空间角专题课件.ppt

1、异面直线所成角直线与平面所成角 二 面 角图 形定义表示范围要点用什么度量？用什么度量？2,0）（面棱面l0，2,0（从一条直线引出的两从一条直线引出的两个半平面所组成的图个半平面所组成的图形叫做二面角。形叫做二面角。在空间任取一点在空间任取一点o，分别，分别作作a，b的平行线，从而的平行线，从而形成的的锐（直）角形成的的锐（直）角异面直线a，b所成角斜线与它在平面斜线与它在平面内的射影所成的内的射影所成的锐角。锐角。线a与平面 所成角找适当点、找射影、二足二足作平行线相连相连【知识梳理【知识梳理】1.作出所求的空间角 2.2.证明所作的角符合定义证明所作的角符合定义 3.3.构造三角形并求出

2、所要求角构造三角形并求出所要求角 简言之，空间角的求解步骤为：简言之，空间角的求解步骤为：“一作一作”“二证二证”“三算三算”“一作一作”“二证二证”“三算三算”“三算三算”:主要利用正主要利用正,余弦定理解三角形余弦定理解三角形一.异面直线所成的角：范围是（0，/2。求两条异面直线所成的角的大小一般方法:一一是是:(:(平移法平移法)通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条或两条同时平移到某个特殊的位置，同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。

3、原原则则:一般作面内的直线的平行线一般作面内的直线的平行线!二是二是:补形法补形法:一般适用于三棱柱一般适用于三棱柱,补成四棱柱补成四棱柱.本质本质上也是平移法上也是平移法.直线与平面所成的角：直线与平面所成的角：范围是0，/2。求直线和平面所成的角的方法是：一是一是:(定义法定义法)找点在面上的射影。具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影射影，确定出所求的角；把该角置于三角形三角形中计算。关键是关键是:找到平面的垂线找到平面的垂线 (2)最小角定理（或三余弦公式）最小角定理（或三余弦公式）DBA C121coscoscos关键是关键

4、是:分清三个角的位置分清三个角的位置2是射影与面内线所的角2是斜线与面所成的角1角是斜线和面内线所成的（3）:转移法.找到一条与斜线平行的直线四、等体积法四、等体积法用等体积法求出点用等体积法求出点A到平面到平面 的距离的距离h，设，设AO是平面是平面 的一条的一条斜线段斜线段，直线和平面，直线和平面 所成角为所成角为 ，则，则Ah0sin AOB确定点的射影位置有以下几种方法确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相角的两边距离相等等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线角的平分线上上；如果一条直线与一个角

5、的两边的夹角相等角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上角的平分线上 两个平面相互垂直相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在射影一定落在这两个平面的交线上；如果点到线段的两端点距离相等如果点到线段的两端点距离相等,那么射影在那么射影在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上。利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：即三角形的几个心即三角形的几个心!a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心外心 b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所顶点到底面各边距离相等或侧面

6、与底面所成的角相等，成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心内心(或旁心或旁心)；c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心垂心；平面与平面所成的角：平面与平面所成的角：范围是0，。求平面和平面所成的角的方法是：一是一是:(定义法定义法)找二面角的平面角。二是二是:(:(射影射影面积法面积法)三是三是:(:(转移法转移法)四是四是:(:(补形法补形法)适用于锥体适用于锥体,补成柱体补成柱体.五是五是:三正弦公式（适用于小题）三正弦公式（适用于小题）六是六是:(:(等体积法等体积法)用等体

7、积法求出点用等体积法求出点P到平面到平面 的距离的距离h，PB垂直于垂直于 ，平面，平面 和平面和平面 所成角为所成角为 ，则则 l P AB l PBhsin 多面体中无棱二面角的求法多面体中无棱二面角的求法一一 平行类平行类二二 相交类相交类图中两平面已图中两平面已有一个公共点，有一个公共点，依据依据公理二及直线公理二及直线平面（平面平面（平面平面）平面）的性质定理，待求二面角的棱必过的性质定理，待求二面角的棱必过该点且平行于该点且平行于图中某一直线。图中某一直线。图中两平面图中两平面已有一个公共点，已有一个公共点，根据根据几何图形的几何特征，只需运用平几何图形的几何特征，只需运用平面几何

8、知识找出另一个公共点即可面几何知识找出另一个公共点即可得到二平面的交线（即待求二面角得到二平面的交线（即待求二面角的的棱棱）。）。例例1：在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，E为BC中点。（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小 PADCBEFOPADCBMNQ练习练习3：PA正方形正方形ABCD，设，设PA=AD，求：求：（1）面）面PBC与面与面PCD所成角的大小；所成角的大小；（2）面）面PAB与面与面PCD所成角的大小。所成角的大小。PABCDEFM思考思考3 在正三棱柱在正三棱柱ABCA1B1C

9、1中，中，EBB1，截面，截面A1EC侧面侧面AC1。（1）求证：）求证：BE=EB1；（2）已知）已知AA1=A1B1，求平面求平面A1EC与平面与平面ABC所成二面角（锐所成二面角（锐角）的大小。角）的大小。EABC1A1B1CDABC1A1B1CE证明证明（1）过过E作作EFA1C则则EF平面平面AC1，F取取AB的中点的中点G，G连连BG，ABC是正是正，BGAC，又面又面ABC面面AC1，BG面面AC1，EFBG，EF，BG共面，共面，又又BE面面AC1，BEFG，EBGF为平行四边形，为平行四边形，BE与与FG平行相等，平行相等，又又BEAA1，FGAA1，而而G为为AC的中点，的

10、中点，AA1=2FG，BB1=2BE，故，故BE=EB1。于于F，解解 （2）A1是平面是平面A1EC与平面与平面A1B1C1的一个公共点，的一个公共点，只需找到另一个公共点即可。只需找到另一个公共点即可。EB1CC1且且CC1=2EB1，CE与与C1B1延长后必交于一点延长后必交于一点DABC1A1B1CDE连连A1D即为面即为面A1EC与面与面A1B1C1的交线。的交线。DB1=B1C1=A1B1，且且A1B1D=600，DA1B1=300 C1A1D=900，即即C1A1A1D。由三垂线定理知。由三垂线定理知CA1A1D。CA1C1为平面为平面A1EC与平面与平面A1B1C1所成二面角的

11、所成二面角的平面角，易知平面角，易知CA1C1=450，又面，又面ABC面面A1B1C1故面故面A1EC与面与面ABC所成的二面角为所成的二面角为450。在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，已知中，已知ABCDABCD为矩形，为矩形，PA PA 平面平面ABCDABCD，设，设PA=AB=aPA=AB=a，BC=2aBC=2a，求二面，求二面角角B-PC-DB-PC-D的大小。的大小。思考思考1 1 PBCAD 366如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是菱的底面是菱形，形，PAPA底面底面ABCDABCD，BAD=BAD=120120,E,E为为PCPC上任意一点，上任意一点，ACDBPE求证：求证：平面平面BED BED 面面PACPACO若若E E是是PCPC中点，中点，AB=PA=a,AB=PA=a,求二面求二面角角E-CD-AE-CD-A的大小的大小F6如何作出空间角？如何作出空间角？作出角之后，作出角之后，即可转化为三角形中的计算即可转化为三角形中的计算