第三章-一维势场中的粒子-new-21-量子力学教学课件.ppt
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1、第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics第三章第三章 一维势场中的粒子一维势场中的粒子 在继续阐述量子力学基本原理之前,先用在继续阐述量子力学基本原理之前,先用 Schrodinger Schrodinger 方方程来处理一类简单的问题程来处理一类简单的问题一维定态问题。其好处有四:一维定态问题。其好处有四:(1 1)有助于具体理解已学过的基本原理;)有助于具体理解已学过的基本原理;(2 2)有助于进一步阐明其他基本原理;)有助于进一步阐明其他基本原理;(3 3)处理一维问题,数学简单,从而能对结果进行细致讨论,量)处理一维问题,数学简单,从而能对结果进行细致讨论,量子体系
2、的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来;子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来;(4 4)一维问题还是处理各种复杂问题的基础。)一维问题还是处理各种复杂问题的基础。3.1 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质3.2 3.2 一维方形势一维方形势3.3 3.3 一维散射问题(势垒贯穿)一维散射问题(势垒贯穿)3.4 3.4 一维谐振子一维谐振子3.5 3.5 势势 第1页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成:此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成:形式,则形式,则 S-S-方程可在直角
3、坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令 于是于是S-S-方程化为:方程化为:),(),(),(222zyxEzyxzyxVH 3.1 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z)V(x,y,z)中运动时,其薛定谔方程为:中运动时,其薛定谔方程为:(,)()()()x y zX x Y y Z z123(,)()()()V x y zV xVyVz ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd 第2页第3章 一维势场中的粒子 Quantum
4、 Mechanics),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 ,)()()()xy zXx Yy Zz()()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE 两边除以两边除以第3页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics设质量为m的粒子,沿x方向运动,势能为V(x),则Schrdinger方程为,对于定态(能量E)
5、,波函数表为(x)满足一维粒子的能量本征方程第4页我们想找出它在整个区间我们想找出它在整个区间有有限、连续,可微限、连续,可微的解。但这的解。但这些解要根据具体物理问题的些解要根据具体物理问题的边条件来定出边条件来定出。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics能量本征方程解的一般性质定理 1 设(x)是方程(1)的一个解,对应的能量本征值为E,则*(x)也是方程(1)对应能量为E的解。第5页证明:取复共轭*(x)也满足方程(1),对应能量为E。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics假设对应于某个本征值E,(1)的解无简并(即只有一个独立的解),则可取为
6、实解。证明:(x),*(x)均为(1)对应E的解,由于无简并,则有*(x)=C(x),C为常数。取复共轭,(x)=C*(x)*=C*C(x),所以|C|=1,则C=eia,a为实数。取新波函数为n(x)=eia/2(x),则(n(x)*=e-ia/2*(x)=e-ia/2 eia(x)=eia/2(x)=n(x)。第6页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 2 对应于能量E,总可找到方程(1)的一组实解,凡是属于E的任何解,均可表示为这一组实解的线性叠加。证明:假设(x)是方程(1)的对应于E的一个解,若是实解,则归到实解集合中去。若是复解,按定理 1,*(x)也必
7、是方程属于E的一个解,则它们的叠加也是方程属于E的解,均为实解,且第7页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 3 设V(x)具有空间反射不变性,V(-x)=V(x),如设(x)是方程(1)对应E的一个解,则(-x)也是方程对应于E的解。证明:对方程 ,有则(-x)也是(1)对应于E的解第8页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics空间反射算符P 定义为P(x)=(-x),按定理 3,若 V(-x)=V(x),则(-x)和(x)都是对应E的量子态。若对应E,方程(1)的解无简并,则解必具有确定的宇称,即偶宇称 P(x)=(-x)=(x),或者奇宇称
8、 P(x)=(-x)=-(x)。证明:由于无简并,P(x)=(-x)=C(x)P2(x)=P C(x)=C2(x),P2(x)=(x),则有C2=1,C=1。若能级有简并,能量本征态不一定具有确定宇称。第9页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 4 若V(-x)=V(x),则对应于任何一个能量本征值,总可以找到(1)的一组解,每一个解都具有确定宇称,而属于E的任何解,都可以用这组解展开。证明:设(x)是(1)的一个解,根据定理 3,(-x)也是方程的一个解,取 f(x)=(x)+(-x),g(x)=(x)-(-x)f(x),g(x)具有确定宇称。(x)=f(x)+g
9、(x)/2,(-x)=f(x)g(x)/2。第10页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics波函数(x)及其各阶导数连续性波函数(x)及其各阶导数连续性与V(x)有关。若V(x)是连续函数,按方程(1),”(x)存在,因此(x)和(x)为x 的连续函数。但若V(x)不连续(存在奇异性),则(x)和各阶导数的连续性问题需要具体分析。第11页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 5 对于阶梯性方位势V2-V1 有限,则能量本征函数(x)及其导数(x)必定是连续的。证明:根据方程在V(x)连续的区域,(x)及(x)必然连续。在V(x)发生阶梯跃变处,V
10、(x)(x)发生跃变,但变化是有限的。上式对xa积分,有第12页第3章 一维势场中的粒子 Quantum MechanicsE-V(x)(x)是有限的,当 时,右边积分为0。因此,(x)在x=a点连续,(x)也是连续的。第13页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 6 对于一维粒子,设1(x),2(x)均为方程(1)的属于同一能级E的解,则证明:按假设,1(4)2(3)第14页对于束缚态粒子对于束缚态粒子,第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定理 7 设粒子在规则势场V(x)中运动,若存在束缚态,则必定是不简并的。证明:设1(x),2(x)是
11、方程(1)属于能级E的两个束缚态解,则有在不包含1(x),2(x)节点的区域中,用12除上式,的积分得 V(x)无奇点,(x)和(x)连续。1(x),2(x)代表同一量子态。第15页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2 3.2 一维方形势一维方形势 3.2.1 3.2.1 一维无限深势阱一维无限深势阱 3.2.2 3.2.2 有限深对称方势阱有限深对称方势阱 第16页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.1 一维无限深方势阱在阱内(0 xa),能量本征方程为m为粒子质量,E为能量。在阱外,势场为无限大,因此粒子出现的几率为0,=0.第
12、17页V=0EVVV(x)x0a第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics令阱内薛定谔方程及边界条件0 xa内通解为由边界条件,得到B=0,第18页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics可见,并非任何E值都满足边界条件,只有当能量取某些特定值时,对应的波函数才满足边界条件。系统的能量是量子化的,所构成能谱是离散的。对应于能级En的波函数为利用归一化条件,第19页可得第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics则归一化后的波函数表示为讨论:粒子最低能级 ,与经典粒子不同,是微观粒子波动性的表现,“静止的波”是没有意义的。从不确定性关系也可得
13、出此定性结论。x a,p /x/a,E=p2/2m p2/2m 2/2ma2.不难验证,波函数在全空间连续,但微商在x=0,a不连续。含时间的定态波函数,物理意义?第20页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanicsn 相互正交,n(n=1,2,)是完全集,系统处于n的概率为|Cn|2,第21页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics例子势阱内薛定谔方程及边界条件在|x|a的区域内,通解为第22页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics利用边界条件,可得Asin(ka)=0,Bcos(ka)=0。A,B 不能同时为0,否则处处为0,无意义
14、。由此,得到两组解,(1)A=0,cos(ka)=0;(2)B=0,sin(ka)=0.第23页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics归一化条件,可取讨论:粒子被束缚在阱内。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一般地,束缚态所属能级是分立的。粒子最低能级(基态),也具有能量,粒子波粒二象性的反应。第24页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics能级分布是不均匀的。能级愈高,密度愈小。即n很大时,能级可视为连续的,这样就回到了经典情形。这正如对应原理所揭示的,大量子数极限情况下,量子理论必须逐渐逼近经典理论
15、。不同定态能量间隔差 ,表明当势阱宽度越窄,E越大,能量量子化越显著。当势阱宽度越宽,E越小 能量可视为连续改变。可见,量子性显著表现在空间范围很小的微观尺度中。第25页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics节点数:按定义,所谓节点,即本征函数的零点(端点除外)n具有n-1个节点。第26页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics例:设粒子处于无限深方势阱中,粒子波函数为(x)=Ax(a-x),A为归一化常数。a)求A;b)求测得粒子处于能量本征态的概率Pn.第27页第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.2 有限深对称方势阱
16、a为阱宽,V0为势阱高度。讨论束缚态情况,(0EE)阱外的现象在经典理论中是不可能的。量子力学中,粒子有波动性,有一定概率出现在阱外。第34页惊喜:癞蛤蟆是可以吃着天鹅肉的!第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.3 束缚态与离散谱束缚能量本征态(EV0)的能量是离离散散的,它是束缚态边界条件下束缚态边界条件下的必然结果。按照能量本征方程,经典允许区,(V(x)E,波函数是指数上升或下降的函数,ekx,无振荡现象,的正负号相同,(x)总是背离总是背离x x轴方向弯曲。轴方向弯曲。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics定性讨论能量本征值及波函数节
17、点数一维方势阱一维方势阱基态:x-a/2区域(经典禁区),Ea/2处,粒子又进入经典禁区,曲线上弯。一般情况下,(x)发散。只有当E取某个合适的值时,在 第37页基态时,波函数无节点第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics当粒子能量增加时,在|x|a/2,(x)的曲率减小。|x|a/2时,(x)的振荡加快。在某个能量E处,(x)在|x|a/2内经历一次振荡,并出现一个节点,并且能与外面波函数光滑衔接上,外面解不发散。此时出现第一激发态,有一个节点。第38页继续下去,可以得出:只当粒子能量取某些离散值离散值的时候,相应的波函数才满足束缚态边界条件束缚态边界条件。这些能量值即能
18、量本征值能量本征值,相应的波函数称为能能量本征函数量本征函数。基态波函数无节点,激发态节点数依次增加一个。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics3.2.4 方势垒的反射与透射第39页经典粒子如何运动?第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics第40页 0 aV(x)V0I II IIIE情形情形第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics在势垒外(xa),经典允许区,两个线性无关解为eikx,根据入射边界条件定解。粒子从左入射,由于势垒存在,在xa的区域中只有透射波存在。所以,可得到,第41页入射粒子流密度,入射粒子流密度,反射系数反射系
19、数透射系数透射系数第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics在势垒内部,经典禁区,通解可写为,第42页x=a,,的连续性条件给出,的连续性条件给出,两式相加减,两式相加减,x=0,,的连续性条件给出的连续性条件给出,上两式分别相加减上两式分别相加减,第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics消去A,B 得消去R,得第43页透射系数,透射系数,反射系数反射系数第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics|R|2 表示粒子被反弹回去的概率,|S|2,表示粒子穿过势垒的概率,上式意味着概率守恒。可以看出,即使EV0,透射系数不为0,粒子能穿透比他动
20、能更高的势垒(遂穿效应),是粒子波动性的表现。第44页经典图象经典图象:眼前无路好回头眼前无路好回头量子图象量子图象:眼前无路穿着走眼前无路穿着走第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanics情形情形令相应有,k2=ik,利用sh(ika)=isin(ka),则透射系数为第45页情形情形在量子情况下,也不是所有粒子均能通过势垒。入射粒子中只有在量子情况下,也不是所有粒子均能通过势垒。入射粒子中只有百分比为百分比为T T的粒子可贯穿势垒,而只有百分比为的粒子可贯穿势垒,而只有百分比为R R的粒子被势垒反的粒子被势垒反射回去。射回去。第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mech
21、anics3.2.5 方势阱的反射、透射与共振对于方势阱的透射,上述理论仍然适用,令透射系数变为第46页V0=0,时,相当于无势阱,T=1,粒子完全透射。一般地,V00,T0当且仅当x=0,时,V(x)才不为0.第48页设有质量为设有质量为m m的粒子(能量的粒子(能量E0E0)从左入射,碰到从左入射,碰到势垒,势垒,定态定态薛定谔方程为薛定谔方程为(3.3-1)3.3.1 势的穿透第3章 一维势场中的粒子 Quantum Mechanicsx=0是方程的奇点,该点”不存在,表现为不连续。积分上式,积分上式,第49页在x=0,一般是不连续的。在在x0处,方程处,方程 (3.3-1)变为变为它的
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