2020版 5·3中考全国数学 §6.3　解直角三角形(2) 知识清单及题型方法讲解.pptx

1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 6.3 解直角三角形 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 锐角三角函数 A组 2019年全国中考题组 1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于 ( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60= ,则2sin 60=2 = ,故选C. 3 2 3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹 角为,则梯子顶端到地面的距离BC为 ( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C. 米 D.

2、 米 3 sin 3 cos 答案答案 A 因为sin = ,所以BC=ABsin =3sin (米). BC AB 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 解直角三角形 1.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若DE= 1,则BC的长为 ( ) A.2+ B. + C.2+ D.3 2233 答案答案 A 过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2. C=45,DC= DF= ,BC=BD+CD=2+ ,故选A. 222 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2

3、019浙江杭州,14,4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= . 答案答案 或 3 2 2 5 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 当AC为斜边,AB为直角边时,如图. 2AB=AC,BC= = AB, cos C= = = . 当AB,AC均为直角边时,如图. 2AB=AC,BC= = AB, cos C= = = . 综上所述,cos C= 或 . 22 ACAB3 BC AC 3 2 AB AB 3 2 22 ABAC5 AC BC 2 5 AB AB 2 5 5 3 2 2 5 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019新疆,14,5分)如图,在A

4、BC中,AB=AC=4,将ABC绕点A顺时针旋转30,得到ACD,延长AD交BC的 延长线于点E,则DE的长为 . 答案答案 2 -2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 由旋转得,CAD=CAB=30,AD=AC=4, BCA=ACD=ADC=75. ECD=180-275=30. E=75-30=45. 过点C作CHAE于H点, 在RtACH中,CH= AC=2,AH=2 . HD=AD-AH=4-2 . 在RtCHE中,E=45, EH=CH=2. DE=EH-HD=2-(4-2 )=2 -2. 1 2 3 3 33 思路分析思路分析 根据旋转的性质可知CAD=CAB=30,A

5、D=AC=4.从而得到DCE=30,E=45.过点C作CH AE于H点,在RtACH中,求出CH和AH的长,在RtCHE中可求EH的长,利用DE=EH-(AD-AH)即可求解. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 解直角三角形的应用 1.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53,观 测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80,cos 53 0.60,tan 531.33) 答案答案 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 BDC=45,BCD=90, DB

6、C=180-BCD-BDC =180-90-45 =45, BDC=DBC, BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC= , tan 53= , AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3. AC CD 10 AC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一步 可求出AB的长度. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019甘肃兰州,25,7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这

7、一课题进行了 探究,过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大 限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD. 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角ADC最大 (ADC=77.44);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角BDC最小(BDC=30.56);窗户的高度 AB=2 m. 问题解决: 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.

8、(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.560.51,cos 30.560.86,tan 30.560.59,sin 77.440.98,cos 77.44 0.22,tan 77.444.49) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 在RtBCD中,BCD=90,BDC=30.56, tanBDC= ,BC=tanBDC CD. 在RtACD中,ACD=90,ADC=77.44, tanADC= ,AC=tanADC CD. AC-BC=AB,tanADC CD-tanBDC CD=2,代入数值可得(4.49-0.59)CD=2,CD0.5. 答:遮阳篷长度约为0.5 m. BC

9、 CD AC CD 思路分析思路分析 首先在RtBCD和RtACD中利用正切分别表示出BC和AC,再由题图可知AC-BC=AB,代入数 据即可求出CD的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019贵州贵阳,21,8分)如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图,图中OP为下水 管道口直径,OB为可绕转轴O自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开,可排出城市污水;当河水上 涨时,阀门会因河水压迫而关闭,以防河水倒灌入城中.若阀门的直径OB=OP=100 cm,OA为检修时阀门开启 的位置,且OA=OB. (1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB的取值范

10、围; (2)为了观测水位,当下水道的水冲开阀门到达OB位置时,在点A处测得俯角CAB=67.5,若此时点B恰好与 下水道的水平面齐平,求此时下水道内水的深度.(结果保留小数点后一位) ( 1.41,sin 67.50.92,cos 67.50.38,tan 67.52.41,sin 22.50.38,cos 22.50.92,tan 22.5 0.41) 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)阀门OB被下水道的水冲开与被河水关闭过程中,0POB90. (2)OAAC,CAB=67.5, BAO=22.5, OA=OB,BAO=ABO=22.5,BOP=45, 过点B作BDOP于点

11、D, 在RtBOD中,OB=OP=100 cm, OD=50 cm, PD=100-50 29.5 cm. 即此时下水道内水的深度约为29.5 cm. 2 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 方法指导方法指导 求角的三角函数值或者线段的长时,我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三 角形中(如果没有直角三角形,就设法构造直角三角形),再利用特殊角的锐角三角函数求出它们的解. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC的长 为30 cm,与墙壁的夹角CAD为43,求花洒顶端C到地面的

12、距离CE(结果精确到1 cm). (参考数据:sin 43=0.68,cos 43=0.73,tan 43=0.93) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 如图,过点C作CFAB于点F,则AFC=90. (1分) 在RtACF中,AC=30 cm,CAF=43, cosCAF= , AF=AC cosCAF =30cos 43 =300.73=21.9(cm). (5分) CE=BF=AB+AF =170+21.9=191.9192(cm). 因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192 cm. (7分) AF AC 评分说明评分说明 (1)计算过程与结果中,写“=”或“”均不扣分;(2)

13、计算过程不加单位不扣分. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平桌 面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测 量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1) (1)如图2,ABC=70,BCOE. 填空:BAO= ; 求投影探头的端点D到桌面OE的距离; (2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求ABC的大小. (参考数据:sin

14、700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)160. 如图1,延长OA交BC于点F, 图1 AOOE,AOE=90. BCOE,AOE=BFO=90, 在RtABF中,AB=30 cm, sinB= , AF=AB sinB=30 sin 70300.94=28.20(cm). AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm). 答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm. AF AB 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H. 图2

15、在RtBCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm). sinHBC= , sinHBC= =0.6. sin 36.80.60,HBC36.8, ABC=70-36.8=33.2. 答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,ABC为33.2. HC BC 21 35 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解后反思解后反思 解决此类解直角三角形问题的一般思路:将实际问题抽象成解直角三角形问题.弄清题目中各 量之间的关系,如果题目中有直角三角形,则根据边角的关系进行计算,若图中没有直角三角形,则可通过添 加辅助线构造直角三角形来解决. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2019陕

16、西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组 的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是,他们 先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45;再在BD 的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方向移动,当移 动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与地面的距离EF =1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD

17、、AB均垂直于FB,求这棵 古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 过点C作CHAB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5. (1分) 在RtACH中,ACH=45, AH=CH=BD. AB=AH+BH=BD+0.5. (2分) EFFB,ABFB,EFG=ABG=90. 由题意,易知EGF=AGB, EFGABG. (4分) = ,即 = . (5分) 解之,得BD=17.5. (6分) AB=17.5+0.5=18. 这棵古树的高AB为18 m. (7分) EF AB FG BG 1.6 0.5BD 2 5BD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引

18、 解题关键解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找准 三角形. 思路分析思路分析 首先在RtACH中利用45角得出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明EFGABG, 利用相似三角形的性质得出含BD的比例式,进而求出BD的长,最后求出古树的高度AB. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 锐角三角函数 B组 20152018年全国中考题组 1.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于 ( ) A. B. C.1 D. 2 2 3 2 3 答案答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30= ,故选B. 3 2 栏目引栏目引

19、栏目索引栏目索引 2.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D. 1 3 10 10 3 10 10 答案答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3. BC AC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在RtABC中,C=90,AB=4,AC=1,则cos B的值为 ( ) A. B. C. D. 15 4 1 4 15 15 4 17 17 答案答案 A 由勾股定理可得BC= ,所以cos B= = .故选A. 15 BC AB 15 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目

20、索引 考点二 解直角三角形 1.(2016辽宁沈阳,9,2分)如图,在RtABC中,C=90,B=30,AB=8,则BC的长是( ) A. B.4 C.8 D.4 4 3 3 33 答案答案 D C=90,B=30,AC= AB=4,由勾股定理得BC= = =4 ,故选D. 1 2 22 ABAC 22 843 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 . 34 答案答案 1或9 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtAB

21、D中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9. 图 图 BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9. 34 22 ABAD 22 ACAD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018四川自贡,22,8分)如图,在ABC中,BC=12,tan A= ,B=30,求AC和AB的长. 3 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 如图,过点C作CDAB于点D, 在RtBCD中,B=30,BC=12, CD=BCsin 30=6,BD=BCcos 30=6 . 在RtACD

22、中,tan A= = ,AD=8, AC= = =10,AB=AD+BD=8+6 . 3 CD AD 3 4 22 CDAD 22 683 思路分析思路分析 由已知条件可以看出这个三角形是确定的三角形,过点C作CDAB于点D,则得到两个直角三 角形:RtADC和RtBDC,可用勾股定理、特殊角的三角函数值等知识来求解. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 解直角三角形的应用 1.(2018重庆A卷,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学 楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的 坡度

23、i=10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为 ( ) (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6) A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形. 在RtCJD中, = = ,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k= , BM=CJ= ,DJ= , 又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE= . 在RtAEM中,tanAEM= ,ta

24、n 58= 1.6, CJ DJ 1 0.75 4 3 2 5 8 5 6 5 46 5 AM EM 8 5 46 5 AB 解得AB13.1,故旗杆AB的高度约为13.1米.故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017重庆A卷,11,4分)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40,若DE=3米,CE= 2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=10.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为 ( ) (参考数据:sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84) A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米 栏目引栏目引 栏目索

25、引栏目索引 答案答案 A 延长DE交AB于G,作CFAB交AB于点F, 在RtBCF中,设CF=4x米,则BF=3x米,x0, BF2+CF2=BC2,(3x)2+(4x)2=102, x=2(负值舍去),CF=8米,BF=6米. 在矩形FGEC中,FG=CE=2米,EG=CF=8米, BG=BF+FG=8米,DG=DE+EG=11米. DHAB,DAB=HDA=40. 在RtAGD中,AG= 13.1米, tan40 DG 11 0.84 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路点拨思路点拨 通过作垂线,构造直角三角形,用锐角三角函数解决问题. AB=AG-BG=13.1-8=5.1米. 故选A

26、. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2016广西南宁,6,3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,B=36,则中柱AD(D为底 边中点)的长是 ( ) A.5sin 36米 B.5cos 36米 C.5tan 36米 D.10tan 36米 答案答案 C tan B= ,AD=BD tan B=5tan 36米.故选C. AD BD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定 在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活

27、页门的宽OC= OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位). (1)若OBC=50,求AC的长; (2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长. 参考数据:sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)如图,过点O作ODAB于点D, 在RtOBD中, BD=OB cosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm). OC=OB,BC=2BD. AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm). (2)如图, AB=1

28、20 cm,AC=60 cm, BC=AB-AC=60 cm. OC=OB=60 cm,BC=OC=OB, OBC为等边三角形,OBC=60. 点O的运动路径为 , OC 点O运动的路径长为 =20=62.8(cm). 6060 180 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯 角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数). 参考数据:tan 481.11,tan 581.60. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 如图,过点D作DEAB,垂足为

29、E. 则AED=BED=90. 由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90. 可得四边形BCDE为矩形. ED=BC=78,DC=EB. 在RtABC中,tanACB= , AB=BC tan 58781.60125. 在RtAED中,tanADE= , AB BC AE ED 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AE=ED tan 48. DC=EB=AB-AE=BC tan 58-ED tan 48781.60-781.1138. 答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2018四川成都,

30、18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海 上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海里, 再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的 D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD= ,

31、0.34 ,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD= , 0.75 ,BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里. CD AC 80 CD BD CD 27.2 BD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2017陕西,20,7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年初 春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离. 于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方案如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A 处,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23,此时测得小军的眼睛距

32、地面的高度AB为1.7米;然后,小 军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1 米.请你利用以上所测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长.(结果精确到1米,参考数 据:sin 230.390 7,cos 230.920 5,tan 230.424 5,sin 240.406 7,cos 240.913 5,tan 24 0.445 2) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 作BDMN,垂足为D,作CEMN,垂足为E. 设AN=x米,则BD=CE=x米. 在RtMBD中,MD=x tan 23米. 在RtMCE中,ME

33、=x tan 24米. (4分) ME-MD=DE=BC, x tan 24-x tan 23=1.7-1, x= , 0.7 tan24tan23 x34. “聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离约为34米. (7分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解后反思解后反思 解决此类问题的步骤如下:(1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学 问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系;(2)若三角形是直角三角形,则根据边角关系进行 计算,若三角形不是直角三角形,则可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问 题关键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形

34、,找准三角形. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 锐角三角函数 C组 教师专用题组 1.(2019广东广州,3,3分)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是BAC,若 tanBAC= ,则此斜坡的水平距离AC为 ( ) A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m 2 5 答案答案 A C=90,tanBAC= ,BC=30 m,tanBAC= = = .AC=75 m.故选A. 2 5 BC AC 30 AC 2 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018湖北孝感,4,3分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8,则sin

35、A等于 ( ) A. B. C. D. 3 5 4 5 3 4 4 3 答案答案 A 先根据勾股定理求得BC=6,再由正弦函数的定义求解可得结果. 在RtABC中,AB=10,AC=8,BC= = =6,sin A= = = . 22 ABAC 22 108 BC AB 6 10 3 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是 ( ) A. B. C. D. 3 4 4 3 3 5 4 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=

36、5. cos = = .故选D. OB OA 4 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的 一个角(O)为60,A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 3 2 解析解析 如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得AEF=30,BEF=60,AE= a,EB=2a, AEB=90, tanABC= = = . 3 AE BE 3 2 a a 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 解直角三角形 1.(2

37、019湖北黄冈,16,3分)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若CMD=120,则 CD的最大值为 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 14 解析解析 如图,设点A关于CM的对称点为A,点B关于DM的对称点为B,当A,B都在CD上时,CD有最大值.连接 MA,MB,则MACMAC,MBDMBD,CA=CA=2,BD=BD=8,AMC=AMC,BMD=BMD, M为AB的中点,MA=MA=MB=MB=4,CMD=120,AMC+BMD=60,AMC+BMD=60, AMB=60,AB=4,CD=CA+AB+BD=14. 难点突破难点突破 考虑

38、到点A与点B是定点,点C与点D是动点,所以想到轴对称,当点A关于CM的对称点A与点B关 于DM的对称点B都在CD上时,CD有最大值,从而找到本题的突破口. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且 BDE=15,DE=4 ,DC=2 . (1)求BE的长; (2)求四边形DEBC的面积. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) 321 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)在四边形ABCD中, ADBC,ABC=90,BAD=90. AB=AD,ABD=ADB=4

39、5. BDE=15,ADE=30. 在RtADE中,DE=4 , AE=sin 304 =2 ,AD=cos 304 =6. AB=AD=6,BE=6-2 . (5分) (2)过点D作DFBC于点F, BFD=90. BAD=ABC=90, 四边形ABFD是矩形, BF=AD=6,DF=AB=6. 在RtDFC中, 3 333 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 DC=2 , FC=4 ,BC=6+4 . S四边形DEBC=SDEB+SBDC=36+6 . (8分) 21 33 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 解直角三角形的应用 1.(2019浙江温州,8,4分)某简易房示意图如图

40、所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为 ( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9 5sin 9 5cos 5 9sin 5 9cos 答案答案 B 由题意可得BC=3+0.32=3.6 m,作ADBC交BC于D, 该图形为轴对称图形,AB=AC,在RtABD中,BD= BC=1.8 m,AB= = = (m).故选B. 1 2cos BD 1.8 cos 9 5cos 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活 动.如图,在一个坡度(或坡比)i=12.4的山坡AB上发现有一棵古

41、树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC =26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、 点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 ( ) (参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11) A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 延长DC交EA于点F. i= = = , 设CF=5x米,AF=12x米,且x0. 在RtACF中,AC= =13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA

42、+AF=6+24=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48= , DF=EF tan 48301.11=33.3米,CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C. CF AF 1 2.4 5 12 22 CFAF DF EF 思路分析思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得 = ,则设CF=5x米,AF=12x米.在RtACF中,由勾股定理得 AC= =13x=26,求得CF=10米,AF=24米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED= ,可求 出DF的长,从而进一步求出DC的长. CF AF 5 12 22 CFAF DF EF 栏目引栏目引 栏目索引栏

43、目索引 3.(2019广东,15,4分)如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15 米,在实验楼顶部B点测得教学 楼顶部A点的仰角是30,底部C点的俯角是45,则教学楼AC的高度是 米(结果保留根号). 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 (15+15 ) 3 解析解析 过B作BEAC交AC于E,由题意可知ACCD,BDCD,所以ECD=CDB=BEC=90,又因为 EBC=45,所以BE=EC,故四边形BECD为正方形,所以BE=CE=CD=15 米,在RtAEB中,AEB=90, ABE=30,所以AE=BE tanABE=15 =15米,所以AC=AE+EC=(15+

44、15 )米. 3 3 3 3 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019浙江温州,16,5分)图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两 支脚OC=OD=10分米,展开角COD=60,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4 分米.当AOC=90时,点A离地面的距离AM为 分米;当OB从水平状态旋转到OB(在CO延长线上) 时,点E绕点F随之旋转至OB上的点E处,则BE-BE为 分米. 图1 图2 答案答案 (5+5 );4 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 过O作ONAM,交AM于N,作OTCD,交MD于

45、T, ONAM,AMMD,OTCD, ONMD,OT=MN,NOC=OCD(两直线平行,内错角相等), 又OC=OD,COD=60, OCD为等边三角形, OCD=60, NOC=60. 又AOC=90, AON=30, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AN=OAsin 30=10 =5分米, 又MN=OT=OCsin 60=10 =5 分米, AM=(5+5 )分米. 作EKOF交FO的延长线于K. 则KOE=COD=60, 设OK=x分米,则KE= x分米, 在KEF中,( x)2+(x+4)2=62, 即3x2+x2+8x+16=36,解得x1= -1,x2=- -1(舍), 1 2 3

46、 2 3 3 3 3 66 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 OE=2( -1)=(2 -2)分米, 作FNOB,交OB于N, 则FN=OFsin 60=2 分米,NE= =2 分米, ON=OFcos 60=4 =2分米, OE=(2 +2)分米, BE-BE=(OB-OE)-(OB-OE)=OE-OE=4分米. 66 3 22 6(2 3)6 1 2 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2018湖北荆州,14,3分)荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间,周边风景秀丽.现在塔底低于地 面约7米,某校学生测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得 塔顶的仰角为30,再向古塔方向行进a米后到达B处,在B处测得塔顶的仰角为45(如图所示),那么a的值约 为 米( 1.73,结