高考数学42平面向量的基本定理及向量坐标运算配套课件理新人教A版.ppt

1、第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算1三年三年8 8考高考指数考高考指数:1.1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题；决简单问题；2.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件理解用坐标表示的平面向量共线的条件.21.1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考

2、查重点量共线条件的应用是考查重点.2.2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主题为主.31.1.平面向量基本定理平面向量基本定理前提：前提：e1 1,e2 2是同一个平面内的两个是同一个平面内的两个 .条件：对于这一平面内的任一向量条件：对于这一平面内的任一向量a,实数实数1 1,2 2满足满足a=.结论：不共线的向量结论：不共线的向量e1 1,e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底.不共线向量不共线向量1 1e1 1+2 2e2 2 有且只有一对有且只有一对4【即时应用即时应用

3、】判断下列关于基底的说法是否正确（请在括号内打判断下列关于基底的说法是否正确（请在括号内打“”“”或或“”）.（1 1）在）在ABCABC中，中，、可以作为基底可以作为基底.().()（2 2）能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的）能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的.().()（3 3）零向量不能作为基底）零向量不能作为基底.().()AB AC 5【解析解析】由基底的定义可知（由基底的定义可知（1 1）（）（3 3）正确；（）正确；（2 2）只要是同）只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故（一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故（2 2）错误）错误.答案：答案：

4、(1)(1)（2 2）（3 3）62.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示（1 1）向量的夹角）向量的夹角定义：如图，两个定义：如图，两个 a和和b，作，作 a,=,=b，则向量，则向量a与与b的夹角是的夹角是 .范围：向量范围：向量a与与b的夹角的范围是的夹角的范围是 .当当0 0时时,a与与b .当当180180时时,a与与b .当当=90=90时时,a与与b .非零向量非零向量OAOB 或或AOBAOB0 0180180同向同向反向反向垂直垂直7(2)(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个向量正交分解是把一个向量分解为两个 的向量的向量.(3)(

5、3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与在直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成可表示成a=x=xi+y+yj，由于，由于a与数对与数对(x,y)(x,y)是一一对应的，因此向量是一一对应的，因此向量a的坐标是的坐标是 ，记作，记作a=(x,y)=(x,y)，其中，其中a在在x x轴上的坐标是轴上的坐标是 ，a在在y y轴上的坐标是轴上的坐标是 互相垂直互相垂直（x,yx,y）x xy y8(4)(4)规

6、定规定相等的向量坐标相等的向量坐标 ，坐标，坐标 的向量是相等的向量；的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系置无关，只与其相对位置有关系 相同相同相同相同9【即时应用即时应用】(1)(1)思考：在思考：在ABCABC中，向量中，向量 的夹角为的夹角为ABCABC，是否正，是否正确？确？提示：提示：不正确不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量向量与与 的夹角为的夹角为-ABC.-ABC.ABBC 与AB BC 10（2 2）已知）已知A A

7、（2 2，0 0），），a=（x+3x+3，x-3y-5x-3y-5），若），若a=O=O为原为原点，则点，则x=x=,y=,y=.【解析】【解析】a=（2 2，0 0）.答案：答案：-1 -2-1 -2 OAx32x1.x3y50y2 ，解得OA，113.3.平面向量坐标运算平面向量坐标运算向量的向量的加、减加、减法法实数与实数与向量的向量的积积向量的向量的坐标坐标1122xyxy_.若（，），（，），则，ababab1212xxyy（，）1212xx,yy（）x,yR_.若（），则aa1122AxyBxyAB_.若起点（，），终点（，），则xy（，）2121xxyy（，）12【即时应用】【

8、即时应用】（1 1）已知）已知a=（1 1，1 1），），b=（1 1，-1-1），则），则 a+b=.(2)(2)已知点已知点A A（-1-1，-5-5）和向量）和向量a=(2,3).=(2,3).若若 =3 =3a，则点，则点B B的坐的坐标为标为_._.（3 3）设）设a=(-1,2),=(-1,2),b=(1,-1),=(1,-1),c=(3,-2),=(3,-2),且且c=p=pa+q+qb,则实数则实数p p、q q的值分别为的值分别为 、.12AB 13【解析解析】(1)(1)a+b=(=(，）+（1 1，-1-1）=（，-）.(2)(2)设设B B（x,yx,y），则），则 =

9、（x,yx,y）-(-1,-5)=3(2,3),-(-1,-5)=3(2,3),(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).（3 3）（3 3，-2-2）=p=p（-1-1，2 2）+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),.,.答案：答案：（1 1）（）（，-）（2 2）（）（5 5，4 4）（3 3）1 41 41212123212AB pq32pq2 p1q43212144.4.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2

10、,y,y2 2),),则则ab .x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=015【即时应用即时应用】（1 1）已知）已知a=(-1,3),=(-1,3),b=(x,-1),=(x,-1),且且a、b共线，则共线，则x=x=.（2 2）设）设a=(1,1),=(1,1),b=(-1,0),=(-1,0),若向量若向量a+b与向量与向量c=(2,1)=(2,1)共线，共线，则则=.16【解析解析】（1 1）ab,(-1),(-1)2 2-3x=0,x=.-3x=0,x=.（2 2）a+b=(1,1)+(-1,0)=(-1,),=(1,1)+(-1,0)=(-1,),又又(a+b)c

11、,(-1),(-1)1-2=0,=-1.1-2=0,=-1.答案：答案：（1 1）（2 2）-1-1 131317 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用【方法点睛方法点睛】用平面向量基本定理解决问题的一般思路用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决式，再通过向量的运算来解决.【提醒提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理来方便，另外，要熟练运用平面几何

12、的一些性质定理.18【例例1 1】如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中，M M，N N分别为分别为DCDC，BCBC的中点，已知的中点，已知 =c,=,=d，试，试用用c,d表示表示 ，.【解题指南解题指南】直接用直接用c,d表示表示 、有难度，可换一个角度，有难度，可换一个角度，由由 表示表示 ，进而求，进而求 .AM ANAB AD AB AB,AD AN AM ,AB,AD AD 19【规范解答规范解答】方法一方法一:设设 =a,=,=b,则则a=d+(-+(-b)b=c+(-+(-a)将代入得将代入得a=d+(-)+(-)c+(-+(-a)a=d-c,代入

13、代入得得b=c+(-)(+(-)(d-c)=)=c-d.=d-c，=c-d.AB AD ANNB 12AMMD 12121243231243234323AB 43234323AD 20方法二方法二:设设 =a,=,=b.因为因为M M，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以 =b，=a，因而因而 即即 =d-c,=,=c-d.AB AD BN 1212DM 1212cbadab2(2)32(2)3adcbcdAB 4323AD 432321【反思反思感悟感悟】1.1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可

14、以表示成这组基底的线性组合，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同基底不同,表示也不同表示也不同.2.2.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.22【变式训练变式训练】已知梯形已知梯形ABCDABCD，如图所示，如图所示，2 2 ，M M、N N分别分别为为ADAD、BCBC的中点的中点.设设 =e1 1,=,=e2 2，试用，试用e1 1,e2 2表示表示 .DCAB AD AB DC BC MN.,23【解析】【解析】2

15、 2 ，2 =2 =e2 2,=.=.又又 ，=-=-e2 2+e1 1+e2 2=e1 1-e2 2.又由又由 得得 =+=+=-=-e1 1+e2 2+(+(e1 1-e2 2)=)=e2 2.DCAB DC DC 212eBCBAADDC BC 1212MNMAABBN MN 12DAAB 12BC 1212123424平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【方法点睛方法点睛】两向量相等的充要条件两向量相等的充要条件两向量两向量a=(x=(x1 1,y,y1 1)，b=(x=(x2 2,y,y2 2)相等的充要条件是它们的对应坐标相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等，即分别相等，即 ，利

16、用向量相等可列出方程组求其中的，利用向量相等可列出方程组求其中的未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题题.1212xxyy25【例例2 2】（1 1）设平面向量）设平面向量a=(3,5),=(3,5),b=(-2,1),=(-2,1),则则a-2-2b等于等于()()（A A）（）（7 7，3 3）（B B）（）（7 7，7 7）（C C）（）（1 1，7 7）（D D）（）（1 1，3 3）（2 2）已知）已知A A（2 2，3 3），），B B（5 5，4 4），），C C（7 7，1010），），求求 ；若若 ,求求

17、m,n.m,n.AB ABmACnBC 26【解题指南解题指南】（1 1）由向量的坐标运算法则求解即可）由向量的坐标运算法则求解即可.（2 2）利用）利用 为点为点B B的坐标减去点的坐标减去点A A的坐标求解的坐标求解.利用向量相等列出关于利用向量相等列出关于m,nm,n的方程组求解的方程组求解.【规范解答规范解答】（1 1）选）选A.A.a-2-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).=(7,3).（2 2）=（5 5，4 4）-（2 2，3 3）=（3 3，1 1）.=（7 7，1010）-（2 2，3 3）=（5 5，7 7），），=（7 7，1010

18、）-（5 5，4 4）=（2 2，6 6），），AB AC BC AB 27m +n =m(5,7)+n(2,6)m +n =m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n)=(5m+2n,7m+6n)=（3 3，1 1），），.AC BC ABmACnBC 5m2n37m6n1m1n1 28【互动探究】【互动探究】本例中第（本例中第（2 2）题条件不变，问题变为：）题条件不变，问题变为：“若若 +(R),+(R),试求试求为何值时，点为何值时，点P P在一、三在一、三象限的角平分线上象限的角平分线上.”.”又该如何求解？又该如何求解？APAB AC 29【解析】【解析】设设P(x,y)

19、,P(x,y),则则 =（x,yx,y）-(2,3)=(x-2,y-3).-(2,3)=(x-2,y-3).+=(5,4)-(2,3)+=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)(7,10)-(2,3)=(3+5,1+7).=(3+5,1+7).,若点若点P P在一、三象限的角平分线上在一、三象限的角平分线上.则则5+55+5=4+7=4+7,=.=.AP AB AC APABAC x235,y317.x55,y47.1230【反思反思感悟感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算以及求向

20、量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律和坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用及解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则正确使用运算法则.31【变式备选变式备选】已知已知A A（1 1，-2-2）、）、B B（2 2，1 1）、）、C C（3 3，2 2）和）和D D（-2-2，3 3），以），以 为一组基底来表示为一组基底来表示 .【解析解析】由题知由题知 =（1 1，3 3），），=（2 2，4 4），），=（-3-3，5 5），），=（-4-4，2 2），），=(-5,1),=(-5,1),=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(

21、-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12=(-12，8).8).又又 ，为平面内不共线的向量，为平面内不共线的向量，AB AC 、ADBDCD AB AC AD BD CD ADBDCD AB AC 32故根据平面向量基本定理，一定存在实数故根据平面向量基本定理，一定存在实数m m、n n，使得，使得 =m =m +n +n ，（-12-12，8 8）=m=m（1 1，3 3）+n+n（2 2，4 4），），也就是（也就是（-12-12，8 8）=（m+2nm+2n，3m+4n3m+4n），），可得可得 ，解得解得 .ADBDCD AB AC m2n123m4n8 m32n22 ADB

22、DCD32AB22AC.33 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示【方法点睛方法点睛】利用两向量共线解题的技巧利用两向量共线解题的技巧（1 1）一般地，在求与一个已知向量）一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求共线的向量时，可设所求向量为向量为a(R)(R)，然后结合其他条件列出关于，然后结合其他条件列出关于的方程，求的方程，求出出的值后代入的值后代入a即可得到所求的向量即可得到所求的向量.（2 2）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2

23、),),则则ab的充要条件是的充要条件是x x1 1y y2 2=x=x2 2y y1 1”解题比较解题比较方便方便.34【提醒提醒】1.1.注意注意0的方向是任意的的方向是任意的.2.2.若若a、b为非零向量，当为非零向量，当ab时，时，a,b的夹角为的夹角为0 0或或180180，求，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错解时容易忽视其中一种情形而导致出错.35【例例3 3】(1)(2012(1)(2012台州模拟）若台州模拟）若a=(2,3)=(2,3)与与b=(-4,y)=(-4,y)共线，则共线，则y=y=.（2 2）已知）已知a=(1,0),=(1,0),b=(2,1),=(2,1)

24、,当当k k为何值时，为何值时，k ka-b与与a+2+2b共线共线.若若 =2=2a+3+3b,=,=a+m+mb且且A A、B B、C C三点共线，求三点共线，求m m的值的值.【解题指南解题指南】(1)(1)利用利用ab 2y-3(-4)=0 2y-3(-4)=0求求y.y.(2)(2)利用向量共线的充要条件列出关于利用向量共线的充要条件列出关于k k的方程求解即可的方程求解即可.可引入参数可引入参数使使 求求m m，或利用，或利用 的坐标形式求的坐标形式求m.m.AB BC ABBC AB BC 36【规范解答规范解答】(1)(1)a=(2,3),=(2,3),b=(-4,y),=(-

25、4,y),且且ab,2y-3(-4)=0,y=-6.2y-3(-4)=0,y=-6.答案：答案：-6-6(2)(2)k ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).=(1,0)+2(2,1)=(5,2).kka-b与与a+2+2b共线，共线，372(k-2)-(-1)2(k-2)-(-1)5=0,5=0,即即2k-4+5=0,2k-4+5=0,得得k=-.k=-.方法一方法一:A:A、B B、C C三点共线，三点共线，=.=.即即2 2a+3+3b=(=(a+m+mb),),解得解得m=

26、m=.12AB BC 2,3m 3238方法二：方法二：=2=2a+3+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=a+m+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),AA、B B、C C三点共线，三点共线，8m-3(2m+1)=0,8m-3(2m+1)=0,即即2m-3=0,m=.2m-3=0,m=.AB BC AB BC 3239【反思反思感悟感悟】1.1.利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键.2.2.若若 ，则，则A A、B B、C C三点共线，注

27、意这一结论的应用三点共线，注意这一结论的应用.AB AC 40【变式训练变式训练】已知向量已知向量 =（3 3，-4-4），），=（6 6，-3-3），），=（5-m,-3-m5-m,-3-m）,若点若点A A、B B、C C能构成三角形，则实数能构成三角形，则实数m m满足的条件满足的条件是是 .【解析解析】因为因为 =（3 3，-4-4），），=（6 6，-3-3），），=（5-m,5-m,-3-m-3-m），所以），所以 =（3 3，1 1），），=（-m-1,-m-m-1,-m）.由于点由于点A A、B B、C C能构成三角形，所以能构成三角形，所以 不共线，不共线，而当而当 共线时，

28、有共线时，有 ，解得，解得m=,m=,故当点故当点A A、B B、C C能构成三角形时实数能构成三角形时实数m m满足的条件是满足的条件是m .m .答案：答案：m m OAOB OAOB OC AB BC ABBC 与ABBC 与31m 1m121212OC 41【变式备选变式备选】向量向量a=(x,1),=(x,1),b=(9,x),=(9,x),若若a与与b方向相反，则方向相反，则x=x=.【解析解析】因为因为ab,所以所以x x2 2=9=9，所以，所以x=x=3.3.又因为又因为a与与b方向相反，方向相反，所以所以x=-3.x=-3.答案：答案：-3-3 42【易错误区易错误区】忽视

29、向量平行的充要条件致误忽视向量平行的充要条件致误【典例典例】(2011(2011湖南高考）设向量湖南高考）设向量a,b满足满足|a|=2|=2 ，b=(2,1),=(2,1),且且a与与b的方向相反，则的方向相反，则a的坐标为的坐标为 .【解题指南解题指南】设设a=b(0),(0),利用利用|a|=2|=2 列出关于列出关于的方程的方程求解即可求解即可.5543【规范解答规范解答】a与与b方向相反，方向相反，可设可设a=b（00）,a=(2,1)=(2,).=(2,1)=(2,).由由|a|=|=，解得，解得=-2,=-2,或或=2(=2(舍舍)，故，故a=(-4,-2).=(-4,-2).答

30、案：答案：（-4-4，-2-2）252 544【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示 在解答本题时有两点容易出错在解答本题时有两点容易出错:（1 1）误认为）误认为“a与与b的方向相反的方向相反ab”致使设致使设a=b出现增解（出现增解（4 4，2 2）.（2 2）知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致）知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题错解或无法解题.45备备考考建建议议解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下解决平面向量基本定理

31、与坐标表示问题时还有以下几点易错，在备考时要高度关注几点易错，在备考时要高度关注:（1 1）遗漏零向量，零向量与任一向量平行）遗漏零向量，零向量与任一向量平行.（2 2）混淆向量共线与向量垂直的充要条件）混淆向量共线与向量垂直的充要条件.461.(20121.(2012湖州模拟）设湖州模拟）设 ，x,yRx,yR且且A A、B B、C C三三点共线（该直线不过点点共线（该直线不过点O O），则），则x+y=()x+y=()（A A）-1 -1 （B B）1 1（C C）0 0 （D D）2 2 OBxOAyOC 47【解析解析】选选B.B.如图，如图，设设 ,则则 =+(-)=+(-)=+-=

32、+-=(1-)+=(1-)+x=1-,y=,x+y=1.x=1-,y=,x+y=1.ABAC OBOAABOAAC OAOC OAOAOC OAOC OA482.(20112.(2011上海高考）设上海高考）设A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4是平面上给定的是平面上给定的4 4个不同个不同点，则使点，则使 =0成立的点成立的点M M的个数为的个数为()()（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）4 4【解析解析】选选B.B.方法一：取特殊值，令方法一：取特殊值，令A A1 1(0,0),A(0,0),A2 2(0,1),A(0,1),A3 3(1,1

33、),(1,1),A A4 4(1,0),(1,0),则满足则满足 =0的条件的点有且仅有的条件的点有且仅有1 1个，即为正方形个，即为正方形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4的中心，故选的中心，故选B.B.1234MAMAMAMA 1234MAMAMAMA 49方法二：设方法二：设M M（x,yx,y）,A,Ai i=(x=(xi i,y,yi i)(i=1,2,3,4),)(i=1,2,3,4),则则 =（x xi i-x,y-x,yi i-y-y）.由由 ,得得 ，点点M M只能有一个，故选只能有一个，故选B.B.iMA 4ii 1MA 012341234xxxx4x0yyy

34、y4y0123412341x(xxxx)41y(yyyy)4503.(20123.(2012杭州模拟）已知向量杭州模拟）已知向量|a|=3,|=3,b=(1,2)=(1,2)且且ab，则，则a的坐的坐标是标是 .【解析解析】设向量设向量a=(x,y)=(x,y)，则则a的坐标是（的坐标是（）或（）或（-）.答案：答案：（）或（）或（-）226 56 5xxxy553x2y03 53 5yy55 ，或，6 53 5,556 5 3 5,556 53 5,556 5 3 5,55514.(20114.(2011北京高考）已知向量北京高考）已知向量a=(,1),=(,1),b=(0,-1),=(0,-1),c=(k,),=(k,),若若a-2-2b与与c共线，则共线，则k=k=.【解析解析】a-2-2b=(,1)-2(0,-1)=(,3),=(,1)-2(0,-1)=(,3),又又a-2-2b与与c共线，共线，（a-2-2b）c,-3 -3k=0,k=0,解得解得k=1.k=1.答案：答案：1 1 33 3333352