第三章随机变量及其分布课件.ppt
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- 第三 随机变量 及其 分布 课件
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1、1概率论与数理统计第第三三章章随机变量及其分布随机变量及其分布2第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.1 1 随机变量的概念随机变量的概念 v前面我们研究了随机事件及其概率,本章我们将在这个基础上进一步研究随机变量及其分布.v现在先研究随机变量的概念,它是概率论中最基本的概念之一.v在随机试验中,人们观察的对象常常是一个随机取值的量.3v在随机试验中,人们观察的对象常常是一个随机取值的量.v例如,考察某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这个量可能取的值为0,1,2,;v测试灯泡的寿命,这个量可能在00,+)中取值.v再如,在n次打靶试验中,要观察击中目标的次数,这个量可
2、能取的值为0,1,2,n;v在测量某物体长度的试验中,要观察测量长度与标准长度的偏差,这个量可能在(,+)中取值.4v当然也有一些试验观察的对象本身不是数量.v例如掷一枚匀质的硬币,观察正反面出现的情况这个随机试验,它的样本空间S是正与反的不同组合.v初看起来这个现象与数值无关,但是我们可以用下面的方法使它与数值联系起来:v更一般地,在伯努利试验中,用“1”表示成功,用“0”表示失败.v于是,对试验结果不是数值的情况,我们可用一定的方法将它们数量化,也用数量来描述.v当出现正面时用“1”表示,而出现反面时用“0”表示.5v在上述的各例中,如果把试验中所观察的对象用数量X来表示,那么X就具有这样
3、的特点:v随着试验的重复X可以取不同的数值,并且在每次试验中究竟取什么值在试验之前无法确切预言,是带随机性的数量,由此,自然地称X为随机变量随机变量.v由于X是随着试验结果(基本事件e)而变化的,因此,X是基本事件e的函数,即X=X(e).v例如,在1.11.1节例1将一枚均匀对称硬币投掷一次观察正反面出现情况这个随机试验中,样本空间S=正,反.v若用X表示试验结果,并按上述的方法数量化,那么X就是基本事件的函数:6.,0,1)(当反面出现当正面出现eXXv在1.11.1节例3记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数这个随机试验中,样本空间 S=0,1,2,.v若用X表示呼叫次数,那么X=X
4、(e)=e(eS)也是基本事件的函数.7v由上所述,可以得到如下的随机变量的定义.v定义定义3.13.1 设E是随机试验,它的样本空间是S,如果对S中的每个基本事件e,都有唯一的实数值X(e)与之对应,则称X(e)为随机变量随机变量,简记为X.v引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量来描述了.v例如,设X表示电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,则v“0X3”表示“呼叫次数不超过三次”的事件;v“X5”表示“呼叫次数大于5”的事件.8v若.,0,1)(当反面出现当正面出现eXXv则“X=1”表示事件“正面”,v而“X=0”表示事件“反面”.9v不仅如此,对任意事件A,可以在样本空间S上定义
5、函数,0,1)(AeAeeIA当当v称IA(e)为A的示性函数.v显然,IA是一个随机变量,当“IA=1”就表示事件A.v于是,对事件的研究就可以转化为对随机变量的研究了.v由此可见,随机变量的概念的引入是很重要的.v以后我们还会看到,由于引入了随机变量,数学分析的方法就可用来研究随机现象了.10v在上面遇到的随机变量中,有的随机变量所能取的值是有限个(如在n次打靶试验中,中靶的次数),有的随机变量所能取的值是可列无穷多个(如电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数),这两种随机变量统称为离散型随机变量离散型随机变量.v象灯泡的寿命和物体长度这样的随机变量,它们所取的的值连续地充满一个区间,以后将
6、它们称为连续型随机变量,它是非离散型随机变量中的最重要的类型.v下面先讨论离散型随机变量.11第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.2 2 离散型随机变量离散型随机变量 v3.2.13.2.1 概率分布列概率分布列 v如前所述,最多取有限个值或可列无穷多个值的随机变量X称为离散型随机变量离散型随机变量.v设X的所有可能取的值为x1,x2,xk,.12v为了掌握随机变量X的统计规律,只知道它可能取的值是远远不够地(例如掷非均匀的色子),更主要的,还要了解它取各个可能值的概率是多少.v若事件“X=xk”的概率为pk,即P(X=xk)=pk,k=1,2,v则上式不仅告诉了我们X所
7、能取的值,而且还指出了它以多大的概率取这些值.v所以这样的式子把随机变量取值的概率规律完整地描述出来了.v我们称这样的式子为离散型随机变量的概率分布列概率分布列或简称为分布列分布列,又称分布律分布律.13v它也可以用表格的形式直观地表达如下:Xx1x2xkPp1p2pkv由概率的基本性质可知,对任一分布列都有下面两个性质:v()pk0,k=1,2,;v().1kkp14v反之,满足上述两条性质的数列pk,也可以作为某一个离散型随机变量的分布列.v下面介绍几种常见的分布列15v例例 自动化生产线在调整后出现废品的概率为p,在生产过程中出现废品立即进行重新调整,以X表示两次调整之间出现的正品数,求
8、X的概率分布?v解解 X的概率分布为X 01kP v或P(X=k)=(1p)kp,k=0,1,,0p1,q=1p.16v验证v(1)显然P(X=k)0,k=0,1,;v(2).1)1(1111)(000ppppppkXPkkkkk17v例例 设随机变量(以后简记为r.v)X的概率分布为,2,1,!)(1kekAkXPv求常数A.v解解 由分布列的性质)1(!1!111111eAekAeekAkkv因此.1eeA18第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.2 2 离散型随机变量离散型随机变量 v3.2.23.2.2 0 01 1分布分布(伯努利分布、两点分布伯努利分布、两点分布
9、)v设随机变量X只可能取0和1两个值,它的分布列是P(X=1)=p,P(X=0)=q,0p1,q=1pv则称X服从0 01 1分布分布或伯努利分布伯努利分布,也称两点分布两点分布,记为XB(1,p).19v0 01 1分布分布的表格形式为X01Pqpv显然,伯努利试验可用0 01 1分布来描述.20第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.2 2 离散型随机变量离散型随机变量 v3.2.33.2.3 二项二项分布分布(binomial distribution)v设随机变量X分布列如下:knkknqpCkXP)(k=0,1,2,n,0p1,q=1p.v则称X服从二项二项分布分布
10、(参数为n,p),常用记号 XB(n,p)表示.21v特别地,当n=1时,二项分布的表达式成为P(X=k)=pkq1k,k=0,1 v此即为01分布.v由前面的定理可知,在n重伯努利试验中,成功的次数X是服从二项分布的.22v对二项分布来说,概率分布列的两个性质也都成立.v因为 nkqpCkXPknkkn,2,10)(又 1)(00nkknkknnkqpCkXPv故分布列的两个性质都成立.23v例例1 1 设有N件产品,其中有M件次品,现进行n次有放回的抽样,每次抽取一件.求这n次中共抽到的次品数X的概率分布?v解解 由于抽样是有放回的,因此这是n重伯努利试验.若以A表示一次抽样中抽到次品这个
11、事件,则p=P(A)=M/N.v故XB(n,M/N),即nkNMNMCkXPknkkn,1,0)1()()(24v下面我们来考察二项分布的概率分布列表达式随着k取值的不同而变化的情况v先看一个例子v例例1 1 设有20台机床,独立地各加工一件齿轮,若各机床加工齿轮的废品率都是0.2,求得到的20件齿轮中没有废品,恰有一件废品,以及全部都是废品的概率各为多少?v解解 此例可看作是n=20的伯努利试验问题.设X表示20件齿轮产品中的废品个数,则XB(20,0.2),于是问题即要求:20,2,1,0)2.01()2.0()(2020kCkXPkkk25v我们将计算的结果列于下表:X0123456P0
12、.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109X789101120P0.055 0.022 0.007 0.002 0.0000.00026v表中当时k1111,P(X=k)0.001.v为了对此结果有个比较直观的了解,可以将表中的数据用图形来表示(图3.1)P04k816202613579 101113121514181719图3.127v从图中我们看到:v概率P(X=k)先是随着k的增加而单调上升,当k增到4时P(X=k)取得最大值0.218,然后P(X=k)再随k的增加而单调下降.v一般对于固定的n和p,二项分布B(n,p)都具有这一性质.v事实上,因为
13、28v事实上,因为nkkqkpnkqpknqpCqpCkXPkXPknkknknkkn,2,1)1(1)1()1()(11129v故当kP(X=k1),此时P(X=k)随着k的增加而单调上升;v当k(n+1)p时,P(X=k)m时,Cmi=0.v由上式所确定的概率分布称为超几何分布超几何分布.36v由前面的讨论可见二项分布可以用来描述有放回的抽样,而超几何分布可以用来描述不放回的抽样.v虽然二项分布与超几何分布二者并不相同,但当抽取对象总数N很大,而抽取的次数n相对很小时,它们的差别是很小的,就是说在一定的条件下,超几何分布可以用二项分布来逼近.37v不难证明下面的定理v定理定理3.13.1
14、设在超几何分布中,n是一个取定的正整数,而 10,limppNMNv则nkppCCCCknkknnNknMNkMN,1,0)1(lim38v由上面的结果可见,对固定的n,当N充分大时,有),min(,1,0)1(nMlkppCCCCknkknnNknMNkMv在实际中,一般当n0.1N时,就可用这个近似公式.v由于有专门的二项分布表可查,因此就可以大大节省计算的工作量了.39v3.2.63.2.6 几何分布几何分布(geometric distribution)v设在伯努利试验中,每次试验成功的概率均为p(0p1).今独立重复试验直到出现首次成功为止.若设X为所需试验的次数,则X是一个离散型的
15、随机变量,其可能取的值为1,2,k,v事件X=k相当于“第一次试验不成功,第k1次试验不成功,第k次试验成功”.v由于试验是独立进行的,而每次试验成功的概率为p,不成功的概率1 1p,故X的分布列为,2,1,)(1kpqkXPkv这个概率分布称为几何分布几何分布.40第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 v对离散型随机变量,可以用分布列来描述它,但对于非离散型的随机变量,由于它可能取的值不可数,所以想用分布列来描述它是不可能的.v例如,灯泡的寿命X就是一个可以在某一个区间上任意取值的随机变量,它的值就不是集中在有限个或可列无穷多
16、个点上,因此,其概率规律就不能用分布列来描述了.这时,只有确知X在任一个区间上取值的概率才能掌握它取值的概率分布规律.41v由于对任意实数x1x2有P(x1Xx2)=P(Xx2)P(Xx1)v故研究X落在一个区间上的概率问题,就转化为对任意的实数x求概率P(Xx)的问题了.v而P(Xx)是x的函数,从而导出下面的定义:v定义定义3 3.2 2 设 X为一个随机变量,称FX(x)=P(Xx)v为X的分布函数分布函数,其中x为任意实数.v由分布函数的定义,事件“x1Xx2”的概率可写成P(x1Xx2)=FX(x2)FX(x1)42v分布函数是一个普通的函数,正是由于这个缘故,我们能用数学分析的工具
17、来研究随机变量.v例例1 1 设随机变量的分布列为 X123P1/21/31/6v求 X的分布函数.43X123P1/21/31/644v解解 由分布列可知:v当x1时,FX(x)=P(Xx)=P()=0;v当1x2时,FX(x)=P(Xx)=P(X=1)=1/2;v当2x3时,FX(x)=P(Xx)=P(X=1)+P(X=2)=5/6;v当x3时,FX(x)=P(Xx)=P(S)=1.v于是的X分布函数为 .3,1,32,65,21,21,1,0)(xxxxxF45vFX(x)的图形如图3.2所示.x0F(x)1231/25/61图3.246v由图3.2可以看出,FX(x)的图形是一条阶梯形
18、曲线,该曲线在x=1,2,3处,分别有跳跃值1/2,1/3,1/6.该阶梯形曲线的台阶的个数等于取值的个数+1,跳跃点为取值点,跃度为取相应值的概率.v一般地,设离散型随机变量X的分布列为P(X=xk)=pk,k=1,2,v则X的分布函数可以通过下式求得xxkkxXPxXPxF)()()(v其中和式是对所有满足xkx的k求和.分布函数在X=xk处具有跳跃值pk.47v例例2 2 向区间(a,b 内任意掷一质点,设此试验是几何概型的,求落点的坐标X的分布函数.v解解 由题意可知:v当xa时,FX(x)=P(Xx)=P()=0;v当axb时,FX(x)=P(Xx)=P(aXx)=(xa)/(ba)
19、;v当xb时,FX(x)=P(Xx)=P(aXb)=1.v于是的X分布函数为 .,1,0)(bxbxaabaxaxxF48vFX(x)的图形是一条连续曲线,如图3.3所示.abx1F(x)图3.349v分布函数具有如下的性质:v()当0F(x)1时,x+;v()对任意的x1x2,有F(x1)F(x2),即F(x)是单调不减的;v()0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFxv()F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的.v可以证明,若某一个函数F(x)满足上面的性质,则必存在一个随机变量X以F(x)为其分布函数.50v分布函数的性质()、()可由概率的定义和性质直接得到,而性质()、
20、()的证明,则需要较多的数学工具.v这些性质的正确性,可由前面的两个例子得到很好的验证.51第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 v3 3.4 4 连续型随机变量连续型随机变量(continuous)v3.4.13.4.1 连续型随机变量、概率密度连续型随机变量、概率密度v若随机变量X的分布函数F(x)是可微的,则其导数 0lim)()(lim)()(00 xxxXxPxxFxxFxFxfxx52v如果将概率比作质量,类似于物理学中质量线密度的概念,人们自然称f(x)为随机变量X的概率密度.v若f(x)还是连续的,则有 xdttfxF)()(v一般地,随机变量X的分布函数F(x)当然
21、不一定处处可微,但在实际中常遇到这样一些随机变量,也存在一个非负的函数f(x)使上式成立.53v例如,上节例2中的随机变量的分布函数.,1,0)(bxbxaabaxaxxFv在除了x=a与x=b两点外,均有导数,如令 ,0,),()(baxbaxxFxf或等于和不等于54v即.,0,1)(其它bxaabxfv则xdttfxF)()(55v为了描述这一类随机变量的概率分布律,引入下面的定义v定义定义3 3.3 3 设F(x)是随机变量X的分布函数,如果存在一个非负的函数f(x),使得对任意的实数x,都有 xdttfxF)()(v则称X为连续型随机变量连续型随机变量,同时称f(x)为X的概率密概率
22、密度函数度函数,简称概率密度概率密度.56v由连续型随机变量的定义,再根据积分学的知识,可以得到下面的两个结果:v(a)在整个实数轴上,F(x)是连续的函数,即连续型随机变量的分布函数一定是连续的;v(b)对f(x)的连续点x,有 F(x)=f(x).v前面的两个式子表示了分布函数和概率密度之间的两个关系,利用这两个关系,可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个.57v概率密度f(x)具有如下的性质:v()f(x)0;v()1)(dxxfv()dxxfxFxFxXxPxx21)()()()(1221v概率密度f(x)上面的性质,可以分别由概率密度的定义,分布函数的性质直接得到.58v性质(
23、)、()是概率密度的基本性质,可以证明满足性质()、()的函数f(x),一定是某一个随机变量X的概率密度.59v根据概率密度f(x)的基本性质()、()、(),可以画出函数f(x)的图形如下图3.4.f(x)xOy=f(x)图3.460v在图3.4中,曲线y=f(x)表示概率密度曲线,它位于x轴的上方且与x轴所夹的面积等于1;f(x)xOy=f(x)图3.461v以(x1,x2 为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积B,表示概率P(x1Xx2)的值.xOf(x)y=f(x)x1x2B62v以(,x 为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积A,表示F(x)的值.xOf(x)y=f(x)
24、Ax63v图3.4中以(x,x+x 为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积C,表示概率P(x064xx+xx1x2xOf(x)ABC图3.465v在图3.4中,曲线y=f(x)表示概率密度曲线,它位于x轴的上方且与x轴所夹的面积等于1;v以(x1,x2 为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积B,表示概率P(x1Xx2)的值.v这就是性质()、()、()的几何说明.v以(,x 为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积A,表示F(x)的值.这就是连续型随机变量的分布函数与概率密度之间关系式的几何说明.66v图3.4中以(x,x+x 为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积C,表
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