基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀课件1.ppt
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- 关 键 词:
- 基本 初等 函数 导数 公式 运算 法则 优秀 课件
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1、临沂二中高二数学组临沂二中高二数学组1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()(:)2(xx
2、fxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求极极限限,得得导导函函数数说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的处的 导数导数.3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点
3、P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤:求切线方程的步骤:(1)求出函数在点)求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ,得到曲线,得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即).)()(000 xxxfxfy 11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.()ln,()nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxx
4、fxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxafxxfx 若则若则若则若则若则若则若则且若则1;x 今后我们可今后我们可以直接使用下以直接使用下面的基本初等面的基本初等函数的求导公函数的求导公式式可以在理解的基础可以在理解的基础上背下来呀!上背下来呀!解:根据基本初等函数导数公式表,有 05.1ln05.1ttp所以,年元/08.005.1ln05.11010p因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.当 时,求 关于 导数可以看成求 与 乘积的导数,下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。50p.05.15ttppt 5tf t
5、tg05.1法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f x g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数
6、的导数,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg xcfxcfx从法则从法则2可以得出可以得出 cf xc f xc f xcf x 也就是说常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数也就是说常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:即:).()()()(xgxfxgxf证明:令证明:令 ).()(xgxfy)()()()(xgxfxxgxxfy()()()()f xxf xg xxg xyxx )()()()(xgxxgxfxxfxxgxxgxxfxxf)()()()(取极限可得:取极限可得
7、:其他两条法则请同学们课下练习证明。例2、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 的导数.323yxx解:因为 332232332yxxxxx所以,函数 的导数是323xxy232xy求下列函数的导数:xy2log1xey22 4532325xxxy xxysin4cos34答:答:11ln 2yx 22xye 431065yxx 43sin4cosyxx解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.1005284xxc210010052841005284xxx2100152841000 xx21005284x (1)因为 ,所以,纯净度为84.5290100528490c90时,
8、费用的瞬时变化率是52.84元/吨.(2)因为 ,所以,纯净度1321981005284982c为98时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.例例4:求下列函数的导数求下列函数的导数:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23)1;yxxxyxyxyxx答案答案:;41)1(32xxy ;)1(1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy 例例1:求过曲线求过曲线y=cosx上点上点P()且与过这点的切线垂且与过这点的切线垂 直的直线方程直的直线方程.21,3.23sin|,sin,cos3 xyxyxyx 解解:;的的斜斜率率为为点点且且与与切切线线垂垂
9、直直的的直直线线从从而而过过,处处的的切切线线斜斜率率为为故故曲曲线线在在点点3223)21,3(PP .0233232),3(3221 yxxy即即所所求求的的直直线线方方程程为为注注:满足条件的直线称为曲线在满足条件的直线称为曲线在P点的点的法线法线.例例2:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条问是否存在这两条 曲线的一个公共点曲线的一个公共点,使在这一点处使在这一点处,两条曲线的切线两条曲线的切线 互相垂直互相垂直?并说明理由并说明理由.解解:设存在一个公共点设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件满足题设条件.;cos|,cos)(sin00 xyx
10、xyxx 得得由由;sin|,sin)(cos00 xyxxyxx 得得由由由两条曲线的切线在点由两条曲线的切线在点P互相垂直互相垂直,则则cosx0(-sinx0)=-1,得得sinx0cosx0=1,即即sin2x0=2.这不可能这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点.练习练习1:曲线曲线y=sinx在点在点P()处的切线的斜率为处的切线的斜率为 _.22,4 22一般地,对于两个函数一般地,对于两个函数y=f(u)和)和u=g(x),如果),如果通过变量通过变量u,y可以表示成可以表示成x的函数,那么称这个函数为的函数,那么称这个函数为函数函数y=f(u)
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