2020版 5·3中考全国数学 §3.5 二次函数的综合应用(2) 知识清单及题型方法讲解.pptx
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1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 3.5 二次函数的综合应用 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 抛物线与距离、面积、角度 A组 2019年全国中考题组 1.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2. (1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2? (2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=- x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上取 点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ. 若AP=AQ,求点P的横坐标; 若PA=PQ,直接写出点P的横坐标; (3)如图2,MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点
2、M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME, NE均与y轴不平行.若MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系. 4 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2. 或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2. (2)如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D, C1:y=(x-1)2-4,A(3,0), 直线y=- x+b经过A(3,0),b=4,D(0,4), 则易知D(0,-4), 直线AD的解析式为y= x-4, 由 得x1=3,x2= ,
3、 xQ= ,xP=xQ= ,点P的横坐标为 . 4 3 4 3 2 (1)4, 4 4 3 yx yx 1 3 1 3 1 3 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 点P的横坐标为- . 详解:由 得x1=- ,x2=3, 故B . 设点P的横坐标为a , 点P在线段AB上, 点P的坐标为 , 2 3 2 (1)4, 4 4, 3 yx yx 7 3 7 64 , 39 7 3 3 a 4 ,4 3 aa 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 点Q在抛物线C1上, 点Q的坐标为(a,a2-2a-3). PQ2= , 又PA=PQ,PA2=(a-3)2+ = , (a-3)2=(a-3)(a+1)(
4、a-3) , 又a3,(a+1) =1, (a+4)=0, a1=- ,a2=-4(舍),点P的横坐标为- . (3)C2:y=x2,M(m,m2),N(n,n2), 设直线ME的解析式为y=kx+t, M(m,m2),t=m2-km, 2 2 2 7 3 aa 2 4 4 3 a 2 2 2 7 3 aa 11 3 a 11 3 a 2 3 a 2 3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 由 得x2-kx+km-m2=0, 依题意有=k2-4(km-m2)=0,k=2m, 直线ME的解析式为y=2mx-m2, 同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2, 由 得E , M(m,m2),N(
5、n,n2), 直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn, 过E作EFy轴交MN于点F,则F , EF= -mn= (m-n)2, SMNE= (m-n) (m-n)2= (m-n)3=2, 2 2 ,yx ykxmkm 2 2 2, 2 ymxm ynxn , 2 mn mn 22 , 22 mn mn 22 2 mn1 2 1 2 1 2 1 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 m-n=2. m与n的数量关系为m-n=2. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-3)
6、, P为抛物线上一点,横坐标为m,且m0. (1)求此抛物线的解析式; (2)当点P位于x轴下方时,求ABP面积的最大值; (3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. 求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; 当h=9时,直接写出BCP的面积. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得 -3=(0-1)2+k, 解得k=-4. 所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4, 即y=x2-2x-3. (2分) (2)令y=0,得(x-1)2-4=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以A(-1,0)
7、,B(3,0), 所以AB=4. 解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4). 由题意知,当点P位于抛物线顶点时,ABP的面积取得最大值, 最大值为 44=8. (5分) 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解法二:由题意,得P(m,m2-2m-3), 所以SABP= 4(-m2+2m+3) =-2m2+4m+6 =-2(m-1)2+8. 所以当m=1时,SABP有最大值8. (5分) (3)当01,a=2+ . 55 5 77 7 综上,a=1- 或a=2+ . 57 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)先根据对称轴方程得出b的值,然后代入点A的坐标,求出c的值
8、,即得二次函数解析式; (2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出CP的长 度; (3)分a+11三种情况讨论,结合二次函数的性质求解可得. 解题关键解题关键 本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、 二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 抛物线与特殊三角形、特殊四边形 1.(2019甘肃兰州,28,12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从点A 出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,
9、过点M作MNx轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接 AC.设运动的时间为t秒. (1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式; (2)连接BD,当t= 时,求DNB的面积; (3)在直线MN上存在一点P,当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标; (4)当t= 时,在直线MN上存在一点Q,使得AQC+OAC=90,求点Q的坐标. 3 2 5 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中, 得 解得 二次函数的表达式为y=- x2+ x+2. (2)t= ,AM=3, 又OA=1,OM=2, 设直线BC的解析
10、式为y=kx+n(k0),将C,B点的坐标代入,得 解得 直线BC的解析式为y=- x+2. 将x=2分别代入y=- x2+ x+2和y=- x+2中,得D(2,3),N(2,1),DN=2. 20, 16420, ab ab 1 , 2 3 , 2 a b 1 2 3 2 3 2 2, 40, n kn 1 , 2 2. k n 1 2 1 2 3 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 SDNB= 22=2. (3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0), 设P(2t-1,m), 则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2, PB=PC,(2t-5)2+m
11、2=(2t-1)2+(m-2)2, m=4t-5,P(2t-1,4t-5), PCPB, =-1,t=1或t=2, 1 2 47 21 t t 45 25 t t 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 经检验t=1或t=2为上述方程的解. M(1,0)或M(3,0), D(1,3)或D(3,2). (4)当t= 时,AM= 2= ,M ,由(1)知抛物线的对称轴方程是x= ,如图所示,在RtOAC中,AC= = ,在RtOBC中,BC= = ,又AB=5,AC2+BC2=AB2,ACB=90,又AOC=90, ACO=ABC,要使AQC+OAC=90,只需AQC=ABC,则点Q在以AB为直径的圆上,
12、且在直线MN上,又 点M为圆心,MQ= ,Q . 5 4 5 4 5 2 3 ,0 2 3 2 22 125 22 4220 5 2 3 5 , 2 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)根据A、B两点坐标用待定系数法求出; (2)先求出t= 时M点的横坐标,然后用待定系数法求直线BC的方程,再用代入法求出点D、N的坐标,最后求 出面积; (3)由已知条件求出M点的坐标,设出P点坐标,表示出PC2,PB2,进而由PB=PC,PBPC求解; (4)先求出t= 时M点的坐标,可判断出点M恰好为AB的中点,再通过计算AC、BC的长可判断出ACB=90, 再由互余性质可推出ACO
13、=ABC,要使AQC+OAC=90,只需AQC=ABC,由同圆或等圆中等弧所 对的圆周角相等可判定点Q在以AB为直径的圆上,最后求出Q点坐标. 3 2 5 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019山西,23,13分)如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个 动点,设点D的横坐标为m(10),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据RtPOD与RtAOB相 似,分两种情况列出比例式,求出m的值,进而得出点P的坐标. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019山东潍坊,25,13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,O
14、为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC 与y轴交于点C,且M经过O,A,C三点. (1)求圆心M的坐标; (2)若直线AD与M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式; (3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的 P与直线AD相交于另一点F.当EF=4 时,求点P的坐标. 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)AC是ABO的中线, 点C的坐标为(0,2). (1分) AOC=90, 线段AC是M的直径, 点M为线段AC的中点, 圆心M的坐标为(2,1). (2分) (2)AD与M相切于点A
15、, ACAD, RtAOCRtDOA, (3分) = = , (4分) OA=4,OD=8, 点D的坐标为(0,-8), (5分) OC OA OA OD 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 设直线AD的函数表达式为y=kx+b,k0, 则有 直线AD的函数表达式为y=2x-8. (6分) (3)设抛物线为y=a(x-2)2+1,抛物线过点(0,4), 4=a(0-2)2+1, (7分) a= . 抛物线的表达式为y= x2-3x+4. (8分) 设点P ,则点E(m,2m-8), PE= m2-5m+12, (9分) 04, 8, kb b 2, 8, k b 3 4 3 4 2 3 ,
16、34 4 mmm 3 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 过点P作PHEF,垂足为H, PEy轴,PEH=ADO, 又PHE=AOD,RtEHPRtDOA, (10分) = = , EH= , (11分) EF=4 ,2 = , 化简,得3m2-20m+28=0, 解之,得m1=2,m2= , (12分) 点P的坐标为(2,1)或 . (13分) EH PE OD AD 8 4 5 2 5 2 3 512 4 mm 55 2 5 2 3 512 4 mm 14 3 14 19 , 33 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)易知AC为直径,利用中点坐标公式即可求解; (2)根
17、据切线的性质,得到CAAD,通过证明AOC与DOA相似,求出OD,得到点D坐标,然后由待定系数 法求直线AD的函数表达式; (3)先求出抛物线的表达式,用含字母m的代数式表示出点P和点E的坐标,得到圆的半径,过点P作PHEF于 H,易得EHP与DOA相似,由EH= EF,得到关于m的方程,解方程,即可求得点P的坐标. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点四 二次函数在实际生活(生产)中的应用 1.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物 线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图
18、象抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径 为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则此抛物线型 钢拱的函数表达式为 ( ) 图1 图2 A.y= x2 B.y=- x2 26 675 26 675 C.y= x2 D.y=- x2 13 1 350 13 1 350 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2, 将B(45,-78)代入得-78=a 452,a=- , 抛物线型钢拱的函数表达式为y=- x2,故选B. 26
19、 675 26 675 思路分析思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式. 方法指导方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到关 于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值代入 所设表达式,写出表达式. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019湖北武汉,22,10分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的 一次函数.其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对
20、应值如下表: 注:周销售利润=周销售量(售价-进价) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围); 该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元; (2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在今 后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值. 售价x(元/件) 50 60 80 周销售量y(件) 100 80 40 周销售利润w(元) 1 000 1 600 1 600 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)设y与x的函数关系式为y
21、=kx+b, 依题意有 解得 y与x的函数关系式是y=-2x+200. 40;70;1 800. 进价是50-(1 000100)=40元/件. w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元. (2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m) =-2x2+(2m+280)x-8 000-200m =-2 + m2-60m+1 800, m0, 70, -21)图象上一点, 点A的横坐标为m,点B(0,-m)是y轴负半轴上的一点,连接AB,ACAB,交y轴于点C,延长CA到点D,使得AD= AC.过点A作AE
22、平行于x轴,过点D作y轴的平行线交AE于点E. (1)当m=3时,求点A的坐标; (2)DE= ;设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围; (3)连接BD,过点A作BD的平行线,与(2)中的函数图象交于点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平 行四边形? 32 mm x 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)点A在反比例函数y= (x0,m1)的图象上,且点A的横坐标为m, 点A的坐标为(m,m2-m).当m=3时,A(3,6). (2)1;由(1)知A(m,m2-m),已知B(0,-m), 延长EA交y轴于点N,如图. AEx轴,DEy轴,
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