第五章-第三讲课件.ppt

1、1 1 含时微扰理论含时微扰理论 2 2 量子跃迁几率量子跃迁几率 3 3 光的发射和吸收光的发射和吸收第五章第五章 量子跃迁量子跃迁1 1 含时微扰理论含时微扰理论(一一)引言引言 （二）含时微扰理论（二）含时微扰理论 (一一)引言引言 上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系修正，所讨论的体系 Hamilton Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是算符不显含时间，因而求解的是定态定态 SchrodingerSchrodinger 方程。方程。本章讨论的体系其本章讨论的体系其 Hamilton Ham

2、ilton 算符含有与时间有关的微扰，算符含有与时间有关的微扰，即：即：)()(0tHHtH 因为因为 Hamilton Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时量与时间有关，所以体系波函数须由含时 SchrodingerSchrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。含时微扰理论可以通过含时微扰理论可以通过 H H0 0 的定态波函数近似地求出微扰存的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数

3、，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。)(tHtinnnH 0假定假定 H H0 0 的本征的本征 函数函数 n n 满足：满足：H H0 0 的定态波函数可以写为：的定态波函数可以写为：n n=n n exp-i exp-in nt t/满足左边含时满足左边含时 S-S-方程：方程：nnHti 0定态波函数定态波函数 n n 构成正交完备系，构成正交完备系，整个体系的波函数整个体系的波函数 可按可按 n n 展开：展开：nnnta )(代代入入nn

4、nnnntatHtati )()()(nnnnnnnnnnnntHtaHtattaitadtdi )()()()()(0因因 HH(t)(t)不含对时间不含对时间 t t 的偏导数算符的偏导数算符,故可故可 与与 a an n(t)(t)对易。对易。nnHti 0nnnnnntHtatadtdi )()()(相相消消（二）含时微扰理论（二）含时微扰理论nnnnnntHtatadtdi )()()(以以 m*左乘上式后左乘上式后 对全空间积分对全空间积分 dtHtadtadtdinmnnnmnn )()()(*detHtatadtditinmnnmnnnnm/*)()()(timnnnmmneH

5、tatadtdi )()(频率微扰矩阵元其中BohrdtHHnmmnnmmn1)(*该式是通过展开式该式是通过展开式 改写而成的改写而成的 SchrodingerSchrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。方程的另一种形式。仍是严格的。nnnta )(求解方法同定态微扰中使用的方法：求解方法同定态微扰中使用的方法：（1）引进一个参量）引进一个参量，用，用 H 代替代替 H（在最后结果中再令（在最后结果中再令 =1）；）；（2）将）将 an(t)展开成下列幂级数；展开成下列幂级数；)2(2)1()0(nnnnaaaa （3）代入上式并按）代入上式并按 幂次分类；幂次分类；timnnnnn

6、timnnnnnmmmmnmneHaaaeHaaadtdadtdadtdai )2(3)1(2)0()2(2)1()0()2(2)1()0(timnnnmtimnnnmmmnmneHadtdaieHadtdaidtda 0)1()2()0()1()0(4)(4)解这组方程，我们可得到关于解这组方程，我们可得到关于a an n 的各级近似解，近而得到波函的各级近似解，近而得到波函数数 的近似解。实际上，大多数的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。情况下，只求一级近似就足够了。（最后令（最后令 =1=1，即用，即用 HHmnmn代替代替 HHmnmn，用，用a a m m(1)(1

7、)代替代替 a a m m(1)(1)。）。）零级近似波函数零级近似波函数 a am m(0)(0)不随时不随时 间变化，它由未微扰时体系间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。所处的初始状态所决定。假定假定t t 0 0 时，体系处于时，体系处于 H H0 0 的第的第 k k 个本征态个本征态 k k。而。而且由于且由于 exp-iexp-i n n t/t/|t=0t=0=1=1，于是有：，于是有：nnnnnnnnnnkaaaa )0()0()0()1()0()0()0(比较等式两边得比较等式两边得 )0()0()1()0(nnnkaa 比较等号两边同比较等号两边同 幂次项得：幂

8、次项得：0)0()0()0()2()1()0(nnnknaaa 因因 a an n(0)(0)不随时间变化，所以不随时间变化，所以a an n(0)(0)(t)=a(t)=an n(0)(0)(0)=(0)=nknk。t t 0 0 后加入微扰，则第一级近似：后加入微扰，则第一级近似：timnnnmmneHadtdai )0()1(timktimnnknmknmneHieHidtda 11)1(dteHiattimktmkn 10)1(积分得：对a an n(0)(0)(t)=(t)=n kn k2 2 量子跃迁几率量子跃迁几率（一）跃迁几率（一）跃迁几率（二）一阶常微扰（二）一阶常微扰（三）

9、简谐微扰（三）简谐微扰（四）实例（四）实例（五）能量和时间测不准关系（五）能量和时间测不准关系()kmmmat体系的某一状态体系的某一状态 kt t 时刻发现体系处于时刻发现体系处于 m m 态态的几率等于的几率等于|a|a m m(t)|(t)|2 2 dteHitatatatimktmkmmmmk 0)1()0(1)()()(am(0)(t)=mk末态不等于初态时末态不等于初态时 mkmk=0=0，则，则 )()()1(tatamm所以体系在微扰作用下由初态所以体系在微扰作用下由初态 k k 跃迁到末态跃迁到末态 m m 的的几率在一级近似下为：几率在一级近似下为：202)1(1|)(|d

10、teHitaWtimktmmkmk （一）跃迁几率（一）跃迁几率（1 1）含时）含时 Hamilton Hamilton 量量设设 H H 在在 0 0 t t t t1 1 这段时间之内不为零，但与时间无关，这段时间之内不为零，但与时间无关，即：即：1100)(00ttttrHtH（2 2）一级微扰近似）一级微扰近似 a am m(1)(1)dteHitatimktmmk 0)1(1)(dteiHtitmkmk 0 11 timkmktimkmkmkmkeHeH 2/2/2/tititimkmkmkmkmkeeeH )sin(2212/tieHmktimkmkmk ttimkmkmkeiiH

11、01 HHmkmk 与与 t t 无关无关 (0(0 t t t t1 1)（二）一阶常微扰（二）一阶常微扰（3 3）跃迁几率和跃迁速率）跃迁几率和跃迁速率2)1(|)(|taWmmk 2212/)sin(2tieHmktimkmkmk 222122)(sin|4mkmkmktH 极限公式：极限公式：)()(sin22limxxx 则当则当t t 时时 上式右第二个分式有如下极限值：上式右第二个分式有如下极限值：21212212sin()()limmkmktmktt 于是：于是：)(|22kmmkmkHtW 跃迁速率：跃迁速率：)(|22kmmkmkmkHtW 2()mkt 2()mkt（4

12、4）讨论）讨论1.1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量速率将与时间无关，且仅在能量m m k k，即在初态能量的小，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。范围内才有较显著的跃迁几率。在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。2.2.式中的式中的(m m-k k)反映了跃迁过程的能量守恒。反映了跃迁过程的能量守恒。3.3.黄金定则黄金定则设体系在设

13、体系在m m附近附近ddm m范围内的能态数目是范围内的能态数目是(m m)d)dm m，则，则跃迁到跃迁到m m附近一系列可能末态的跃迁速率为：附近一系列可能末态的跃迁速率为：mkmmd )()(|2)(2kmmkmmHd )(|22mmkH （1 1）Hamilton Hamilton 量量t=0 t=0 时加入一个简谐时加入一个简谐 振动的微小扰动：振动的微小扰动：0cos00)(ttAttH 为便于讨论，将上为便于讨论，将上式改写成如下形式式改写成如下形式 000)(teeFttHtiti F 是与 t无关 只与 r 有关的算符（2 2）求）求 a am m(1)(1)(t)(t)H(

14、t)H(t)在在 H H0 0 的第的第 k k 个和第个和第 m m 个本征个本征态态 k k 和和 m m 之间的微扰矩阵元是：之间的微扰矩阵元是：kmmktHH|)(|ktitimeeF|titikmeeF titimkeeF （三）简谐微扰（三）简谐微扰dteeeiFtatitititmkmmk )(0)1(dteeiFtititmkmkmk0 titiitimkmkmkmkmkeeiF0 11 mkmkmkmktitimkeeF（2 2）几点分析）几点分析(I)(I)当当=mkmk 时，微扰频率时，微扰频率 与与 Bohr Bohr 频率相等时，上式第二项频率相等时，上式第二项 分子

15、分母皆为零。求其极限得：分子分母皆为零。求其极限得：itemkmkmkti 1lim iteFtamkmktimkm 22)1(1)(第二项起第二项起 主要作用主要作用(II)(II)当当=mkmk 时，同理有：时，同理有：mkmktimkmeitFta 22)1(1)(第一项起第一项起 主要作用主要作用(III)(III)当当 mkmk 时，两项都不随时间增大时，两项都不随时间增大 总之，仅当总之，仅当 =mkmk=(m m k k)/)/或或m m =k k 时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率微扰含有频率mkmk时，体系才能从时，体系才能从

16、k k态跃迁到态跃迁到m m态，态，这时体系吸收或发射的能量是这时体系吸收或发射的能量是 mkmk 。这说明我们讨。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。论的跃迁是一种共振现象。因此我们只需讨论因此我们只需讨论 mkmk 的情况即可。的情况即可。（3 3）跃迁几率）跃迁几率当当 =m k m k 时，时，略去第一项，则略去第一项，则 mkmktimkmeFa1)1(此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H H mkmk F Fmk mk,mkmk mkmk-，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁

17、几率为：扰情况下的跃迁几率为：)(|2)(|2)(2|212222 kmmkkmmkmkmkmkFtFttFW同理，同理，对于对于 =-=-m k m k 有：有：)(|22 kmmkmkFtW二式合二式合记之：记之：)(|22 kmmkmkFtW（4 4）跃迁速率）跃迁速率)(|22 kmmkmkmkFtW)(|222 mkmkmkF或：或：（5 5）讨论）讨论1.(1.(m m-k k )描写了能量守恒：描写了能量守恒：m m-k k =0=0。2.2.k k m m 时，跃迁速率可写为：时，跃迁速率可写为：)(|22 kmmkmkF也就是说，仅当也就是说，仅当 m m=k k-时跃迁几率

18、才不为零，此时时跃迁几率才不为零，此时发射能量为发射能量为 的光子。的光子。3.3.当当k k 0 t 0 时，附加一与振子振动方向相同时，附加一与振子振动方向相同的恒定外电场的恒定外电场 ，求谐振子处在任意态的几率。，求谐振子处在任意态的几率。解：解：xeH dteHitatimktmmk 0)1(1)(dtexietimktmk 0t=0 时，时，振子处振子处 于基态，于基态，即即 k=0。tmtimieiem0010211 12010 timmmee 式中式中 m,1 m,1 符号表明，只有符号表明，只有 当当 m=1 m=1 时，时，a am m(1)(1)(t)0(t)0，dteie

19、titmm001211 11*0*0211)(211)()()(mmmmdxxxdxxxxx dtexietimtm 000 （四）实例（四）实例2102)1(110)1(210 tieeaW 所以所以)1)(1(210102102222 titieee )1(2)(1010)1(1 tieeta 结论：外加电场后，谐振子从基态结论：外加电场后，谐振子从基态0 0跃迁到跃迁到1 1态的几态的几率是率是 W W0101，而从基态跃迁到其他态的几率为零。，而从基态跃迁到其他态的几率为零。)(2210102102222titieee )cos(1102102222te 例例2.2.量子体系其本征能量

20、为：量子体系其本征能量为：E E0 0,E,E1 1,.,E,.,En n,.,.，相应本征态分别是：相应本征态分别是：|0,|1,.,|n,.|0,|1,.,|n,.，在在t 0 t 0 时处于基态。在时处于基态。在 t=0 t=0 时刻加上微扰：时刻加上微扰：)0()(),(/texFtxH试证：长时间后，该体系处于另一能量本征态试证：长时间后，该体系处于另一能量本征态|1|1的几率为：的几率为：2201210)/()(|2|1|EEFW并指出成立的条件。并指出成立的条件。证：证：因为因为 m=1,k=0m=1,k=0，所以：，所以：dteHiatit10100)1(11 /10/100|

21、)(|10|)(|10|1ttteFexFexFHH 其中代入上代入上式得：式得：dteeFiatitt10/100)1(11 ttiieFi010)/1(10/1110 当当 t (t )t (t )时：时：0limlim/)/1(1010 ttittiteee)/(/11110101010)1(1 iFiFiat 所以2)1(110)(taW2210210)/()(|F此式成立条件就是微扰此式成立条件就是微扰法成立条件，法成立条件，|a|a1 1(1)(1)|2 2 1 k)。1100)(00)(tttteeFttHtiti 在在t tt t1 1时刻，时刻，k k m m 的的 跃迁几率

22、则为：跃迁几率则为：2212122)()(sin|4 mkmkmkmktFW（1 1）由图可见，跃迁几率的贡）由图可见，跃迁几率的贡献主要来自主峰范围内，即在献主要来自主峰范围内，即在 -2/t-2/t1 1 mkmk 2/t 2/t1 1区区间跃迁几率明显不为零，而此间跃迁几率明显不为零，而此区间外几率很小。区间外几率很小。（五）能量和时间测不准关系（五）能量和时间测不准关系2 /t4 /t-2 /t-4 /t mk-|Fmk|2t/2Wk m0（2 2）能量守恒问题。）能量守恒问题。即在跃迁过程中，能量守恒即在跃迁过程中，能量守恒m m=k k+或或mkmk=只是在上图原点处严格成立。因为

23、在区间只是在上图原点处严格成立。因为在区间-2/t-2/t1 1,2/t,2/t1 1，跃迁几率都不为零，跃迁几率都不为零，所以所以 既可能有既可能有 mkmk=，也可能有也可能有 -2/t-2/t1 1 mkmk+2/t+2/t1 1。上面不等式两边相减得：上面不等式两边相减得：mkmk(1/t(1/t1 1)也就是说也就是说 mkmk 有一个不确定范围。由于有一个不确定范围。由于k k能级是分立的，能级是分立的，k k 是确定的，是确定的，注意到注意到 mkmk=1/=1/(m m-k k)，所以，所以 mkmk 的不确定来自于末态能量的不确定来自于末态能量m m 的不确定，即：的不确定，

24、即：mmkmmktt 1111)(于是得：若微扰过程看成是测量末态能量若微扰过程看成是测量末态能量m m的过程，的过程，t t1 1是测量的时间间是测量的时间间隔，那末上式表明，能量的不确定范围隔，那末上式表明，能量的不确定范围m m与时间间隔之积有与时间间隔之积有 的数量级。的数量级。上式有着普遍意义，一般情况下，当测量时间为上式有着普遍意义，一般情况下，当测量时间为tt，所测得的能量不，所测得的能量不确定范围为确定范围为E E 时，则二者有如下关系：时，则二者有如下关系：tE此式称为能量和时间的测不准关系。由此此式称为能量和时间的测不准关系。由此式可知，测量能量越准确（式可知，测量能量越准确（E E 小），则小），则用于测量的时间用于测量的时间t t 就越长。就越长。