MA模型，可得维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式)()()()()(11)(12optzSzSzBzSzBzHxxxsxs(2.3.16)假定信号与噪声不相关，即Es(n)v(n)=0：rxs(m)=Es(n)+v(n)s(n+m)=rss(m)rxx(m)=Es(n)+v(n)s(n+m)+v(n+m)=rss(m)+rvv(m)Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)(2.3.17)(2.3.18)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36382023年1月23日星期一)()()(1zBzSzSsss（2.3.19)非因

31、非因果维纳滤波器的复频域最佳解果维纳滤波器的复频域最佳解：)()()()()()(optzSzSzSzSzSzHvvssssxxxs)()()()e()e()e()e(jjjjoptvvssssvvssssPPPSSSH（2.3.20)（2.3.21)说明说明：上述结果与(2.3.5)式一样，但获得的方法是不一样的。2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36392023年1月23日星期一下面推导最小均方误差E|e(n)|2min。kssskrrneE22min2|)(|)0(|)(|(1)用围线积分法求rss(0):CmsssszzzSmrd)(j21)(1(2

32、.3.22)CsssszzzSrd)(j21)0(1(2.3.23)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36402023年1月23日星期一zzzXzXnxCnd)(j21|)(|12(2.3.25)zzzSzSkrCssnsd)()(j21|)(|12(2.3.26)综合(1)和(2)得到:zzzSzSzSneEsssCd)()(1)(j21|)(|12min2(2.3.27)(2)计算 nskr2|)(|复卷积定理2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解*11()()()()2Cndzx n y nX z Yjzz()()ssrkSzZ15315:

33、38:36412023年1月23日星期一进一步简化：zzzSzHzSzzzBzSzBzSzSneEssoptssCsssssCd)()()(j21d)()()()(1)(j21|)(|1112min2(2.3.28)考虑实信号自相关函数是偶函数以及信号与噪声不相关：CxxvvssCssxxsssszzzSzSzSzzzSzSzSzSneEd)()()(j21d)()()()(j21|)(|1min2(2.3.30)()()()()(1zSzSzSzSzSvvssxxssss2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36422023年1月23日星期一2.3.2 因果维

34、纳滤波器的求解因果维纳滤波器的求解 若维纳滤波器是因果滤波器，要求 g(n)=0 n0 0)()()()()()(kknkgngnnsny估计误差的均方值：估计误差的均方值：E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2(2.3.32)(2.3.31)022202|)(|1)()()0(|)(|kskssskrkrkgrneE2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36432023年1月23日星期一使均方误差取得最小值的充要条件使均方误差取得最小值的充要条件：)()(0,00,)()(22optnunrnnnrngss(2.3.34)先计算：)(1)(ZT)()()

35、()()(2opt0zSngzGznrznunrzSsoptnnsnnss(2.3.35)(2.3.36)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36442023年1月23日星期一因果系统因果系统G(zG(z)的最佳解的最佳解：)()(1)(12optzBzSzGxs(2.3.37)因果维纳滤波器的复频域最佳解因果维纳滤波器的复频域最佳解：)()()(11)()()(12optzBzSzBzBzGzHxsopt(2.3.38)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36452023年1月23日星期一计算最小均方误差：计算最小均方误差：

36、zzzSzHzSzzzBzSzBzSzSzzzSzSrkrkukrrkrrneExsssCxsxsssCsCssskssssksssd)()()(j21d)()()()(1)(j21d)()(1j21)0()()()(1)0(|)(|)0(|)(|1opt11212*2022min2(2.3.39)2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36462023年1月23日星期一结论结论:(1)因果维纳滤波器最小均方误差与非因果维纳滤波器最小均方误差的形式相同，但公式中的Hopt(z)的表达式不同。(2)非因果E|e(n)|2min一定小于等于因果E|e(n)|2min,

37、，原因如下kssskrrneE22min2|)(|)0(|)(|非因果：022min2|)(|)0(|)(|kssskrrneE因果：(3)具体计算时,可以选择单位圆作为积分曲线，应用留数定理，通过计算积分函数在单位圆内极点的留数来得到。2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36472023年1月23日星期一因果维纳滤波器的设计步骤因果维纳滤波器的设计步骤：(1)根据观测信号x(n)的功率谱求出对应的MA信号模型，即用谱分解的方法得到B(z)。(2)求 的Z反变换，取其因果部分再做Z变换。即舍掉单位圆外的极点，得(3)计算Hopt(z)，将积分曲线取单位圆计算E

38、|e(n)|2min。)()(1zBzSxs)()(1zBzSxs2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36482023年1月23日星期一例例 2.3.1 已知)8.01)(8.01(36.0)(1zzzSss信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，噪声v(n)是零均值、单位功率的白噪声(2v=1，mv=0)，求Hopt(z)和Ee(n)|2min。解：解：(1)物理可实现，因果情况)()()8.01)(8.01()5.01)(5.01(6.11)8.01)(8.01(36.0)()()(12111zBzBzzzzzzzSzSzSvvssxx6.1,8.015.0

39、1)(211zzzB考虑因果稳定系统2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 15315:38:36492023年1月23日星期一考虑Sxs(z)=Sss(z)：)5.01)(8.01(36.0)5.01(6.18.01)()()(11)(11112optzzzzzBzSzBzHxs2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 nzzTZ8.06.0)5.01)(8.01(36.011118.016.0)(8.06.0)5.01)(8.01(36.0znuZTzzn1111opt5.011838.016.0)5.01(6.18.01)(zzzzzH15315:38:365020

40、23年1月23日星期一21minopt11111d|()|()()()2j310.360.36d82j(10.8)(10.8)10.5(10.8)(10.8)50.361d80.3752j(10.8)(10.5)ssxsCCCzE e nSzHz Szzzzzzzzzzzzz计算最小均方估计误差计算最小均方估计误差：2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 未滤波的均方误差未滤波的均方误差：1|)(|)()(|)(|2222vnvEnsnxEneE15315:38:36512023年1月23日星期一(3)非物理可实现，非因果)5.01)(5.01(225.0)()()()()()(1

41、optzzzSzSzSzSzSzHvvssssxxxs3.0d)5.01)(5.01)(8.01)(8.01()5.05.0025.1(36.0j21d)8.01)(8.01(36.0)5.01)(5.01(225.0)8.01)(8.01(36.0j21d)()()(j21|)(|1111111optmin2zzzzzzzzzzzzzzzzzzzSzHzSneECCxsss2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的Z域解域解 比较两种情况比较两种情况：非物理可实现的最小均方误差(0.3)小于物理可实现的均方误差(0.375)。15315:38:36522023年1月23日星期一2.4 维维 纳

42、纳 预预 测测 2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.1 维纳预测的计算维纳预测的计算 观测数据：x(n)，x(n1)，.维纳滤波：期望输出yd(n)=s(n)，实际输出y(n)=s(n)。维纳预测：期望输出yd(n)=s(n+N)，实际输出y(n)=s(n+N)。预测的可能性预测的可能性：可以从两个方面理解。(1)信号内部存在着关联性信号内部存在着关联性。数据前后的关联性越密切，预测越准确；如果完全无关联，则无法预测。(2)系统是有惯性的系统是有惯性的。即便输入无关联，系统输出却有关联。15315:38:36532023年1月23日星期一2.4 维维 纳纳 预预 测测 预测器输出信号y(n

43、)和误差信号e(n+N)的描述：)()()()()()()(0NnsNnsNnemNnxmhNnsnym（2.4.3）（2.4.4）H(z)()(Nnsny)()()(nvnsnx)()(Nnsnyd维纳预测器的目标使预测均方误差极小化：min2min2|)()(|)(|NnsNnsENneE15315:38:36542023年1月23日星期一满足预测误差均方值最小的充要条件：0|)(|2khNneE（2.4.5）NxsxyzzSzSd)()(2.4 维维 纳纳 预预 测测 0)()()()(20mmNnxmhNnskNnxE0)()()(mxxxymkRmhkRd)()()()(*kNrkN

44、nsnxEkrxsxydyd(n)=s(n+N)15315:38:36552023年1月23日星期一因果维纳预测器的最佳解:)()()(11)()()(11)(1212optzBzSzzBzBzSzBzHxsNxyd（2.4.9）非因果维纳预测器的最佳解：维纳预测器的最小均方误差：CxsssCxysszdzzSzHzSzdzzSzHzSNneEd)()()(j21)()()(j21|)(|1opt1optmin2结论结论：维纳预测器的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。2.4 维维 纳纳 预预 测测)()()()()(optzSzSzzSzSzHxxxsNxxxyd（2.4.8）15315:3

45、8:36562023年1月23日星期一2.4.2 纯预测纯预测(N步步)所谓纯预测纯预测就是不考虑噪声的预测。N步纯预测：步纯预测：x(n)=s(n)+v(n)，v(n)=0，期望信号s(n+N),N0。2.4 维维 纳纳 预预 测测 因果纯预测因果纯预测：设s(n)与v(n)不相关。)()()()()(12zBzBzSzSzSssxsxx（2.4.11）)()(1)()()(11)(12optzBzzBzBzSzzBzHNxsN（2.4.12）15315:38:36572023年1月23日星期一纯预测器最小均方误差：纯预测器最小均方误差：CNNCNNCNxssszdzzBzzzBzBzBzd

46、zzzBzBzBzBzzBzBzdzzzSzHzSNneE)()()()(j2)()()()()()(j21)()()(j21|)(|11212121optmin2（2.4.13）2.4 维维 纳纳 预预 测测 15315:38:36582023年1月23日星期一zzzBzBnbCnd)()(j21)(12（2.4.15）考虑到考虑到b(n)是因果系统是因果系统：)()()()()()()(|)(|10220022222min2nbNnbnbNnbnuNnbnbNneENnnnnn结论结论：随着N增加，E|e(n+N)|2min也增加。这一点也容易理解，因为预测距离越远，预测效果越差，偏差越大

47、。应用复卷积定理应用复卷积定理：2.4 维维 纳纳 预预 测测 15315:38:36592023年1月23日星期一例例2.4.1 已知 11,)1)(1(1)(),()(12aazazazSnsnxxx求:(1)最小均方误差下的s(n+N)；(2)E|e(n+N)|2min。解：解：(1)(1)计算最佳预测输出计算最佳预测输出 221121,11)()1)(1(1)(aazzBazazazSxx2.4 维维 纳纳 预预 测测 15315:38:36602023年1月23日星期一)(11)(111nuaazTZzBTZn1T1)(),()(1azazBznuazBzNNNnZNNNNaazaa

48、zzBzzBzH11opt1)1()()(1)()()()(nsaNnsnyN2.4 维维 纳纳 预预 测测)()(T1NnuazBzNnZN 15315:38:36612023年1月23日星期一(2)计算最小均方误差计算最小均方误差)(|)(|1022min2nbNneENn)()(,122nuanbaNaaaaaaaaNneENNNnn|,111)1()1(|)(|22221022min22.4 维维 纳纳 预预 测测 15315:38:36622023年1月23日星期一讨论以上结果讨论以上结果:(1)Hopt(z)=aN纯预测的维纳滤波器是一个线性比例放大器。(2)B(z)x(n)的MA

49、模型111)(azzBx(n)=(n)+ax(n-1)(3)N0时，白噪声(n+N)对x(n)无影响。当N=1时，x(n+1)=ax(n)=as(n)当N=2时，x(n+2)=ax(n+1)=a2s(n)当N=N时，x(n+N)=ax(N+n-1)=aNs(n)（2.4.19）2.4 维维 纳纳 预预 测测 aNx(n)y(n)15315:38:36632023年1月23日星期一(4)终值定理与所得估计值的物理意义 21)(lim)()1(limxxxmxxzmmrzSz物理意义物理意义：一个信号的功率谱在单位圆上没有极点与信号均值等于0等价，因此对于功率谱在单位圆上没有极点的信号，要估计s(

50、n+N)时，可认为(n+N)=0,N0，即仅需要考虑B(z)的惯性，这样估计出来的结果将有最小均方误差。2.4 维维 纳纳 预预 测测 15315:38:36642023年1月23日星期一2.4.3 一步线性预测的时域解一步线性预测的时域解一步线性预测：一步线性预测：噪声v(n)=0，由x(n-1),x(n-2)，,x(n-p)预测x(n)一步线性预测的计算一步线性预测的计算：设系统脉冲响应为h(n)，令apk=-h(k)，预测输出和预测误差为pkpkpkknxaknxkhnxny11)()()()()(pkpkpkpkknxaknxanxnxnxne01)()()()()()(ap0=12.