热力学-统计物理第八章-玻色统计和费米统计[精]课件.ppt

1、不可分辨粒子系统统计不可分辨粒子系统统计第八章第八章 玻色统计和玻色统计和 费米统计费米统计当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。主主 要要 内内 容容8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体8.3 8.3 玻色玻色EinsteinEinstein凝聚凝聚8

2、.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体8.1 8.1 热力学量的统计表示热力学量的统计表示llelll)1(1 1、定义巨配分函数、定义巨配分函数)1ln(lnlell1leaNllll本节推导玻色系统和费米系统的热力学公式。本节推导玻色系统和费米系统的热力学公式。、和和y y看作由实验确定的参量。系统的总粒子数为看作由实验确定的参量。系统的总粒子数为一、玻色系统的热力学量的表达式一、玻色系统的热力学量的表达式)1ln(lnlell1leaNllll)1ln(lnlellllllee1)1(llle1lnN2 2、粒子数、粒子数1leaUllllll)1ln(lnlelllll

3、llee1)(lllle1lnU3 3、内能、内能)1ln(lnlell由开放系热力学关系由开放系热力学关系 1dSdUYdydNTdUTdSYdydN所以所以 积分得积分得 将将lnlnlnSklnSklnlnlndSkd1,kTkT 玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系lnln(1)lle 代入上式，并与代入上式，并与式式6.7.46.7.4ln()ln()lnlnllllllllaaaa 比较有比较有差一个积分因子差一个积分因子 1 1、巨配分函数改为、巨配分函数改为 其对数其对数 前面的讨论和有关公式完全适用前面的讨论和有关公式完全适用1llllle lnln 1llle 二、费米系统二、费米系统

4、1leall玻色统计费米统计lnN lnU 1lnYy 1lnpVlnlnlnSklnSk玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系满足满足e ea a11，但处理问题的过程中，分布函数分母中的，但处理问题的过程中，分布函数分母中的1 1不忽略，不忽略，即虽然满足即虽然满足e ea a1 1，但仍考虑量子效应的微弱影响的情况。，但仍考虑量子效应的微弱影响的情况。8.2 8.2 弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体 玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄气体时，

5、应该由描述可区分粒子系统的理论玻耳兹气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论玻耳兹曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。1leallleall1e一、一、弱简并气体弱简并气体1leall)1(11llleee只考虑平动只考虑平动mp22dmhVgdD2/12/33)2(2)(daDN)()(01)2(22/102/33ledmhVgdeemhVgll)1()2(202/12/33)()2(2202/102/12/33dedeemhVgll)211()2(2/32/32eVehmkTgN分子可能的微观状态数为分子可能的微观状态数为Vdg是由于粒子可能具有自旋而

6、引入的简并度是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度二、二、弱简并条件弱简并条件利用玻耳兹曼统计的结果利用玻耳兹曼统计的结果1ZNegmkThVN1)2(2/321VNn 小，稀薄。小，稀薄。T大，高温。大，高温。m大，经典粒子。大，经典粒子。)2(1211(232/322/5mkThVNgNkTU第二项粒子间某种势能第二项粒子间某种势能 （附加内能附加内能）费米粒子相互排斥，费米粒子相互排斥，附加内能为正附加内能为正玻色粒子相互吸引，玻色粒子相互吸引，附加内能为负附加内能为负daDU)()(0)211()2(232/52/32ekTVehmkTg相除相除)211(232/5eNkTU8.3 8.

7、3 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚一、玻色气体的化学势一、玻色气体的化学势11kTllllleea一个量子态的粒子数一个量子态的粒子数10kTlllea取最低能级取最低能级 0010kTlle00kTkT1,lkTlleVVNn11由于由于l,、l均与均与T无关，所以无关，所以=(T，n)若保持若保持n一定时，则一定时，则T，必有，必有-，不变，所以不变，所以，即，即 ，若，若TTc时，使得时，使得0，则，则Tc称为临界温度。称为临界温度。lkTlleVVNn1102/12/331)2(2kTedmhn连续化连续化3/223/2)612.2(2nmkTc1)2(22/102/33ckTedm

8、hnckTxcTT 0令令1)2(22/102/33xcedxxmkThn0,cTT则nedmhedmhckTkT1)2(21)2(22/102/332/102/330任何温度下lkTlleVVNn1102/12/331)2(2kTedmhn原因：原因：过程中忽略了过程中忽略了=0项项T0 0cT:情况低温cTT lkTlleVVNn1102/12/3301)2(2kTedmhnn第一项表示第一项表示=0能级上的粒子数目，第二项表示能级上的粒子数目，第二项表示0能级上的能级上的粒子数目。粒子数目。0n可以忽略可以忽略cTT 0n可以和所有激发态能级上粒子数可以和所有激发态能级上粒子数相比较（玻

9、色相比较（玻色-爱因斯坦凝聚）。爱因斯坦凝聚）。cTT？0,cTT1)2(22/102/330kTedmhn01)2(22/102/33xedxxmkTh1)2(2)(2/102/332/3xccedxxmkThTT2/3)(cTTn)(1 2/30cTTnnnn0TcT000)(1 2/30cTTnnnTTnnc2/30)(cTT 波色粒子都在上能级。波色粒子都在上能级。000)(1 2/30cTTnnnTTnnc2/30)(cTT 上能级装不下所有波色粒子，上能级装不下所有波色粒子，必有可观数目粒子出现在零能级。必有可观数目粒子出现在零能级。因此，为了容易实现玻色爱因斯坦凝聚，需要提高临界

10、温度。因此，为了容易实现玻色爱因斯坦凝聚，需要提高临界温度。为此，要提高气体密度，减小气体粒子质量。为此，要提高气体密度，减小气体粒子质量。二、热力学量二、热力学量1)2(22/102/330kTedmhnn1)2(22/302/33kTedmhU2/3)(770.0cTTNkT2/3)(925.1cVTTNkC 3/223/2)612.2(2nmkTc8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体NkTU3NkCV3三维线性振子三维线性振子晶格晶格-电子对热容量的贡献未计！电子对热容量的贡献未计！一、一、本节研究自由电子气体对金属的本节研究自由电子气体对金属的U，Cv的贡献。以此为

11、例讨论简的贡献。以此为例讨论简并费米气体（并费米气体（e10KT0K21f21f21ff1只有费米能级附近只有费米能级附近 能级中能级中 电子可以跳到费米能级之上。电子可以跳到费米能级之上。kT21NkTNe每个粒子贡献热容量每个粒子贡献热容量kT23)(23kTNkCV)(23FTTNk2.2.热容量估计热容量估计1.1.泡利不相容原理泡利不相容原理11kTef小小 结结1、掌握巨配分函数的定义，了解玻色系统、掌握巨配分函数的定义，了解玻色系统和费米系统的宏观和费米系统的宏观 热力学量的统计表达式。热力学量的统计表达式。2、理解弱简并理想气体的概念，了解统理解弱简并理想气体的概念，了解统计方法在玻色气体和费米气体上的应用。计方法在玻色气体和费米气体上的应用。3、了解玻色、了解玻色Einstein凝聚现象。凝聚现象。4、掌握、掌握 金属中的自由电子气体的费米分金属中的自由电子气体的费米分布特性及其对固体热容量的贡献。布特性及其对固体热容量的贡献。